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普遍认为2011年高考广东数学试题偏难，全省理科平均分不足80分．特别地，试卷第21题，且不谈那冗长的解答过程，仅那题设条件，不少数学教师已认为其晦涩难懂，令考生费解.本文将详细分析该题的陈述方式，并给出风格迥异的三种解法，读者将会看到该题之难点，恰是现代数学之特点，阅读全文之后更发现解答方法丰富多彩.现抄录该试题（以下简称为“试题”）如下：
在平面直角坐标系xOy上，给定抛物线L：y=x2.实数p，q满足p2-4q≥0，x1，x2是方程x2-px+q=0的两根，记（p，q）=max{|x1|，|x2|}.
（1）过点A（p0，p20）（p0≠0）作L的切线y轴交于点B.证明：对线段AB上任一点Q（p，q）有（p，q）=；
（2）设M（a，b）是定点，其中a，b满足a2-4b＞0，a≠0.过M（a，b）作L的两条切线l1，l2，切点分别为E（p1，p21），E′（p2，p22），l1，l2与y轴分别交于F，F′.线段EF上异于两端点的点集记为X.证明：M（a，b）∈X
|p1|>|p２|（a，b）=；
（3）设D={（x，y）|y≤x-1，y≥（x+1）2-}.当点（p，q）取遍D时，求（p，q）的最小值（记为min）和最大值（记为max）.
一、试题表述的鲜明数学特征
如所知，现代数学具有符号化、抽象性、形式化三大基本特征，纵观各省的高考数学压轴题的表述形式，日益显现出这三大特征，本文将分析试题这三个特征.
1． 题面的符号化与抽象性.
试题在“符号化”的思维模式方面表现得淋漓尽致，为数学字符众多（字符约定为字母及组成数学符号的单个符号），细数下来，共有183个数学字符，而现行高中数学实验教材中函数概念只有35个数学字符；由数学符号形成的数学概念众多，出现有抛物线、一元二次方程、不等式、...，最保守计有18个数学概念，而2010年高考广东理科数学第21题仅有直角坐标系、平面上的点、绝对值、大于等于这4个数学概念；试题包含众多的符号及概念增加试题的信息容量，无疑增加解题者的信息负担.试题抽象性表现为多处使用抽象数学符号及叙述，如符号“（p，q）=max{|x1|，
|x2|}”，中学教师普遍反映该式传递的信息相当抽象，又如“当点（p，q）取遍D时”同样抽象地表达了“整个区域”.
2． 题面的形式化.
形式化思维模式被频繁地使用到试题的叙述之中.如“实数p，q满足p2-4q≥0，x1，x2是方程x2-px+q=0的两根，记（p，q）=max{|x1|，|x2|}.”这样的叙述就是充分形式化：先抽象地规定实数（p，q）满足条件
p2-4q≥0，再令有序实数对约定实系方程x2-px+q=0有实根，最后定义函数（p，q）=max{|x1|，|x2|}；事实上，一句话“实系数方程x2-px+q=0恒存在实根x1，x2”就可以表达上述形式化的含义，而且对于二元函数（p，q）举一个具体例子以解释将更直观易懂，但形式化不需要直观.又如“过M（a，b）作L的两条切线l1，l2，切点分别为E（p1，p21），E′（p2，p22），l1，l2与y轴分别交于F，F′.线段EF 上异于两端点的点集记为X.”事实上通过画图，那些复杂的表述将会变得极为浅显，但形式化拒绝这样做，特别是那句“线段EF上异于两端点的点集记为X”，亦是典型的形式化描述，事实只需设M（a，b）在线段之间就可以了，不过，这样就失去数学家钟爱的形式化表述模式.
以上题面分析表明，大量使用抽象的数学符号，以及多次使用形式化的叙述手段，导致试题的难度显著增加.
二、多角度探究试题
以下，我们将以完全不同的知识范畴、方法技能解答试题，读者将发现每一种解法都将给考生带来启示.
1． 数学通法模式.
