论文部分内容阅读
摘 要：级数是高等数学的一个重要组成部分，本文简述了级数的起源以及它的发展基本理论的发展历程。
关键字：级数；起源；发展。
级数的方法和理论是分析学中的一个重要的分支，它在微积分学中也起到至关重要的作用，也是逼近理论的一个重要部分。本文简述了级数的起源和发展的历程。
1、级数的起源
级数起源于公元前，在那时就已经有相关级数的一些理论出现，亚里士多德（公元前4世纪）阐述了公比小于1（大于零）的几何级数具有和数，N.奥尔斯姆（14世纪）证明了调和级数级数发散。但是这个时期并没有出现级数的具体的相关概念。然而，这是第一次把几何量和一般级数的和的概念相结合，并正式的使用了收敛与发散的术语。级数在古希腊数学中也出现过，级数的无穷的特点曾经让希腊人数学家痛苦不已。他们试图运用有限和来代替无穷级数，古希腊数学家阿基米德在求抛物线弓形面积是利用了几何级数，并且求出其和。因此级数的形式一直用在积分求面积体积的数量计算上，也为后来积分的发展起到至关重要的作用。其实在中国古代的《庄子.天下》中的"一尺之捶，日取其半，万世不竭"含有极限的思想，用数学形式表达出来也是无穷级数。由于人们把各个层次的问题放在一起利用级数来解决，最早的无穷级数甚至涉及到哲学和逻辑的悖论等问题，导致了早期的级数变得零散而混乱，没有形成一个完整的理论体系
2、级数理论发展
十五、十六世纪的关于级数思想的产生，为十七世纪级数的发展奠定了基础。十七世纪无穷级数方法的应用推动数学的一次变革，牛顿以无穷级数作为工具应用到流数演算理论中，为一些无法解决的代数问题提供一种好的思路。1665年初牛顿首次给出了一般的二项式定理的展开式：
1668年墨卡托在他的《对数技术》中，给出了著名的对数级数展开式：
1673年莱布尼茨独立的得到了 sinx， cosx， arctanx等函数的无穷级数展开式，以及圆面积和双曲线面积的具体展开式。这为之前解决一些超越函数提供了解题思路。
17世纪后期和18世纪，对航海和地理学等专业的发展要求，函数表的插值成为了当时数学家的一大问题。为了解决这一问题，詹姆斯.格雷戈里与牛顿的研究得出了著名的Gregory-Newton内插公式。但是当时他们并没有给出详见的证明，而是在1712年由泰勒把Gregory-Newton内插公式结合函数可导性给出另一种方式的级数展开式，这就是著名的泰勒定理。然而，当时数学家并没有认识到泰勒定理的价值。直到18世纪末，拉格朗日在研究微积分中发现泰勒定理的重大意义。拉格朗日通过自己的研究并结合泰勒定理给出了泰勒公式的余项表达式，后来被称为拉格朗日余项。他给出了泰勒公式如果不考虑余项就不能用泰勒级数。
18世纪数学家们对级数的研究目光主要集中在其形式上。少数数学家们对级数的收敛和发散有所认识也有一些研究，但是并没有得到足够的重视，并没有给出系统的概念。但级数推广到无穷上，收敛与发散在级数起到的作用如何，解决级数在无穷上的收敛与发散问题，成为了19世纪无穷级数形成的一个背景条件。在19世纪初德国数学家高斯首次进行对无穷级数的研究，开始研究超几何级数的收敛性并写出了相关的论文，这也标志了无穷级数严格化研究的开端。
1821年在柯西研究极限并给出明确的极限定义的基础上，他认识到无穷级数论并非多项式理论的平凡推广。在这个认识的基础上，柯西比较严格给出了完整的级数理论。同时，他也得出了著名的级数收敛准则--柯西准则。柯西在对幂级数、交错级数等进行了研究，并结合极限推到出这些级数的收敛的判别法。柯西对级数的研究，让数学家们认识到级数的无穷魅力。从此，有大量的数学家对级数的敛散性进行研究。其中，挪威数学家在柯西的影响下对级数的敛散性研究。他认识到了柯西级数理论的正确，并在柯西的研究成果的基础上初步认识到一致收敛。但他并没有得出准确的定义也不是完全正确。数学家们都对一致收敛具有浓厚的兴趣，进行大量研究。其中，德国数学家魏尔斯特拉斯首次引入一致收敛得到概念，并用一个收敛的幂级数在收敛域内一致收敛的证明，发现了与幂级数的和函数连续性有关的阿贝尔定理的严格系统化。在19世纪60年代初魏尔斯特拉斯给出了区间内一致收敛的完整概念，他也给出完整的级数理论。而19世纪仍然有很多数学家没有认识级数敛散性的作用，甚至有些对级数敛散性极为排斥。但是，在天文学、物理学等学科广泛应用发散级数，同时也肯定了柯西、阿贝尔、魏尔斯特拉斯等人的研究。
19世纪之后把无穷级数作为极具重要的工具，在数学、物理、天文等专业学科上的发展起到了至关重要的作用，同时也推动了级数理论的发展。到现代级数理论已经有了比较完整理论体系，而在各行各业中的不断发展应用下，对级数理论的研究也将不断的发展。
参考文献：
[1]王辉.无穷级数的发展与演化：硕士论文.河北师范大学.2006
[2] [苏]B.B.鲍尔加尔斯基著，潘德松，沈金钊译，数学简史，知识出版社，1984
