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一元二次方程是在同学们掌握一元一次方程以及一次方程组相关知识的基础上展开的，它是对方程知识的延续和深化，在初中数学中有着重要的地位. 深刻理解本章的概念是学好一元二次方程的前提.
一、 一元二次方程的概念
方程中只含有一个未知数（元）且未知数的最高次数是二次的整式方程叫做一元二次方程. 一元二次方程的一般形式是：ax2 bx c=0（a≠0），其中ax2是二次项，bx是一次项，c是常数项，a、b、c是常数.
注：a≠0是一个重要条件，也可说成是定义的一部分，否则就不能保证该方程未知数的最高次数是二次，方程就不可能是一元二次方程.
由定义可知一元二次方程必须同时满足三个条件：
①是整式方程，即等号两边必须都是整式，如果方程中的未知数在分母上，那么这个方程就不是一元二次方程；②只含有一个未知数（元）；③未知数的最高次数是二次.
例1 已知关于x的方程（m-3）xm2-7-x=5是一元二次方程，求m的值.
【分析】要求m的值，只需令x的最高次数等于2，且系数不等于0即可.
解：由题意得m2-7=2，
m-3≠0.解之得：m=-3.
【点评】该题主要考查一元二次方程的概念，必须满足未知数的最高次数是二次且二次项的系数不等于0.
二、 一元二次方程的解法
1. 直接开平方法
形如（x m）2=n（n≥0）的一元二次方程，一般采用直接开平方法求解.
例2 （2014·重庆）方程（x-1）2=4的解为______.
解：因为x-1是4的平方根，
所以x-1=±=±2.
即 x1=3，x2=-1.
2. 因式分解法
例3 解方程：4（2x-1）2=（x 1）2.
【分析】先将方程右边的项移到方程左边变形后得到a2-b2=0的形式，然后可利用平方差公式进行求解.
解：移项得，4（2x-1）2-（x 1）2=0.
变形得，[2（2x-1） x 1][2（2x-1）-（x 1）=0.
整理得，（5x-1）（3x-3）=0.
解之得，x1=，x2=1.
3. 配方法
配方法的步骤：①把原方程化成ax2 bx c=0（a≠0）的形式； ②化二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④方程左边写成完全平方式，右边化成常数；⑤利用直接开平方法求解.
例4 （2014·北京）解方程：x2 4x-1=0.
解：移项得：x2 4x=1.
配方得：（x 2）2=5.
解之得：x1=-2 ，x2=-2-.
【点评】本题是较简单的用配方法解方程，只需把常数项移到方程右边，方程两边同时加上一次项系数一半的平方就能解决.
4. 公式法
对于一元二次方程ax2 bx c=0（a≠0），当b2-4ac≥0时，方程的根是x=，这种求一元二次方程解的方法叫做公式法. 由x=可知方程的根由方程的系数确定，并且满足x1 x2=-，x1·x2=.
例5 （2014·山东淄博）若关于x的一元二次方程x2 kx 4k2-3=0的两个实数根分别是x1，x2且满足x1 x2=x1·x2，则k的值为（ ）.
A. -1或 B. -1
C. D. 不存在
【分析】由根与系数的关系可得到一个关于k的一元二次方程，再解出k值，进而得到答案.
解：由题意得，x1 x2=-k，x1·x2=4k2-3，所以-k=4k2-3.
解之得 k=-1或.
当k=-1时，方程为x2-x 1=0，b2-4ac=1-4×1×1=-3<0，这与方程有两个实数根不符，故舍去，选C.
【点评】只由根与系数的关系求出的方程中参数的值，往往不一定都符合题意，要应用根的判别式加以验证. 该题目是一元二次方程根与系数、根的判别式的应用的综合题，考查了学生对相关知识的灵活运用能力.
小试身手
1. 若关于x的一元二次方程x2-2x m=0没有实数根，则实数m的取值范围是（ ）.
A. m<1 B. m>-1
C. m>1 D. m<-1
2. 用配方法解方程x2-4x 2=0，下列配方正确的是（ ）.
A. （x-2）2=2 B. （x 2）2=2
C. （x-2）2=-2 D. （x-2）2=6
3. 关于x的方程x2 px q=0的两根同为负数，则（ ）.
A. p>0且q>0 B. p>0且q<0
C. p<0且q>0 D. p<0且q<0
4. 方程（x-1）2=4的解为______.
