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集合是高考的必考内容，不少考生常常因为概念不清晰，理解不透彻，解题思路不严谨造成错误，为了跳出命题者所设计的陷阱，就必须清晰其中的易错点，加深理解，提高正确率.
集合语言是现代数学的基本语言，在每年的高考中以小题为主，难度不大，属高考试题中的送分题.但集合概念抽象，符号术语多，稍不注意，就会出错.
易错点1.对集合中元素属性认识不清
例1 设集合A={平面上的直线}，B={平面上的圆}，则A∩B中的元素最多有_____个.
【错解】 由直线与圆的位置关系可知，最多有2个，故填2.
【错因剖析】 上述解法把集合A、B中元素误认为了点集，由定势思维考虑两者之间的位置关系了.
【正解】 集合A中的元素是直线，集合B中的元素是圆，既是直线又是圆的元素是不存在的，故填0个.
例2 设集合A={y|y=x2+1，x∈R}，B={x|y=x+2}，求A∩B.
【错解】 显然A={y|y≥1}，B={x|y≥2}.所以A∩B=B.
【错因剖析】 错因在于对集合中的代表元素不理解，集合A中的代表元素是y，表示函数的值域.集合B中的元素为x，表示函数的定义域.
【正解】 A={y|y≥1}，B={x|x≥0}，所以故A∩B=A.
点评：要认识集合：一看元素，看元素代表什么；二看属性，从而确定该集合表示的是数集还是点集，是函数的定义域还是值域等.这样才能准确地判断集合间的关系，进而进行相关的运算.解题时应认真领会，以防出错.
易错点2.忽视集合中元素的互异性
例3 已知集合A={x，xy，lg（xy）}，B={0，|x|，y}，若A=B，求实数x，y的值.
【错解】 因为lg（xy）有意义，所以xy>0，从而x≠0，故xy=1.
又由A=B得x=|x|
xy=y或x=y
xy=|x|，
所以x=y=1或x=y=-1.
【错因剖析】 由于同一集合中的元素不同（互异性），而以上解法中，当x=y=1时，x=xy，|x|=y分别使集合A，B中出现了相同元素，故应舍去，所以只能取x=y=-1.
例4 设A={x|x2+（b+2）x+b+1=0，b∈R}，求A中所有元素之和.
【错解】 集合A中的元素是方程的根，故由根与系数的关系可知，两根之和为-（b+2）.
【错因剖析】 上述解法犯错误的原因是忽视了集合中元素的“互异性”.
【正解】 集合A中的元素是方程的根，由于Δ=（b+2）2-4（b+1）=b2，故当b=0时，方程有二重根-1，由集合中元素的互异性，集合A={-1}，所以元素之和为-1；当b≠0时，x1+x2=-b-2.
点评：集合元素的互异性在解题中有重要的指导作用，忽视这一点就可能差之毫厘，失之千里.要注意分类，注意求得结果后还要再代入检验.
易错点3.对“空集是任何集合的子集”的规定不能落实到实处
例5 设集合A={x|x2-2x-3=0}，B={x|ax-1=0}且A∩B=B，求实数a的值.
【错解】 由A={3，-1}，B={1a}，又A∩B=B，故BA，所以a=13或-1.
【错因剖析】 其实B={x|ax-1=0}与集合{1a}并不是同一集合，将集合B化为{1a}，就已经默认了a≠0，B≠.
【正解】 由A={3，-1}，B集合中的元素是方程ax-1=0的根，当a=0时，方程无根，此时集合B为空集，满足题意.当a不为0时，B={1a}，所以a=13或-1，综合可得a=13或-1或0.
例6 已知A={x|-1≤x≤4}，B={x|m+1≤x≤2m-1}，求当BA时实数m的取值范围.
【错解】 要使BA，应有m+1≤2m-1
m+1≥-1
2m-1≤4，解得：2≤m≤52.
【错因剖析】 错解忽略了B=时的情况，因为当B=时，BA亦成立.
【正解】 （1）当B≠时，由错解可得：2≤m≤52.
（2）当B=时，m+1>2m-1，
解得：m<2，所以m的取值范围为：m≤52.
点评：涉及集合的交、并、补运算和子集关系时，要注意集合是否为空集.空集是任意集合的子集，是非空集合的真子集.如果在解题中忽略空集，则易产生丢解的情况.解题时一定要慎重审题，周密考虑.
易错点4.隐含条件挖掘不够
例7 设全集U={2，3，a2+2a-3}，A={|2a-1|，2}，
瘙 綂 UA={5}，求实数a的值.
【错解】 ∵
瘙 綂 UA={5}，∴5∈U且5A，从而，a2+2a-3=5，解得a=2，或a=-4.
【错因剖析】 导致错误的原因是没有考虑到隐含条件，因为U是全集，所以首先必须满足AU.
