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《钉子板上的多边形》是五年级上册“综合实践”单元的内容，属于规律探索类课型，其价值不仅仅在于得出一个结论，而且重在让学生经历规律探索的一般过程与方法，积累数学活动经验，培养学生善于发现的眼光、科学严谨的态度和归纳概括的能力。本课内容的教学涉及数学抽象与逻辑推理的素养。基于培育学生数学核心素养与关键能力，由课外到课内，再由课内到课外，课堂中体现了数学的理趣。
一、“研学”与“操作”，培养自学自悟能力
新课程的重要任务是转变学生的学习方式，让学生自主探究、自我建构知识体系，将学习自主权真正还给学生。以前倡导学生课前预学，但发现达不到设想的效果，后来又提出了“研学”。“研学”更具有明确的目标（学什么），更注重方法的渗透（怎么学），还有学科思维的引领（为什么这样学）。“研学”让学习向四面八方打开。而“操作”能帮助学生感知和建构表象，领悟知识的形成过程。课前通过“研学”和“操作”活动，培养学生的自学自悟能力。
1.课前“研学”，提供探索时空。
“研学”是学生个体的独学活动，“研学单”是学生独学的脚手架。教师给每个学生提供“研学单”，学生在课前根据“研学单”的要求进行自主研学，实现个体深入学习与内化，倡导个性化学习方式，鼓励提出探究性的问题。课前“研学”帮助学生获得必备的认知经验。
《钉子板上的多边形》“研学单”的第一题：给出教材中内部有1枚钉子的图形，依次是三角形、直角梯形、有3个直角的五边形、平行四边形。要求学生分别数出其边上的钉子数以及面积，填入相应表格，观察表格中的数据，发现多边形面积与边上钉子数的关系。这其实是教材例题的一半，也是学生能根据已有知识基础，在学习本课之前就能自己解决和发现的问题。“研学单”第二题：先给出2个内部有2枚钉子的图形，再让学生画两个与前面不同的多边形，使得钉子图内有2枚钉子。
两道题，看似很简单，但却能从中发现不同的学生有不同的表现。学生都能做到独立、正确完成“研学单”，理解两个关键词语“边上的钉子数”和“内部的钉子数”，有些学生能优化求多边形面积的方法，虽然题中没有给出相应表格记录数据；但也有些学生能从第一题的发现中，想到去記录第二题的数据，并发现了第二题的图没有与第一题相同的规律。
在这一自主研学的过程中，培养了学生自主预习的能力，即自己独立学习的能力，这将使学生受益终生。
2.玩钉子板，丰富直观感知。
玩是小学生的天性。课始，给每个学生一个钉子板、一条橡皮筋，让学生玩（动手操作）。学生根据自己玩数学学具的经验，很快地在钉子板上围起了图形。这时，给学生充足的时间，把图形拉大、缩小，把图形进行变化，在图形变化的过程中，学生直观感知钉子板上的多边形的面积随着所用到的钉子数变化而变化，同时让学生最后定好一个图形。这一活动，既让学生感觉到这节数学课不同于一般的数学课，又让学生在玩中初步感知要学的数学知识，同时还巧妙地为本节课中的验证规律提供了丰富的、现实的资源。
二、“交流”与“互学”，培养合作交往能力
学习既要有学生的独学，更要有与自己经历、学力相当的同学的帮助和激励。自己的理解、感悟以及疑问在小组内交流，互相补充，形成共同的研学成果。
1.交流课前“研学”，了解探索规律的一般过程。
交流是学生相互学习、思维碰撞的有效途径。本课中，学生对“研学单”上第一题进行交流，汇报研学成果。在这一过程中，教师有意识地进行质疑，如：2号图形的面积是怎样求的？你也有什么问题考考大家？4号图形边上的钉子数你是怎么数的？通过这些问题，再现求面积的方法，利用平面图形的面积公式、利用图形的割补和直接数的方法求多边形的面积，并灵活地选用最方便的方法进行计算，帮助学生掌握数图形边上钉子数的方法，让学生不重复、不遗漏地数。有效的交流，帮助所有学生掌握这节课要探索规律的必备能力，即正确地算出图形的面积和数出边上的钉子数。
在交流发现后，呈现三个内部不是1枚钉子的多边形，验证自己的发现是否符合所有钉子板上的图形，引起冲突，再回到图形，从不同的多边形中找到相同，得出只有当多边形内只有1枚钉子时，才符合这一发现，从而得出“多边形的面积不仅和它边上的钉子数有关，还与它内部的钉子数有关”的结论。然后再让学生呈现课前自己在钉子板上随意围图形，找到里面只有1枚钉子的多边形，验证这一发现的正确性。
这样的教学活动，学生经历了发现规律的一般过程：观察图形、比较数据、进行猜想、反复验证。
