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提出问题
数学教学思维是数学教师对数学教学活动(过程)的理性认识，是数学教师和数学教学对象(教材、学生等)交互作用的内在理性活动，是数学知识的学术形态转换为教育形态的意识与能力。拙文结合两个教学片段，通过分析两位数学教师在磨课过程中对同一教学环节的不同处理，挖掘其内在的数学教学思维深刻性、逻辑性、批判性三方面的差异。最近，笔者听闻了两位数学教师对《一元二次不等式的解法》这一课例的教学设计的讨论，现结合该课例从数学教师将数学知识的学术形态转换为教育形态的意识和能力这两方面再谈数学教学思维的差异，并对这种差异进行反思和小结。
课例呈现
某数学教师甲要参加学校的教学比武，课题是《一元二次不等式的解法》。她主要的教学设计为先复习一元一次不等式的解法，引入一元二次不等式。接着先让学生讨论一元二次不等式的解法，让学生尝试运用分类讨论法进行求解。再接着复习一元二次函数的相关知识，介绍运用数形结合法来求解一元二次不等式。最后让学生运用数形结合法解一元二次不等式，通过练习，巩固方法。备完课后，甲老师拿给教学经验丰富、教学思维水平和能力较高的乙老师看，找出需要进一步改进的地方。乙老师看后，提出了下面两个问题：1.为什么要引入一元二次函数来解一元二次不等式?2.如何引入一元二次函数?甲老师经过乙老师的提问。意识到在教学中确实需要引导学生认识到引入一元二次函数来解一元二次不等式的必要性，但对于如何引入一时还未能找到很好的答案，只能继续向乙老师请教。
乙老师解释道如果一元二次不等式相应的一元二次方程有两个根时，学生可以通过先因式分解，再分类讨论的方法解此不等式。而如果一元二次不等式相应的一元二次方程没有根时，学生无法进行因式分解，也就意味着必须寻找新的方法来解一元二次不等式，这也是我们要引入一元二次函数来解一元二次不等式的重要原因。而此时新方法还羞答答的没有揭开它神秘的面纱，学生往往又会“病急乱投医”，误认为一元二次方程无解必然导致相应的一元二次不等式也无解，学生的这一认识误区恰好就是我们引入一元二次函数的出发点。此时我们要引导学生通过反思不等式根的定义认识到自己的解答是错误的，进而通过一一寻找这种不等式的根的过程，使学生体会其中所蕴含的运动变化，继而联想到初中函数的定义，从而顺利地引入一元二次函数。
分析差异
1.将数学知识的学术形态转换为数育形态的意识的差异
从上例我们可以看到，甲老师根本就没有考虑为什么要引入一元二次函数。也即没有意识到引人一元二次函数的必要性。仅仅是就知识论知识，将教材上的方法一一介绍给学生。没有考虑教材上为什么要这样处理，为什么要用这种方法；仅仅看到了问题的表面，而没有抓住问题的本质；仅仅知其然而不想知其所以然。而乙老师在教学设计时不仅仅是围绕教材中的教学内容展开教学，更考虑到了这些内容的来龙去脉；不仅仅关注数学知识的学术形态，更具有将数学知识的学术形态转换为教育形态的意识。这些表明甲、乙两位数学教师将数学知识的学术形态转换为教育形态的意识存在差异。
2.将数学知识的学术形态转换为教育形态的能力的差异
从上例我们又可以看到，即使甲老师经过乙老师的提醒也意识到在教学中确实需要引导学生认识引入一元二次函数的必要性，但未能想到具体的教学设计。而乙老师却能从学生的角度出发，认识到学生能利用先因式分解再分类讨论的方法解决一类一元二次不等式，但这种方法具有局限性、接着利用这一局限性，让学生产生认知冲突，从而使学生意识到有必要寻找新方法，引起学生极大的学习兴趣。接下来寻找新方法的教学设计紧扣初中函数定义中的运动变化这一核心，通过一一寻找不等式的解的过程，渗透运动变化的思想，从而自然的引入函数。这样的教学设计环环相扣、步步深入、循序渐进，让学生经历了数学知识发生、发展的全过程，使学生体会到了鲜活的数学思想，帮助学生顺利实现新知的内化，锻炼了学生的数学思维能力。这些表明甲、乙两位数学教师将数学知识的学术形态转换为教育形态的能力也存在差异。
反思小结
1.差异产生的原因
通过以上的分析，我们不禁要问：为什么不同的数学教师在将数学知识的学术形态转换为教育形态的意识和能力存在差异呢?我觉得主要与数学教师对数学和教学的认识和理解的深度有关。不同的数学教师有不同的数学观、教学观、学生观，不同的数学专业功底，不同的数学理论修养，不同的数学视野等等。这些差异必然导致将数学知识的学术形态转换为教育形态的意识和能力的差异。
