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〔关键词〕 数学教学；数形结合思想；应用
〔中图分类号〕 G633.6 〔文献标识码〕 A
〔文章编号〕 1004—0463（2013）15—0078—01
“数”与“形”反映了事物两个方面的属性，数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系和直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或者“以数解形”，即通过抽象思维与形象思维的结合，从而使复杂的问题简单化，抽象的问题具体化.
巧妙运用数形结合的思想方法解决一些抽象的数学问题，往往能起到事半功倍的效果.而数形结合思想的应用形式大体可分为代数问题的几何解法与几何问题的代数解法两个方面，现就这两个方面的问题举几个例题加以说明.
1.数量问题转化为图形问题
有关数的问题，借用形的性质之后，有助于对问题的内在联系更进一步的了解，从而变易错为准确，化繁琐为简洁.而数量问题转化为图形问题的主要方法是几何方法解决代数问题，而几何方法具有直观、形象的优势.
例1 已知a、b均为正数，且a+b=2.求■+■的最小值.
解：如右图，作线段AB=2，在AB上截取AE=a，EB=b.过A作AC⊥AB，且AC=2.过B作BD⊥AB，且BD=1.由勾股定理得：CE=■，ED=■，原题即求CE+ED的最小值.延长CA至G，使AG=AC，连接GE，由三角形两边之和大于第三边，则G、E、D三点共线时，GE+ED=DG最短.延长DB至F，使BF∥AG且BF=AG，连接GF.则在Rt△DGF中， DF=1+2=3，GF=AB=2.
∴DG=■=■=■.
∴CE+DE的最小值是■，即■+■的最小值是■.
例2 某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装磁盘，根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒，则不同的的选购方式共有（ ）
A.5种 B.6种 C.7种 D.8种
解：设购买软件x片，购买磁盘y盘，依题意得
60x+70y≤500x≥3y≥2，即6x+7y≤50x≥3y≥2
适合不等式组的有序整数对（x，y）的对数，也是直角坐标平面上相关区域（含边界）整数点的个数，作出不等式组所表示的平面区域。如上图所示，在平面区域内，不难判定有7个整点，故有7种不同的购买方式.
2.图形问题转化为数量问题
有些平面几何与立体几何问题，若用代数方法去解决，其解题方法变得容易寻找，解题过程也变得简单.因此，化形为数，解题思路较明确，规律性较强.
例3 已知正方形ABCD，延长BC至E，使CE= ■BC，在CD上截取DF=■DC，DE与AF的延长线交于G，则G在正方形ABCD的外接圆上.
分析：这是一个图形问题，如何创造条件将它转化为数量问题呢？对图形进行量化是将图形问题转化为数量问题的关键.本题为五点共圆问题，由于ABCD是正方形，故只需证G在A，B，C，D所在的圆上，亦可证A，C，D，G四点共圆.
证明：连接AC，在三角形AFC中，根据正弦定理sin∠CAF=■·sin45°.令AB=a，则sin∠CAF=■.在直角三角形DCE中，有sin∠CDE=■=■. ∵∠CAF和∠CDE皆为锐角，∴∠CAF=∠CDE，故A、C、D、G四点共圆，即G在正方形ABCD外接圆上.
数形结合思想在培养和发展学生的空间观念和数感方面有不可忽视作用.利用数形结合思想进行解题可以使有些复杂问题简单化，抽象问题具体化.正如数学家华罗庚说过的：“数形结合千般好，数形分离万事休”.数形结合思想是一种贯穿初中数学和高中数学的一种重要思想方法，在数学解题中适当使用这种思想可以使得问题得到极大的简化.
编辑：谢颖丽
〔中图分类号〕 G633.6 〔文献标识码〕 A
〔文章编号〕 1004—0463（2013）15—0078—01
“数”与“形”反映了事物两个方面的属性，数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系和直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或者“以数解形”，即通过抽象思维与形象思维的结合，从而使复杂的问题简单化，抽象的问题具体化.
巧妙运用数形结合的思想方法解决一些抽象的数学问题，往往能起到事半功倍的效果.而数形结合思想的应用形式大体可分为代数问题的几何解法与几何问题的代数解法两个方面，现就这两个方面的问题举几个例题加以说明.
1.数量问题转化为图形问题
有关数的问题，借用形的性质之后，有助于对问题的内在联系更进一步的了解，从而变易错为准确，化繁琐为简洁.而数量问题转化为图形问题的主要方法是几何方法解决代数问题，而几何方法具有直观、形象的优势.
例1 已知a、b均为正数，且a+b=2.求■+■的最小值.
解：如右图，作线段AB=2，在AB上截取AE=a，EB=b.过A作AC⊥AB，且AC=2.过B作BD⊥AB，且BD=1.由勾股定理得：CE=■，ED=■，原题即求CE+ED的最小值.延长CA至G，使AG=AC，连接GE，由三角形两边之和大于第三边，则G、E、D三点共线时，GE+ED=DG最短.延长DB至F，使BF∥AG且BF=AG，连接GF.则在Rt△DGF中， DF=1+2=3，GF=AB=2.
∴DG=■=■=■.
∴CE+DE的最小值是■，即■+■的最小值是■.
例2 某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装磁盘，根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒，则不同的的选购方式共有（ ）
A.5种 B.6种 C.7种 D.8种
解：设购买软件x片，购买磁盘y盘，依题意得
60x+70y≤500x≥3y≥2，即6x+7y≤50x≥3y≥2
适合不等式组的有序整数对（x，y）的对数，也是直角坐标平面上相关区域（含边界）整数点的个数，作出不等式组所表示的平面区域。如上图所示，在平面区域内，不难判定有7个整点，故有7种不同的购买方式.
2.图形问题转化为数量问题
有些平面几何与立体几何问题，若用代数方法去解决，其解题方法变得容易寻找，解题过程也变得简单.因此，化形为数，解题思路较明确，规律性较强.
例3 已知正方形ABCD，延长BC至E，使CE= ■BC，在CD上截取DF=■DC，DE与AF的延长线交于G，则G在正方形ABCD的外接圆上.
分析：这是一个图形问题，如何创造条件将它转化为数量问题呢？对图形进行量化是将图形问题转化为数量问题的关键.本题为五点共圆问题，由于ABCD是正方形，故只需证G在A，B，C，D所在的圆上，亦可证A，C，D，G四点共圆.
证明：连接AC，在三角形AFC中，根据正弦定理sin∠CAF=■·sin45°.令AB=a，则sin∠CAF=■.在直角三角形DCE中，有sin∠CDE=■=■. ∵∠CAF和∠CDE皆为锐角，∴∠CAF=∠CDE，故A、C、D、G四点共圆，即G在正方形ABCD外接圆上.
数形结合思想在培养和发展学生的空间观念和数感方面有不可忽视作用.利用数形结合思想进行解题可以使有些复杂问题简单化，抽象问题具体化.正如数学家华罗庚说过的：“数形结合千般好，数形分离万事休”.数形结合思想是一种贯穿初中数学和高中数学的一种重要思想方法，在数学解题中适当使用这种思想可以使得问题得到极大的简化.
编辑：谢颖丽