【正解】 当a=2时，|2a-1|=3∈U，符合题意；当a=-4时，|2a-1|=9U，不符合题意；故a=2.
点评：在许多问题的题设中隐藏着某些条件，解题时，要注意题设中的细节，将隐含条件挖掘出来，养成细心、规范解题的好习惯.
易错点5.转化不等价
例8 设集合M={（x，y）|y+1x-1=1}，N={（x，y）|（a-1）x+y=1}，且M∩N=，求实数a.
【错解】 集合M表示直线y=x-2上的点的集合，集合N表示直线y=（1-a）x+1上的点的集合.又M∩N=（即两直线平行），故1-a=1，即a=0.
【错因剖析】 将集合M转化为直线y=x-2上的点的集合是不等价的，它应除去点（1，-1）.
【正解】 集合M表示直线y=x-2（挖去点（1，-1）），集合N表示直线y=（1-a）x+1.M∩N=对应两种情况：当两直线平行时，有1-a=1，即a=0；当集合N表示的直线也过点（1，-1）时，也符合M∩N=，所以把点（1，-1）代入直线y=（1-a）x+1，解得a=3.
故a=0或3.
点评：对于用集合语言叙述的问题，求解时往往需转化为代数语言或几何语言，如果转化不等价，就会导致错误.解题时要注意条件的充分性、必要性和充要性，要熟练掌握三种语言的相互转化.
易错点6.过分依赖特殊化法，考虑不全面
例9 设集合A，B是两个非空集合，我们规定A-B={x|x∈A且xB}，根据上述规定，则M-（M-N）= .
【错解】 特殊化法.取M={1，2，3，4，5}，N={1，3}，则M-N={2，4，5}，
M-（M-N）={1，3}=N，
故填N.
【错因剖析】 这种特殊化法对原题作了BA的前提假定，缩小了原题中B集合的取值范围，如M={1，2，3，4，5}，N={1，3，6}，
则M-N={2，4，5}，
M-（M-N）={1，3}≠N，
而是M-（M-N）=M∩N.
实际上，对规定A-B={x|x∈A且xB}有两种理解：
x∈（A-B）x∈A且xB，或x（A-B）xA或x∈B，
所以x∈[M-（M-N）]x∈M且x（M-N），
而x（M-N）xM或x∈N，
故x∈[M-（M-N）]x∈M且x∈N，
所以M-（M-N）=M∩N.
（作者：徐玉坤，如皋市职业教育中心校）
集合语言是现代数学的基本语言，在每年的高考中以小题为主，难度不大，属高考试题中的送分题.但集合概念抽象，符号术语多，稍不注意，就会出错.
易错点1.对集合中元素属性认识不清
例1 设集合A={平面上的直线}，B={平面上的圆}，则A∩B中的元素最多有_____个.
【错解】 由直线与圆的位置关系可知，最多有2个，故填2.
【错因剖析】 上述解法把集合A、B中元素误认为了点集，由定势思维考虑两者之间的位置关系了.
【正解】 集合A中的元素是直线，集合B中的元素是圆，既是直线又是圆的元素是不存在的，故填0个.
例2 设集合A={y|y=x2+1，x∈R}，B={x|y=x+2}，求A∩B.
【错解】 显然A={y|y≥1}，B={x|y≥2}.所以A∩B=B.
【错因剖析】 错因在于对集合中的代表元素不理解，集合A中的代表元素是y，表示函数的值域.集合B中的元素为x，表示函数的定义域.
【正解】 A={y|y≥1}，B={x|x≥0}，所以故A∩B=A.
点评：要认识集合：一看元素，看元素代表什么；二看属性，从而确定该集合表示的是数集还是点集，是函数的定义域还是值域等.这样才能准确地判断集合间的关系，进而进行相关的运算.解题时应认真领会，以防出错.
易错点2.忽视集合中元素的互异性
例3 已知集合A={x，xy，lg（xy）}，B={0，|x|，y}，若A=B，求实数x，y的值.
【错解】 因为lg（xy）有意义，所以xy>0，从而x≠0，故xy=1.
又由A=B得x=|x|
xy=y或x=y
xy=|x|，
所以x=y=1或x=y=-1.
【错因剖析】 由于同一集合中的元素不同（互异性），而以上解法中，当x=y=1时，x=xy，|x|=y分别使集合A，B中出现了相同元素，故应舍去，所以只能取x=y=-1.
例4 设A={x|x2+（b+2）x+b+1=0，b∈R}，求A中所有元素之和.
【错解】 集合A中的元素是方程的根，故由根与系数的关系可知，两根之和为-（b+2）.
【错因剖析】 上述解法犯错误的原因是忽视了集合中元素的“互异性”.
