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数学教材中例题、习题是数学问题的精华,挖掘其内在的学习线索,对这些题目进行推广与变式教学,能积极培养学生的创造性思维,达成多维目标的过程。现举数学课本中一道习题为例来谈谈变式教学。
如下图,△ABC是一块锐角三角形余料,边BC=120mm,高AD=80mm,要把它加工成正方形零件,使正方形一边在BC上,其余两个顶点分别在AB、AC上,这个正方形零件的边长是多少?
在教学中,笔者将此题做如下变式教学:
变式1 如图一,如果原题中要加工的零件是一个矩形,且此矩形是由三个并排放置的正方形组成,此时这个零件的两条边长分别是多是mm?
变式2 如图一,如果原题中要加工的零件是一个矩形,且此矩形是由n个(并排放置的正方形组成,此时这个零件的两条边长分别是多是mm?(直接用含n的代数式表示)
生1:上述变式1、2两题根据相似三角形性质即可完成。
变式3 如图二,如果原题中要加工的零件是只一个矩形,求此时这个矩形零件面积的最大值是多少mm?
变式4 如图三,有一块三角形余料,∠C=90°,AC=8cm,BC=6cm。要在这块余料中剪出一个尽可能大的正方形,有甲乙两种剪法,比较两种剪法,哪种剪法所得的正方形面积大,请说明理由。
生3:甲乙两种剪法都可根据相似三角形性质求得。
变式5 如图四,图三中甲种剪法称为第一次剪取,记所得的正方形面积为s1;按照甲种剪法,在余下的△ADF与△BED中,再剪出两个正方形,称为第二次剪取,并记这两个正方形面积和为s2,则s2=。
生4:根据相似三角形性质求得。
变式6 师:对任意一个三角形,其内接正方形共有几个呢?
生5:要根据三角形形状分类讨论。
生6:当三角形为锐角三角形时,有3个内接正方形;当三角形为直角角三角形时,有2个内接正方形;当三角形为钝角三角形时,有1个内接正方形。
师:再把有关”内接正方形问题“与函数等知识相结合,达到延伸拓展目的。
變式7 在平面直角坐标系中,将n个边长为1的正方形并排组成矩形OABC,相邻两边OA、OC分别在x轴和y轴正半轴上,设抛物线y=ax2+bx+c(a<0)过矩形顶点B、C。
(1)当n=1,如果a=-1,求b的值;
(2)当n=2,在矩形OABC上方作一个边长为1的正方形EFMN,使EF在线段BC上,如果M、N两点也在抛物线上,求出此时抛物线的解析式;
(3)将矩形OABC绕点O顺时针旋转,使点B落到x轴正半轴上,如果该抛物线同时经过原点O。
当n=3时a的值;
②直接写出a关于n的关系式。
生7:当n=1时,可知抛物线对称轴为直线x=,求得b=1;
生8:当n=2时,把B(2,1),M(C(0,1)带入函数解析式即可求得;
生9:当n=3时,结合相似三角形来解决第(3)题。
总之,教师在教学中要善于“借题发挥”,进行一题多变,引导学生去探索数学问题的规律性和方法,达到“做一题,通一类,会一片”的教学效果,让学生走出题海战术,真正做到轻负高质。
(作者单位:浙江省金华市第十四中学)
如下图,△ABC是一块锐角三角形余料,边BC=120mm,高AD=80mm,要把它加工成正方形零件,使正方形一边在BC上,其余两个顶点分别在AB、AC上,这个正方形零件的边长是多少?
在教学中,笔者将此题做如下变式教学:
变式1 如图一,如果原题中要加工的零件是一个矩形,且此矩形是由三个并排放置的正方形组成,此时这个零件的两条边长分别是多是mm?
变式2 如图一,如果原题中要加工的零件是一个矩形,且此矩形是由n个(并排放置的正方形组成,此时这个零件的两条边长分别是多是mm?(直接用含n的代数式表示)
生1:上述变式1、2两题根据相似三角形性质即可完成。
变式3 如图二,如果原题中要加工的零件是只一个矩形,求此时这个矩形零件面积的最大值是多少mm?
变式4 如图三,有一块三角形余料,∠C=90°,AC=8cm,BC=6cm。要在这块余料中剪出一个尽可能大的正方形,有甲乙两种剪法,比较两种剪法,哪种剪法所得的正方形面积大,请说明理由。
生3:甲乙两种剪法都可根据相似三角形性质求得。
变式5 如图四,图三中甲种剪法称为第一次剪取,记所得的正方形面积为s1;按照甲种剪法,在余下的△ADF与△BED中,再剪出两个正方形,称为第二次剪取,并记这两个正方形面积和为s2,则s2=。
生4:根据相似三角形性质求得。
变式6 师:对任意一个三角形,其内接正方形共有几个呢?
生5:要根据三角形形状分类讨论。
生6:当三角形为锐角三角形时,有3个内接正方形;当三角形为直角角三角形时,有2个内接正方形;当三角形为钝角三角形时,有1个内接正方形。
师:再把有关”内接正方形问题“与函数等知识相结合,达到延伸拓展目的。
變式7 在平面直角坐标系中,将n个边长为1的正方形并排组成矩形OABC,相邻两边OA、OC分别在x轴和y轴正半轴上,设抛物线y=ax2+bx+c(a<0)过矩形顶点B、C。
(1)当n=1,如果a=-1,求b的值;
(2)当n=2,在矩形OABC上方作一个边长为1的正方形EFMN,使EF在线段BC上,如果M、N两点也在抛物线上,求出此时抛物线的解析式;
(3)将矩形OABC绕点O顺时针旋转,使点B落到x轴正半轴上,如果该抛物线同时经过原点O。
当n=3时a的值;
②直接写出a关于n的关系式。
生7:当n=1时,可知抛物线对称轴为直线x=,求得b=1;
生8:当n=2时,把B(2,1),M(C(0,1)带入函数解析式即可求得;
生9:当n=3时,结合相似三角形来解决第(3)题。
总之,教师在教学中要善于“借题发挥”,进行一题多变,引导学生去探索数学问题的规律性和方法,达到“做一题,通一类,会一片”的教学效果,让学生走出题海战术,真正做到轻负高质。
(作者单位:浙江省金华市第十四中学)