如果我们把数学仅仅理解为运用教材中提供的方法进行计算或证明，而没有认识到数学是有灵魂的，前后知识之间是一脉相承、相互联系、和谐统一的，那在教学设计时只能是照本宣科，不可能意识到需要考虑诸如上例中所提到的“为什么要引入一元二次函数来解一元二次不等式?”如果我们把教学仅仅理解为将教材中的知识传递给学生，而不能尊重教学规律、考虑学生的认知基础和思维水平，我们的教学就无法深入到学生的内心深处，无法准确定位教学目标、教学重点和难点，也就更谈不上找到有效的途径去突出重点，突破难点。这在上例中就会表现为无法设计出从学生的认知冲突出发，自然地引入一元二次函数。
2.缩小教学思维差异的途径
意识决定物质，数学教学思维的差异将直接导致数学教学行为的差异，也就导致了数学教学效果的差异。教育领域中许多现象表明：在数学家与数学教师、教学平庸的数学教师与优秀的数学教师之间确实存在着一种与数学教学思维有关的意识与能力上的差异。既然差异是客观存在的，那我们数学教师首先要做的就是正视它的存在，不要自欺欺人；其次要加强自身的理论学习，通过学习，提升自身的数学修养，拓宽自身的数学视野，树立正确的数学观、教学观及学生观；再次理论结合实际，大胆实践，努力创新，在实践中加深对理论的理解和把握；最后要多与别人交流，这里的别人既有其他数学教师更包括我们的学生!我们既要学习其他数学老师的优点，更要从学生的反馈中找到自己的不足，而且后者还更为重要，因为所有的教学都是为他们服务的，离开他们将毫无意义!
俗话说“不怕不识货，就怕货比货”，因此，作为数学教育者，要善于从自己与他人的教学效果的差异中找到数学教学思维的差异，并通过研究这些差异，找到自身的不足，明确前进的方向，不断提高自身数学教学思维的能力!
参考文献：
[1]潘颖昕，倒谈数学教学思维的差异，吉林教育2008，(8)
[2][美]D.A.格劳斯，数学教与学研究手册，上海教育出版社，1999
[3]唐瑞芬等，数学教师培养中的两个问题，天津：数学教育学报，1999，(2)
数学教学思维是数学教师对数学教学活动(过程)的理性认识，是数学教师和数学教学对象(教材、学生等)交互作用的内在理性活动，是数学知识的学术形态转换为教育形态的意识与能力。拙文结合两个教学片段，通过分析两位数学教师在磨课过程中对同一教学环节的不同处理，挖掘其内在的数学教学思维深刻性、逻辑性、批判性三方面的差异。最近，笔者听闻了两位数学教师对《一元二次不等式的解法》这一课例的教学设计的讨论，现结合该课例从数学教师将数学知识的学术形态转换为教育形态的意识和能力这两方面再谈数学教学思维的差异，并对这种差异进行反思和小结。
课例呈现
某数学教师甲要参加学校的教学比武，课题是《一元二次不等式的解法》。她主要的教学设计为先复习一元一次不等式的解法，引入一元二次不等式。接着先让学生讨论一元二次不等式的解法，让学生尝试运用分类讨论法进行求解。再接着复习一元二次函数的相关知识，介绍运用数形结合法来求解一元二次不等式。最后让学生运用数形结合法解一元二次不等式，通过练习，巩固方法。备完课后，甲老师拿给教学经验丰富、教学思维水平和能力较高的乙老师看，找出需要进一步改进的地方。乙老师看后，提出了下面两个问题：1.为什么要引入一元二次函数来解一元二次不等式?2.如何引入一元二次函数?甲老师经过乙老师的提问。意识到在教学中确实需要引导学生认识到引入一元二次函数来解一元二次不等式的必要性，但对于如何引入一时还未能找到很好的答案，只能继续向乙老师请教。
乙老师解释道如果一元二次不等式相应的一元二次方程有两个根时，学生可以通过先因式分解，再分类讨论的方法解此不等式。而如果一元二次不等式相应的一元二次方程没有根时，学生无法进行因式分解，也就意味着必须寻找新的方法来解一元二次不等式，这也是我们要引入一元二次函数来解一元二次不等式的重要原因。而此时新方法还羞答答的没有揭开它神秘的面纱，学生往往又会“病急乱投医”，误认为一元二次方程无解必然导致相应的一元二次不等式也无解，学生的这一认识误区恰好就是我们引入一元二次函数的出发点。此时我们要引导学生通过反思不等式根的定义认识到自己的解答是错误的，进而通过一一寻找这种不等式的根的过程，使学生体会其中所蕴含的运动变化，继而联想到初中函数的定义，从而顺利地引入一元二次函数。