【正解】 集合A中的元素是方程的根，由于Δ=（b+2）2-4（b+1）=b2，故当b=0时，方程有二重根-1，由集合中元素的互异性，集合A={-1}，所以元素之和为-1；当b≠0时，x1+x2=-b-2.
点评：集合元素的互异性在解题中有重要的指导作用，忽视这一点就可能差之毫厘，失之千里.要注意分类，注意求得结果后还要再代入检验.
易错点3.对“空集是任何集合的子集”的规定不能落实到实处
例5 设集合A={x|x2-2x-3=0}，B={x|ax-1=0}且A∩B=B，求实数a的值.
【错解】 由A={3，-1}，B={1a}，又A∩B=B，故BA，所以a=13或-1.
【错因剖析】 其实B={x|ax-1=0}与集合{1a}并不是同一集合，将集合B化为{1a}，就已经默认了a≠0，B≠.
【正解】 由A={3，-1}，B集合中的元素是方程ax-1=0的根，当a=0时，方程无根，此时集合B为空集，满足题意.当a不为0时，B={1a}，所以a=13或-1，综合可得a=13或-1或0.
例6 已知A={x|-1≤x≤4}，B={x|m+1≤x≤2m-1}，求当BA时实数m的取值范围.
【错解】 要使BA，应有m+1≤2m-1
m+1≥-1
2m-1≤4，解得：2≤m≤52.
【错因剖析】 错解忽略了B=时的情况，因为当B=时，BA亦成立.
【正解】 （1）当B≠时，由错解可得：2≤m≤52.
（2）当B=时，m+1>2m-1，
解得：m<2，所以m的取值范围为：m≤52.
点评：涉及集合的交、并、补运算和子集关系时，要注意集合是否为空集.空集是任意集合的子集，是非空集合的真子集.如果在解题中忽略空集，则易产生丢解的情况.解题时一定要慎重审题，周密考虑.
易错点4.隐含条件挖掘不够
例7 设全集U={2，3，a2+2a-3}，A={|2a-1|，2}，
瘙 綂 UA={5}，求实数a的值.
【错解】 ∵
瘙 綂 UA={5}，∴5∈U且5A，从而，a2+2a-3=5，解得a=2，或a=-4.
【错因剖析】 导致错误的原因是没有考虑到隐含条件，因为U是全集，所以首先必须满足AU.
【正解】 当a=2时，|2a-1|=3∈U，符合题意；当a=-4时，|2a-1|=9U，不符合题意；故a=2.
点评：在许多问题的题设中隐藏着某些条件，解题时，要注意题设中的细节，将隐含条件挖掘出来，养成细心、规范解题的好习惯.
易错点5.转化不等价
例8 设集合M={（x，y）|y+1x-1=1}，N={（x，y）|（a-1）x+y=1}，且M∩N=，求实数a.
【错解】 集合M表示直线y=x-2上的点的集合，集合N表示直线y=（1-a）x+1上的点的集合.又M∩N=（即两直线平行），故1-a=1，即a=0.
【错因剖析】 将集合M转化为直线y=x-2上的点的集合是不等价的，它应除去点（1，-1）.
【正解】 集合M表示直线y=x-2（挖去点（1，-1）），集合N表示直线y=（1-a）x+1.M∩N=对应两种情况：当两直线平行时，有1-a=1，即a=0；当集合N表示的直线也过点（1，-1）时，也符合M∩N=，所以把点（1，-1）代入直线y=（1-a）x+1，解得a=3.
故a=0或3.
点评：对于用集合语言叙述的问题，求解时往往需转化为代数语言或几何语言，如果转化不等价，就会导致错误.解题时要注意条件的充分性、必要性和充要性，要熟练掌握三种语言的相互转化.
易错点6.过分依赖特殊化法，考虑不全面
例9 设集合A，B是两个非空集合，我们规定A-B={x|x∈A且xB}，根据上述规定，则M-（M-N）= .
【错解】 特殊化法.取M={1，2，3，4，5}，N={1，3}，则M-N={2，4，5}，
M-（M-N）={1，3}=N，
故填N.
【错因剖析】 这种特殊化法对原题作了BA的前提假定，缩小了原题中B集合的取值范围，如M={1，2，3，4，5}，N={1，3，6}，
则M-N={2，4，5}，
M-（M-N）={1，3}≠N，
而是M-（M-N）=M∩N.
实际上，对规定A-B={x|x∈A且xB}有两种理解：
x∈（A-B）x∈A且xB，或x（A-B）xA或x∈B，
所以x∈[M-（M-N）]x∈M且x（M-N），
而x（M-N）xM或x∈N，
故x∈[M-（M-N）]x∈M且x∈N，
所以M-（M-N）=M∩N.
（作者：徐玉坤，如皋市职业教育中心校）