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江苏高考附加题部分考查的内容包含了选修内容“矩阵与变换”、“坐标系与参数方程”。在学习这两个系列的内容之后，大部分学生都是将其转化成一般方程来处理，而对极坐标与参数方程的方法没有很好地掌握。
其实，很多时候如果我们直接用极坐标和参数方程的方法解题，则可以简化计算，特别是在处理运算比较烦琐的解析几何题目时。
一、重要知识点回顾
1。直线的参数方程
过定点M0（x0，y0），倾斜角为α的直线l的参数方程为：x=x0 tcosα，
y=y0 tsinα，（t为参数），t表示以M0为起点，任意一点M（x，y）为终点的有向线段M0M。 当M在M0上方时，t>0；当M在M0下方时，t<0；当M与M0重合时，t=0。
设直线l上两点A，B对应的参数分别为tA，tB。则A、B两点之间的距离为｜AB｜=｜tA-tB｜，A，B两点到M0的距离为｜tA｜，｜tB｜。
2。 圆锥曲线的极坐标方程
以椭圆的左焦点（双曲线的右焦点、抛物线的焦点）为极点，椭圆、双曲线、抛物线统一的极坐标方程为：ρ=ep121-ecosθ，其中p是定点F到定直线的距离，则p>0。
当01时，方程表示双曲线，若ρ>0，方程只表示双曲线右支，若允许ρ＜0，方程就表示整个双曲线； 当e=1时，方程表示开口向右的抛物线．
二、例题分析
例1求x=1122t，
y=3 t与圆x2 y2=5相交所得的弦长．
解法1：将参数方程x=1122t，
y=3 t化为直角坐标方程，则y=2x 3，
x2 y2=5联立可求得弦长｜AB｜=81255。
解法2：x=1122t，
y=3 ty=2x 3x=5125t，
y=3 25125t，（t为参数）。
代入x2 y2=5中，得t2 121255t 4=0。
所以｜AB｜=｜t1-t2｜=（t1 t2）2-4t1t2=81255．
例2直线过y2=2px的焦点F，与抛物线交于A、B两点。设AF=m，BF=n，求证：112m 112n=212p．
证法1：设AB：x=p122 tcosα，
y=tsinα（t为参数）。代入y2=2px中，得t2sin2α-2ptcosα-p2=0。
设方程的两根分别为t1，t1，则m=｜t1｜，n=｜t2｜。
由根与系数的关系知，
t1 t2=2pcosα12sin2α，t1t2=-p212sin2α。
∴112m 112n=112｜t1｜ 112｜t2｜=｜t1｜ ｜t2｜12｜t1t2｜。
又（｜t1｜ ｜t2｜12｜t1t2｜）2=t12 t22 2｜t1t2｜12（t1t2）2
=（t1 t2）2-2t1t2 3｜t1t2｜12（t1t2）2=412｜p2｜，
∴112m 112n=212p。
证法2：抛物线y2=2px在以焦点为极点的极坐标系中的方程为：ρ=ep121-ecosθ=p121-cosθ。设A（m，θ），B（n，θ π）则：
112m 112n=112AF 112BF=112ρ1 112ρ2=1-cosθ12p 1-cos（θ π）12p=212p。
三、总结提升
参数方程指曲线上任意一点的坐标（x，y）都是关于某个变量t的函数x=f（t），y=φ（t）。故参数方程最明显的优点就是只含有一个变量，所以在平面解析几何中常用此方法来达到“降维”的效果，从而在一定程度上简化计算。极坐标系统是基于圆环的，许多有关曲线的方程，极坐标要比直角坐标系简单得多。所以在我们的平常学习中不但要能熟练地进行极坐标、参数方程与平面直角坐标和一般方程之间的转化，同时也要能直接使用极坐标、参数方程的方法解决问题。
对称图形解析式之间关系的探索
陕西府谷县第二初级中学苏雪梅
摘要：关于坐标轴对称、关于平行于坐标轴的直线对称、关于原点对称的函数图象，其解析式之间的关系。
关键词：对称图形解析式关系