分析差异
1.将数学知识的学术形态转换为数育形态的意识的差异
从上例我们可以看到，甲老师根本就没有考虑为什么要引入一元二次函数。也即没有意识到引人一元二次函数的必要性。仅仅是就知识论知识，将教材上的方法一一介绍给学生。没有考虑教材上为什么要这样处理，为什么要用这种方法；仅仅看到了问题的表面，而没有抓住问题的本质；仅仅知其然而不想知其所以然。而乙老师在教学设计时不仅仅是围绕教材中的教学内容展开教学，更考虑到了这些内容的来龙去脉；不仅仅关注数学知识的学术形态，更具有将数学知识的学术形态转换为教育形态的意识。这些表明甲、乙两位数学教师将数学知识的学术形态转换为教育形态的意识存在差异。
2.将数学知识的学术形态转换为教育形态的能力的差异
从上例我们又可以看到，即使甲老师经过乙老师的提醒也意识到在教学中确实需要引导学生认识引入一元二次函数的必要性，但未能想到具体的教学设计。而乙老师却能从学生的角度出发，认识到学生能利用先因式分解再分类讨论的方法解决一类一元二次不等式，但这种方法具有局限性、接着利用这一局限性，让学生产生认知冲突，从而使学生意识到有必要寻找新方法，引起学生极大的学习兴趣。接下来寻找新方法的教学设计紧扣初中函数定义中的运动变化这一核心，通过一一寻找不等式的解的过程，渗透运动变化的思想，从而自然的引入函数。这样的教学设计环环相扣、步步深入、循序渐进，让学生经历了数学知识发生、发展的全过程，使学生体会到了鲜活的数学思想，帮助学生顺利实现新知的内化，锻炼了学生的数学思维能力。这些表明甲、乙两位数学教师将数学知识的学术形态转换为教育形态的能力也存在差异。
反思小结
1.差异产生的原因
通过以上的分析，我们不禁要问：为什么不同的数学教师在将数学知识的学术形态转换为教育形态的意识和能力存在差异呢?我觉得主要与数学教师对数学和教学的认识和理解的深度有关。不同的数学教师有不同的数学观、教学观、学生观，不同的数学专业功底，不同的数学理论修养，不同的数学视野等等。这些差异必然导致将数学知识的学术形态转换为教育形态的意识和能力的差异。
如果我们把数学仅仅理解为运用教材中提供的方法进行计算或证明，而没有认识到数学是有灵魂的，前后知识之间是一脉相承、相互联系、和谐统一的，那在教学设计时只能是照本宣科，不可能意识到需要考虑诸如上例中所提到的“为什么要引入一元二次函数来解一元二次不等式?”如果我们把教学仅仅理解为将教材中的知识传递给学生，而不能尊重教学规律、考虑学生的认知基础和思维水平，我们的教学就无法深入到学生的内心深处，无法准确定位教学目标、教学重点和难点，也就更谈不上找到有效的途径去突出重点，突破难点。这在上例中就会表现为无法设计出从学生的认知冲突出发，自然地引入一元二次函数。
2.缩小教学思维差异的途径
意识决定物质，数学教学思维的差异将直接导致数学教学行为的差异，也就导致了数学教学效果的差异。教育领域中许多现象表明：在数学家与数学教师、教学平庸的数学教师与优秀的数学教师之间确实存在着一种与数学教学思维有关的意识与能力上的差异。既然差异是客观存在的，那我们数学教师首先要做的就是正视它的存在，不要自欺欺人；其次要加强自身的理论学习，通过学习，提升自身的数学修养，拓宽自身的数学视野，树立正确的数学观、教学观及学生观；再次理论结合实际，大胆实践，努力创新，在实践中加深对理论的理解和把握；最后要多与别人交流，这里的别人既有其他数学教师更包括我们的学生!我们既要学习其他数学老师的优点，更要从学生的反馈中找到自己的不足，而且后者还更为重要，因为所有的教学都是为他们服务的，离开他们将毫无意义!
俗话说“不怕不识货，就怕货比货”，因此，作为数学教育者，要善于从自己与他人的教学效果的差异中找到数学教学思维的差异，并通过研究这些差异，找到自身的不足，明确前进的方向，不断提高自身数学教学思维的能力!
参考文献：
[1]潘颖昕，倒谈数学教学思维的差异，吉林教育2008，(8)
[2][美]D.A.格劳斯，数学教与学研究手册，上海教育出版社，1999
[3]唐瑞芬等，数学教师培养中的两个问题，天津：数学教育学报，1999，(2)