2.小组合作互学，尝试自己探索规律。
学生的学习离不开与自己经历、学力相当的同学的帮助和激励。课堂中学生将自己的理解、感悟以及疑问在小组内交流，互相补充，形成小组共同的研究成果。在这个过程中，实现“兵教兵”，极大地调动优生的学习积极性。
本课在总结出内部有1枚钉子的规律后，让学生用发现规律的一般过程，去研究内部有2枚钉子的多边形的面积与边上钉子枚数的关系，延伸探索规律的活动。学生同桌两人分工合作，完成表格数据的填写，观察数据，再次发现规律。在这一过程中，学生实现了经验的迁移。但这一规律比前面复杂，发现和表达规律的难度也比前面大，留给学生自主活动的空间也就更大。同时根据学生之间的差异，也允许部分学生探索不出规律。
三、“思考”与“表达”，培养学生的数学关键能力
数学教学中要让学生通过操作、计算、记录、观察、比较，在此基础上去发现，在思考的基础上用符号表达，才能更好地培养学生的数学抽象、逻辑推理等关键能力。
1.培养数学抽象能力。
数学的学习是逐步抽象的过程。由具体的实物到数字，由具体的情境到算式，由生活中的数学到符号表达，这就是数学抽象。本课中，每次的发现都及时让学生用含有字母的式子表达自己的发现。如，研究内部有1枚钉子的多边形后，用“a=1时，S=n÷2”来表述自己的发现，研究内部有2枚钉子的多边形后，用“a=2时，S=n÷2+1”来表述。根据前面这两个发现，猜想出a=3时，S=n÷2+2；a=4时，S=n÷2+3……再通过观察这些已经发现的式子，用更简洁的一个式子S=n÷2+a-1来概括。由具体到抽象、由抽象到更抽象，学生经历了一次次的数学抽象过程，用数学的方式来表达，用数学符号的方式来刻画，抽象能力也在这个过程中逐步得到了提升。
2.培养逻辑推理能力。
逻辑推理能力是学生的重要素养。本课学习内部有1枚和2枚钉子时，都是先研究实例得出数据，再在数据中提取规律，思维方式都是归纳推理。而根据前面2个规律，推想多边形内部有3枚、4枚的情况，再验证猜想，其思维方式与前面不同，先猜想，再用实例验证，思维方式是类比推理。在验证内部有3枚、4枚钉子的猜想成立之后，学生很快就能推想出内部有更多枚钉子的情况，从而总结出最终的规律。
数学教学中，要把课堂还给学生，让学生真正成为课堂的主人，满足他们实现自我价值的意愿，就必须在结合知识教学过程中，强化学生关键能力的培养，让关键能力在课堂上落地生根，实现基于核心素养的小学数学的教学转型。
（作者单位：江苏省张家港市合兴小学）
（责任编辑 冉 然）
一、“研学”与“操作”，培养自学自悟能力
新课程的重要任务是转变学生的学习方式，让学生自主探究、自我建构知识体系，将学习自主权真正还给学生。以前倡导学生课前预学，但发现达不到设想的效果，后来又提出了“研学”。“研学”更具有明确的目标（学什么），更注重方法的渗透（怎么学），还有学科思维的引领（为什么这样学）。“研学”让学习向四面八方打开。而“操作”能帮助学生感知和建构表象，领悟知识的形成过程。课前通过“研学”和“操作”活动，培养学生的自学自悟能力。
1.课前“研学”，提供探索时空。
“研学”是学生个体的独学活动，“研学单”是学生独学的脚手架。教师给每个学生提供“研学单”，学生在课前根据“研学单”的要求进行自主研学，实现个体深入学习与内化，倡导个性化学习方式，鼓励提出探究性的问题。课前“研学”帮助学生获得必备的认知经验。
《钉子板上的多边形》“研学单”的第一题：给出教材中内部有1枚钉子的图形，依次是三角形、直角梯形、有3个直角的五边形、平行四边形。要求学生分别数出其边上的钉子数以及面积，填入相应表格，观察表格中的数据，发现多边形面积与边上钉子数的关系。这其实是教材例题的一半，也是学生能根据已有知识基础，在学习本课之前就能自己解决和发现的问题。“研学单”第二题：先给出2个内部有2枚钉子的图形，再让学生画两个与前面不同的多边形，使得钉子图内有2枚钉子。
两道题，看似很简单，但却能从中发现不同的学生有不同的表现。学生都能做到独立、正确完成“研学单”，理解两个关键词语“边上的钉子数”和“内部的钉子数”，有些学生能优化求多边形面积的方法，虽然题中没有给出相应表格记录数据；但也有些学生能从第一题的发现中，想到去記录第二题的数据，并发现了第二题的图没有与第一题相同的规律。
在这一自主研学的过程中，培养了学生自主预习的能力，即自己独立学习的能力，这将使学生受益终生。
2.玩钉子板，丰富直观感知。