5. 已知x=1是一元二次方程ax2 bx-40=0的一个解，且a≠b，求的值.
（作者单位：江苏省丰县初级中学）
一、 一元二次方程的概念
方程中只含有一个未知数（元）且未知数的最高次数是二次的整式方程叫做一元二次方程. 一元二次方程的一般形式是：ax2 bx c=0（a≠0），其中ax2是二次项，bx是一次项，c是常数项，a、b、c是常数.
注：a≠0是一个重要条件，也可说成是定义的一部分，否则就不能保证该方程未知数的最高次数是二次，方程就不可能是一元二次方程.
由定义可知一元二次方程必须同时满足三个条件：
①是整式方程，即等号两边必须都是整式，如果方程中的未知数在分母上，那么这个方程就不是一元二次方程；②只含有一个未知数（元）；③未知数的最高次数是二次.
例1 已知关于x的方程（m-3）xm2-7-x=5是一元二次方程，求m的值.
【分析】要求m的值，只需令x的最高次数等于2，且系数不等于0即可.
解：由题意得m2-7=2，
m-3≠0.解之得：m=-3.
【点评】该题主要考查一元二次方程的概念，必须满足未知数的最高次数是二次且二次项的系数不等于0.
二、 一元二次方程的解法
1. 直接开平方法
形如（x m）2=n（n≥0）的一元二次方程，一般采用直接开平方法求解.
例2 （2014·重庆）方程（x-1）2=4的解为______.
解：因为x-1是4的平方根，
所以x-1=±=±2.
即 x1=3，x2=-1.
2. 因式分解法
例3 解方程：4（2x-1）2=（x 1）2.
【分析】先将方程右边的项移到方程左边变形后得到a2-b2=0的形式，然后可利用平方差公式进行求解.
解：移项得，4（2x-1）2-（x 1）2=0.
变形得，[2（2x-1） x 1][2（2x-1）-（x 1）=0.
整理得，（5x-1）（3x-3）=0.
解之得，x1=，x2=1.
3. 配方法
配方法的步骤：①把原方程化成ax2 bx c=0（a≠0）的形式； ②化二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④方程左边写成完全平方式，右边化成常数；⑤利用直接开平方法求解.
例4 （2014·北京）解方程：x2 4x-1=0.
解：移项得：x2 4x=1.
配方得：（x 2）2=5.
解之得：x1=-2 ，x2=-2-.
【点评】本题是较简单的用配方法解方程，只需把常数项移到方程右边，方程两边同时加上一次项系数一半的平方就能解决.
4. 公式法
对于一元二次方程ax2 bx c=0（a≠0），当b2-4ac≥0时，方程的根是x=，这种求一元二次方程解的方法叫做公式法. 由x=可知方程的根由方程的系数确定，并且满足x1 x2=-，x1·x2=.
例5 （2014·山东淄博）若关于x的一元二次方程x2 kx 4k2-3=0的两个实数根分别是x1，x2且满足x1 x2=x1·x2，则k的值为（ ）.
A. -1或 B. -1
C. D. 不存在
【分析】由根与系数的关系可得到一个关于k的一元二次方程，再解出k值，进而得到答案.
解：由题意得，x1 x2=-k，x1·x2=4k2-3，所以-k=4k2-3.
解之得 k=-1或.
当k=-1时，方程为x2-x 1=0，b2-4ac=1-4×1×1=-3<0，这与方程有两个实数根不符，故舍去，选C.
【点评】只由根与系数的关系求出的方程中参数的值，往往不一定都符合题意，要应用根的判别式加以验证. 该题目是一元二次方程根与系数、根的判别式的应用的综合题，考查了学生对相关知识的灵活运用能力.
小试身手
1. 若关于x的一元二次方程x2-2x m=0没有实数根，则实数m的取值范围是（ ）.
A. m<1 B. m>-1
C. m>1 D. m<-1
2. 用配方法解方程x2-4x 2=0，下列配方正确的是（ ）.
A. （x-2）2=2 B. （x 2）2=2
C. （x-2）2=-2 D. （x-2）2=6
3. 关于x的方程x2 px q=0的两根同为负数，则（ ）.
A. p>0且q>0 B. p>0且q<0
C. p<0且q>0 D. p<0且q<0
4. 方程（x-1）2=4的解为______.
5. 已知x=1是一元二次方程ax2 bx-40=0的一个解，且a≠b，求的值.
（作者单位：江苏省丰县初级中学）