在九年级“二次函数顶点式”教学中，有这样一个引例：如图1，桥梁的两条钢缆线具有相同的抛物线形状。按照图中的直角坐标系，左面的一条抛物线函数解析式为y＝0。0225x2＋0。9x＋10，而且左、右两条抛物线关于y轴对称。
（1）钢缆的最低点到桥面的距离是多少？
（2）两条钢缆的最低点之间的距离是多少？
（3）你是怎样计算的？与同伴进行交流。
图1
引例意图是让学生先求出原抛物线的顶点A的坐标，即A（－20，1）。由于所求抛物线的形状和开口方向与原抛物线的形状和开口方向均相同，则其二次项系数相同，顶点坐标则是原抛物线顶点A关于y轴的对称点A′，其坐标为A′（20，1），从而，求得其对称抛物线的解析式y＝0。0225x2－0。9x＋10， 即 y＝0。0225（x－20）2＋1。这样就顺理成章地完成了教学任务，让学生学会了二次函数的顶点式的表达方式，以及它与一般式的关系。但是，如果我们换一个角度思考这个问题，可能会得到意想不到的效果。
在八年级时，我们曾经学过坐标变换（鱼的变换），将一条鱼上的每一点坐标的横坐标乘以－1，纵坐标不变，所得坐标再描点连线，可得到这个鱼关于y轴的对称鱼。由此启发我们：抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）表达的是x、y之间的一种函数关系，在图象上反映出其形状和位置关系，若设此抛物线上的任意一点坐标为（x，y），它关于y 轴的对称点坐标则为（－x，y）。若（－x，y）也符合函数 y＝0。0225x2＋0。9x＋10时，则所得函数图象与原图象的形状相同，位置关于y 轴对称。所以将（－x，y）这点的坐标代入抛物线 y＝0。0225x2＋0。9x＋10，得y＝0。0225（－x）2＋0。9（－x）＋10，即y＝0。0225x2－0。9x＋10。这样轻而易举地得到原抛物线关于y轴的对称抛物线的解析式。
由此可类推：
（1）关于坐标轴对称图形的解析式
抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）关于y轴对称的抛物线的解析式，就是将此抛物线上的任意一点（x，y）关于y轴的对称点（－x，y），代入 y＝ax2＋bx＋c，得y＝a（－x）2＋b（－x）＋c，即y＝ax2－bx＋c。
抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）关于x轴对称的抛物线的解析式，就是将此抛物线上的任意一点（x，y）关于x轴的对称点（x，－y），代入y＝ax2＋bx＋c，得－y＝ax2＋bx＋c，即y＝－ax2－bx－c。
（2）关于原点对称图形的解析式
抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）关于原点对称的抛物线的解析式，就是将此抛物线上的任意一点（x，y）关于原点的对称点（－x，－y），代入y＝ax2＋bx＋c，得－y＝a（－x）2＋b（－x）＋c，即y＝－ax2＋bx－c。
（3）关于平行于两坐标轴的直线对称的抛物线的解析式
抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）关于直线x＝m（m为常数）对称的抛物线的解析式，就是将此抛物线上的任意一点（x，y）关于直线x＝m的对称点（2m－x，y），代入y＝ax2＋bx＋c，得y＝a（2m－x）2＋b（2m－x）＋c；
抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）关于直线y＝n（n为常数）对称的抛物线的解析式就是将此抛物线上的任意一点（x，y）关于直线y＝n的对称点（x，2n－y），代入y＝ax2＋bx＋c，得2n－y＝ax2＋bx＋c，即y＝－ax2－bx－c＋2n。
我们可以将抛物线的解析式变为其他函数的解析式，如圆（x－a）2＋（y－b）2＝R2等，均可以用这种方法快捷地得到其对称图象的解析式。