玩是小学生的天性。课始，给每个学生一个钉子板、一条橡皮筋，让学生玩（动手操作）。学生根据自己玩数学学具的经验，很快地在钉子板上围起了图形。这时，给学生充足的时间，把图形拉大、缩小，把图形进行变化，在图形变化的过程中，学生直观感知钉子板上的多边形的面积随着所用到的钉子数变化而变化，同时让学生最后定好一个图形。这一活动，既让学生感觉到这节数学课不同于一般的数学课，又让学生在玩中初步感知要学的数学知识，同时还巧妙地为本节课中的验证规律提供了丰富的、现实的资源。
二、“交流”与“互学”，培养合作交往能力
学习既要有学生的独学，更要有与自己经历、学力相当的同学的帮助和激励。自己的理解、感悟以及疑问在小组内交流，互相补充，形成共同的研学成果。
1.交流课前“研学”，了解探索规律的一般过程。
交流是学生相互学习、思维碰撞的有效途径。本课中，学生对“研学单”上第一题进行交流，汇报研学成果。在这一过程中，教师有意识地进行质疑，如：2号图形的面积是怎样求的？你也有什么问题考考大家？4号图形边上的钉子数你是怎么数的？通过这些问题，再现求面积的方法，利用平面图形的面积公式、利用图形的割补和直接数的方法求多边形的面积，并灵活地选用最方便的方法进行计算，帮助学生掌握数图形边上钉子数的方法，让学生不重复、不遗漏地数。有效的交流，帮助所有学生掌握这节课要探索规律的必备能力，即正确地算出图形的面积和数出边上的钉子数。
在交流发现后，呈现三个内部不是1枚钉子的多边形，验证自己的发现是否符合所有钉子板上的图形，引起冲突，再回到图形，从不同的多边形中找到相同，得出只有当多边形内只有1枚钉子时，才符合这一发现，从而得出“多边形的面积不仅和它边上的钉子数有关，还与它内部的钉子数有关”的结论。然后再让学生呈现课前自己在钉子板上随意围图形，找到里面只有1枚钉子的多边形，验证这一发现的正确性。
这样的教学活动，学生经历了发现规律的一般过程：观察图形、比较数据、进行猜想、反复验证。
2.小组合作互学，尝试自己探索规律。
学生的学习离不开与自己经历、学力相当的同学的帮助和激励。课堂中学生将自己的理解、感悟以及疑问在小组内交流，互相补充，形成小组共同的研究成果。在这个过程中，实现“兵教兵”，极大地调动优生的学习积极性。
本课在总结出内部有1枚钉子的规律后，让学生用发现规律的一般过程，去研究内部有2枚钉子的多边形的面积与边上钉子枚数的关系，延伸探索规律的活动。学生同桌两人分工合作，完成表格数据的填写，观察数据，再次发现规律。在这一过程中，学生实现了经验的迁移。但这一规律比前面复杂，发现和表达规律的难度也比前面大，留给学生自主活动的空间也就更大。同时根据学生之间的差异，也允许部分学生探索不出规律。
三、“思考”与“表达”，培养学生的数学关键能力
数学教学中要让学生通过操作、计算、记录、观察、比较，在此基础上去发现，在思考的基础上用符号表达，才能更好地培养学生的数学抽象、逻辑推理等关键能力。
1.培养数学抽象能力。
数学的学习是逐步抽象的过程。由具体的实物到数字，由具体的情境到算式，由生活中的数学到符号表达，这就是数学抽象。本课中，每次的发现都及时让学生用含有字母的式子表达自己的发现。如，研究内部有1枚钉子的多边形后，用“a=1时，S=n÷2”来表述自己的发现，研究内部有2枚钉子的多边形后，用“a=2时，S=n÷2+1”来表述。根据前面这两个发现，猜想出a=3时，S=n÷2+2；a=4时，S=n÷2+3……再通过观察这些已经发现的式子，用更简洁的一个式子S=n÷2+a-1来概括。由具体到抽象、由抽象到更抽象，学生经历了一次次的数学抽象过程，用数学的方式来表达，用数学符号的方式来刻画，抽象能力也在这个过程中逐步得到了提升。
2.培养逻辑推理能力。
逻辑推理能力是学生的重要素养。本课学习内部有1枚和2枚钉子时，都是先研究实例得出数据，再在数据中提取规律，思维方式都是归纳推理。而根据前面2个规律，推想多边形内部有3枚、4枚的情况，再验证猜想，其思维方式与前面不同，先猜想，再用实例验证，思维方式是类比推理。在验证内部有3枚、4枚钉子的猜想成立之后，学生很快就能推想出内部有更多枚钉子的情况，从而总结出最终的规律。
数学教学中，要把课堂还给学生，让学生真正成为课堂的主人，满足他们实现自我价值的意愿，就必须在结合知识教学过程中，强化学生关键能力的培养，让关键能力在课堂上落地生根，实现基于核心素养的小学数学的教学转型。
（作者单位：江苏省张家港市合兴小学）
（责任编辑 冉 然）