摘 要:对型矩阵方程,当都是方阵时,但阶数不同时,不是方阵。对此情形,用标准型方法讨论型矩阵方程的求解问题,并得到两个重要结论。
　　关键词:标准型方法矩阵方程若当块维数矩阵
　　中图分类号:O151 文献标识码:A 文章编号:1674-098X(2011)01(a)-0206-01
　　
　　1 有解的一个充分必要条件
　　命题1:设都是阶方阵,有秩为的矩阵,满足的充分必要条件是有阶方阵,使得分别相似于、。
　　证明:(标准型方法)(必要性)用可逆矩阵左乘、右乘,有(1)
　　由秩为,可取可逆矩阵,使得,令,则,令,则有
　　所以取即可。
　　(充分性)反推回去即可。由条件,存在可逆矩阵,使得
　　(2)
　　令代入上式就有,。
　　由命题1易得有解的一个必要条件:
　　推论1:若有秩为的矩阵,满足,则有个相同的特征值(含重数)。
　　这里是充分条件。另外,关于的解的维数计算,本质上就是[1]中两个定理,但定理3不是很直观(其实初等因子和若当块一一对应,就是若当块的特征多项式[2]),所以本文改写了一下,并给出例子来说明。这里仅处理了复数域的情形,对于一般数域类似可以证明,但需要把若当标准型换为有理标准型来推理。
　　下面给出用标准型方法给出型矩阵方程的求解问题,其中都是方阵。
　　
　　2 标准型方法
　　用可逆矩阵左乘、右乘,有,可取可逆矩阵,使得都是若当型,以为新未知矩阵,记为,对方程,将分块,使行的分法与列的分法相同,列的分法与行的分法相同。在每一小块上,方程就成为。把的每一小块仍记为,与分别是与的若当块,对应的为阶。
　　方程的通解讨论,其中为阶矩阵。
　　(1)若,由有解的必要条件的推论1,方程只有零解;
　　(2)若,等式两边减去,就成为,下面求解方程。
　　其中按行看是单位矩阵的行上推一行(第一行推出去,最后一行补零),所以是把矩阵往上推一行,最后一行补零;同理,按列看是单位矩阵的列右推一列(第一列补零,最后一列推出去),所以是把矩阵往右推一列,最第一列补零。令,则,或者,的元素按照主对角线平行斜线(列标—行标=常数)看都是常数,第一列除了左上角的外都是零,最后一行除了右下角的外都是零[3]。
　　所以的通解可以描述为:
　　从右上角开始,每一条斜线(列标—行标=常数)上填一个自由变元,一直到该斜线经过左上角或右下角为止,其余元素为零。所以解空间的维数=通解的自由变元的个数=。例如
　　,
　　
　　
　　3 的解集作为线性空间的维数计算
　　设的若当标准型中所有若当块为的若当标准型中所有若当块为做一个型矩阵,称其为维数矩阵[4],并且按以下规则确定的元素:
　　如果,那么的元为零;
　　如果,那么的元为。
　　
　　4 重要结论
　　结论1:有非零解的充分必要条件是至少有一个特征值相同。
　　结论2:的解空间的维数=维数矩阵中所有元素的和。
　　例如的若当型分别为
　　,则对应的为
　　的所有元素的和为14,所以的解空间是14维的。
　　
　　参考文献
　　[1] 李乔.矩阵论八讲[M].上海:上海科学技术出版社,1988.
　　[2] 卜长江,罗跃生.矩阵论[M].哈尔滨工业大学出版社,2007.
　　[3] 陈祖明.矩阵论引论[M].北京航空航天大學出版社,1998.