这些方法，为求关于坐标轴对称、关于原点对称、关于平行于x轴或y轴的直线对称的函数图象的解析式，开辟了一条新的捷径。
总之，通过这一类型题的推广进行探索，可激发学生学习数学的兴趣，开发学生图案设计的潜力，提高学生应用数学的能力，从而达到学以致用的效果。
其实，很多时候如果我们直接用极坐标和参数方程的方法解题，则可以简化计算，特别是在处理运算比较烦琐的解析几何题目时。
一、重要知识点回顾
1。直线的参数方程
过定点M0（x0，y0），倾斜角为α的直线l的参数方程为：x=x0 tcosα，
y=y0 tsinα，（t为参数），t表示以M0为起点，任意一点M（x，y）为终点的有向线段M0M。 当M在M0上方时，t>0；当M在M0下方时，t<0；当M与M0重合时，t=0。
设直线l上两点A，B对应的参数分别为tA，tB。则A、B两点之间的距离为｜AB｜=｜tA-tB｜，A，B两点到M0的距离为｜tA｜，｜tB｜。
2。 圆锥曲线的极坐标方程
以椭圆的左焦点（双曲线的右焦点、抛物线的焦点）为极点，椭圆、双曲线、抛物线统一的极坐标方程为：ρ=ep121-ecosθ，其中p是定点F到定直线的距离，则p>0。
当0
二、例题分析
例1求x=1122t，
y=3 t与圆x2 y2=5相交所得的弦长．
解法1：将参数方程x=1122t，
y=3 t化为直角坐标方程，则y=2x 3，
x2 y2=5联立可求得弦长｜AB｜=81255。
解法2：x=1122t，
y=3 ty=2x 3x=5125t，
y=3 25125t，（t为参数）。
代入x2 y2=5中，得t2 121255t 4=0。
所以｜AB｜=｜t1-t2｜=（t1 t2）2-4t1t2=81255．
例2直线过y2=2px的焦点F，与抛物线交于A、B两点。设AF=m，BF=n，求证：112m 112n=212p．
证法1：设AB：x=p122 tcosα，
y=tsinα（t为参数）。代入y2=2px中，得t2sin2α-2ptcosα-p2=0。
设方程的两根分别为t1，t1，则m=｜t1｜，n=｜t2｜。
由根与系数的关系知，
t1 t2=2pcosα12sin2α，t1t2=-p212sin2α。
∴112m 112n=112｜t1｜ 112｜t2｜=｜t1｜ ｜t2｜12｜t1t2｜。
又（｜t1｜ ｜t2｜12｜t1t2｜）2=t12 t22 2｜t1t2｜12（t1t2）2
=（t1 t2）2-2t1t2 3｜t1t2｜12（t1t2）2=412｜p2｜，
∴112m 112n=212p。
证法2：抛物线y2=2px在以焦点为极点的极坐标系中的方程为：ρ=ep121-ecosθ=p121-cosθ。设A（m，θ），B（n，θ π）则：
112m 112n=112AF 112BF=112ρ1 112ρ2=1-cosθ12p 1-cos（θ π）12p=212p。
三、总结提升
参数方程指曲线上任意一点的坐标（x，y）都是关于某个变量t的函数x=f（t），y=φ（t）。故参数方程最明显的优点就是只含有一个变量，所以在平面解析几何中常用此方法来达到“降维”的效果，从而在一定程度上简化计算。极坐标系统是基于圆环的，许多有关曲线的方程，极坐标要比直角坐标系简单得多。所以在我们的平常学习中不但要能熟练地进行极坐标、参数方程与平面直角坐标和一般方程之间的转化，同时也要能直接使用极坐标、参数方程的方法解决问题。
对称图形解析式之间关系的探索
陕西府谷县第二初级中学苏雪梅
摘要：关于坐标轴对称、关于平行于坐标轴的直线对称、关于原点对称的函数图象，其解析式之间的关系。
关键词：对称图形解析式关系
在九年级“二次函数顶点式”教学中，有这样一个引例：如图1，桥梁的两条钢缆线具有相同的抛物线形状。按照图中的直角坐标系，左面的一条抛物线函数解析式为y＝0。0225x2＋0。9x＋10，而且左、右两条抛物线关于y轴对称。
（1）钢缆的最低点到桥面的距离是多少？
（2）两条钢缆的最低点之间的距离是多少？