[3] [美]莫里斯，克莱因.古今数学思想（第四册）.上海科学技术出版社，2003
关键字：级数；起源；发展。
级数的方法和理论是分析学中的一个重要的分支，它在微积分学中也起到至关重要的作用，也是逼近理论的一个重要部分。本文简述了级数的起源和发展的历程。
1、级数的起源
级数起源于公元前，在那时就已经有相关级数的一些理论出现，亚里士多德（公元前4世纪）阐述了公比小于1（大于零）的几何级数具有和数，N.奥尔斯姆（14世纪）证明了调和级数级数发散。但是这个时期并没有出现级数的具体的相关概念。然而，这是第一次把几何量和一般级数的和的概念相结合，并正式的使用了收敛与发散的术语。级数在古希腊数学中也出现过，级数的无穷的特点曾经让希腊人数学家痛苦不已。他们试图运用有限和来代替无穷级数，古希腊数学家阿基米德在求抛物线弓形面积是利用了几何级数，并且求出其和。因此级数的形式一直用在积分求面积体积的数量计算上，也为后来积分的发展起到至关重要的作用。其实在中国古代的《庄子.天下》中的"一尺之捶，日取其半，万世不竭"含有极限的思想，用数学形式表达出来也是无穷级数。由于人们把各个层次的问题放在一起利用级数来解决，最早的无穷级数甚至涉及到哲学和逻辑的悖论等问题，导致了早期的级数变得零散而混乱，没有形成一个完整的理论体系
2、级数理论发展
十五、十六世纪的关于级数思想的产生，为十七世纪级数的发展奠定了基础。十七世纪无穷级数方法的应用推动数学的一次变革，牛顿以无穷级数作为工具应用到流数演算理论中，为一些无法解决的代数问题提供一种好的思路。1665年初牛顿首次给出了一般的二项式定理的展开式：
1668年墨卡托在他的《对数技术》中，给出了著名的对数级数展开式：
1673年莱布尼茨独立的得到了 sinx， cosx， arctanx等函数的无穷级数展开式，以及圆面积和双曲线面积的具体展开式。这为之前解决一些超越函数提供了解题思路。
17世纪后期和18世纪，对航海和地理学等专业的发展要求，函数表的插值成为了当时数学家的一大问题。为了解决这一问题，詹姆斯.格雷戈里与牛顿的研究得出了著名的Gregory-Newton内插公式。但是当时他们并没有给出详见的证明，而是在1712年由泰勒把Gregory-Newton内插公式结合函数可导性给出另一种方式的级数展开式，这就是著名的泰勒定理。然而，当时数学家并没有认识到泰勒定理的价值。直到18世纪末，拉格朗日在研究微积分中发现泰勒定理的重大意义。拉格朗日通过自己的研究并结合泰勒定理给出了泰勒公式的余项表达式，后来被称为拉格朗日余项。他给出了泰勒公式如果不考虑余项就不能用泰勒级数。
18世纪数学家们对级数的研究目光主要集中在其形式上。少数数学家们对级数的收敛和发散有所认识也有一些研究，但是并没有得到足够的重视，并没有给出系统的概念。但级数推广到无穷上，收敛与发散在级数起到的作用如何，解决级数在无穷上的收敛与发散问题，成为了19世纪无穷级数形成的一个背景条件。在19世纪初德国数学家高斯首次进行对无穷级数的研究，开始研究超几何级数的收敛性并写出了相关的论文，这也标志了无穷级数严格化研究的开端。
1821年在柯西研究极限并给出明确的极限定义的基础上，他认识到无穷级数论并非多项式理论的平凡推广。在这个认识的基础上，柯西比较严格给出了完整的级数理论。同时，他也得出了著名的级数收敛准则--柯西准则。柯西在对幂级数、交错级数等进行了研究，并结合极限推到出这些级数的收敛的判别法。柯西对级数的研究，让数学家们认识到级数的无穷魅力。从此，有大量的数学家对级数的敛散性进行研究。其中，挪威数学家在柯西的影响下对级数的敛散性研究。他认识到了柯西级数理论的正确，并在柯西的研究成果的基础上初步认识到一致收敛。但他并没有得出准确的定义也不是完全正确。数学家们都对一致收敛具有浓厚的兴趣，进行大量研究。其中，德国数学家魏尔斯特拉斯首次引入一致收敛得到概念，并用一个收敛的幂级数在收敛域内一致收敛的证明，发现了与幂级数的和函数连续性有关的阿贝尔定理的严格系统化。在19世纪60年代初魏尔斯特拉斯给出了区间内一致收敛的完整概念，他也给出完整的级数理论。而19世纪仍然有很多数学家没有认识级数敛散性的作用，甚至有些对级数敛散性极为排斥。但是，在天文学、物理学等学科广泛应用发散级数，同时也肯定了柯西、阿贝尔、魏尔斯特拉斯等人的研究。
19世纪之后把无穷级数作为极具重要的工具，在数学、物理、天文等专业学科上的发展起到了至关重要的作用，同时也推动了级数理论的发展。到现代级数理论已经有了比较完整理论体系，而在各行各业中的不断发展应用下，对级数理论的研究也将不断的发展。
参考文献：
[1]王辉.无穷级数的发展与演化：硕士论文.河北师范大学.2006
[2] [苏]B.B.鲍尔加尔斯基著，潘德松，沈金钊译，数学简史，知识出版社，1984
[3] [美]莫里斯，克莱因.古今数学思想（第四册）.上海科学技术出版社，2003