（3）你是怎样计算的？与同伴进行交流。
图1
引例意图是让学生先求出原抛物线的顶点A的坐标，即A（－20，1）。由于所求抛物线的形状和开口方向与原抛物线的形状和开口方向均相同，则其二次项系数相同，顶点坐标则是原抛物线顶点A关于y轴的对称点A′，其坐标为A′（20，1），从而，求得其对称抛物线的解析式y＝0。0225x2－0。9x＋10， 即 y＝0。0225（x－20）2＋1。这样就顺理成章地完成了教学任务，让学生学会了二次函数的顶点式的表达方式，以及它与一般式的关系。但是，如果我们换一个角度思考这个问题，可能会得到意想不到的效果。
在八年级时，我们曾经学过坐标变换（鱼的变换），将一条鱼上的每一点坐标的横坐标乘以－1，纵坐标不变，所得坐标再描点连线，可得到这个鱼关于y轴的对称鱼。由此启发我们：抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）表达的是x、y之间的一种函数关系，在图象上反映出其形状和位置关系，若设此抛物线上的任意一点坐标为（x，y），它关于y 轴的对称点坐标则为（－x，y）。若（－x，y）也符合函数 y＝0。0225x2＋0。9x＋10时，则所得函数图象与原图象的形状相同，位置关于y 轴对称。所以将（－x，y）这点的坐标代入抛物线 y＝0。0225x2＋0。9x＋10，得y＝0。0225（－x）2＋0。9（－x）＋10，即y＝0。0225x2－0。9x＋10。这样轻而易举地得到原抛物线关于y轴的对称抛物线的解析式。
由此可类推：
（1）关于坐标轴对称图形的解析式
抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）关于y轴对称的抛物线的解析式，就是将此抛物线上的任意一点（x，y）关于y轴的对称点（－x，y），代入 y＝ax2＋bx＋c，得y＝a（－x）2＋b（－x）＋c，即y＝ax2－bx＋c。
抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）关于x轴对称的抛物线的解析式，就是将此抛物线上的任意一点（x，y）关于x轴的对称点（x，－y），代入y＝ax2＋bx＋c，得－y＝ax2＋bx＋c，即y＝－ax2－bx－c。
（2）关于原点对称图形的解析式
抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）关于原点对称的抛物线的解析式，就是将此抛物线上的任意一点（x，y）关于原点的对称点（－x，－y），代入y＝ax2＋bx＋c，得－y＝a（－x）2＋b（－x）＋c，即y＝－ax2＋bx－c。
（3）关于平行于两坐标轴的直线对称的抛物线的解析式
抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）关于直线x＝m（m为常数）对称的抛物线的解析式，就是将此抛物线上的任意一点（x，y）关于直线x＝m的对称点（2m－x，y），代入y＝ax2＋bx＋c，得y＝a（2m－x）2＋b（2m－x）＋c；
抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）关于直线y＝n（n为常数）对称的抛物线的解析式就是将此抛物线上的任意一点（x，y）关于直线y＝n的对称点（x，2n－y），代入y＝ax2＋bx＋c，得2n－y＝ax2＋bx＋c，即y＝－ax2－bx－c＋2n。
我们可以将抛物线的解析式变为其他函数的解析式，如圆（x－a）2＋（y－b）2＝R2等，均可以用这种方法快捷地得到其对称图象的解析式。
这些方法，为求关于坐标轴对称、关于原点对称、关于平行于x轴或y轴的直线对称的函数图象的解析式，开辟了一条新的捷径。
总之，通过这一类型题的推广进行探索，可激发学生学习数学的兴趣，开发学生图案设计的潜力，提高学生应用数学的能力，从而达到学以致用的效果。