第（1）问证明：
由题设y=x2，则y′=，从而过A点的切线方程为y-p20=（x-p0），即y=x-p20，由于点（p，q）在线段上，则q=p-p20，从而由x2-px+q=0，得x==，即x1=，x2=p-.
（i）当p0＞0时，有0≤p≤p0，x2=p-≤=x1，此时（p，q）=|x1|=.
（ii）当p0＜0时，有p0≤p≤0，x1=≤p-=x2≤
-=-x1，此时（p，q）=|x1|=.
第（2）问证明：
l1，l2的方程分别为y=p1x-p12，y=p2x-p22，求得l1，l2 交点M（a，b）的坐标（，），由于a2-4b>0，a≠0,即（）2-4•=()2>0，故有|p1|≠|p2|.证明M（a，b）∈X|p1|>|p2|.
设M（a，b）∈X. 当p1>0时,0<|p2|. 当p1<0时，p1<<0?圯2p1 |p1|>|p2|.
设|p1|>|p2|,则<1?圯-1<<1?圯0<<2.当p1>0时,0< 证明：M（a，b）∈X（a，b）=.
当M（a，b）∈X,由（1）中的结论可知有（a，b）=.即充分条件成立.
当（a，b）＝时，必有｜p1|>｜p２|，否则｜p1|<｜p２|.
令Ｙ是l2上线段E′Ｆ ′上异于两端点的点的集合，由已证的等价式1)M（a，b）∈Ｙ .
再由(1)得（a，b）＝≠矛盾，即｜p1|<｜p２|不成立.故必有｜p1|>｜p２|.
综上，M（a，b）∈X｜p1|>｜p２|（a，b）＝.
第（3）问解答：
求得y=x－１和y=（x＋１）２－的交点Q1（0，-1），Q2（2，1）其中０≤p≤２，?坌（p，q）∈D，有 ０≤p≤２，（p＋１）２-≤q≤p-1，（p，q）=≥===1，（p，q）=≤=.
在（0，2）上，设h(p)=（p，q）=,令h′(p)==0，得p=，由于h(0)=h(2)=1，h=（）=，∴（p，q）=hnax=，所以（p，q）≤，故min=1，
nax=.
评注：本解答的特点为将数学通法贯穿于整个解答，如用导数求切线方程和函数最值，用求根公式、方程组求根、用分类讨论处理含参数的式子.解法2将带给读者完全不一样的风格.
2． 个性化模式.
第（1）问证明：
若点（x0，y0）在曲线x2=2py上，过该点切线方程为x0x-p（y-y0）=0，即4y+p20=2p0x，而（p，q）在AB上，∴•p=q+，∴为方程x2-px+q=0的一根,方程另一根为p-.∵Q在AB上，∴p在0与p0之间，∴|p-|≤.∴ （p，q）=.
第（2）问证明：证明M（a，b）∈X|p1|＞|p2|．
由（1）知l1的方程为4y+p2i=2pix，i=1，2， ∴ p1，p２为方程p２-2pa+4b=0的两根，∴p1+p２=2a，所以有M（a，b）∈Xa在0与p1之间（a-0）（p1-a）＞0•（p1-）＞0p21＞p22|p1|＞|p2|，∴M（a，b）∈X|p1|＞|p2|.
证明M（a，b）∈X（a，b）=，同解法一.
第（3）问解答：
∵（p，q）∈D，∴（p+1）2-≤q≤p-1，∴0≤p≤2.同（2）知，p1，p２为x2-2px+4q=0的两根，∴ p1= p+，p２= p-.∵p≥0，∴|p1|＞|p2|.对（p，q）≠（2，1），∴（p，q）=，（p，q）=（2，1）时易知同样有（p，q）=，（p，q）=（ p+）≥（p+|p-2|）≥1，当p=2时成立，∴min（p，q）=1.
（p，q）=（p+）≤（p+）=（p+），设t =，∴p+=2-+t≤，当p=时成立，min=1，max=.
评注：本解答过程中没有使用一个数学上的通法,如求根公式、分类讨论等，也没有用到高级的数学工具，如导数，整个解答过程充满个性化色彩，在每一个需要数学通法的时候，解题者都使用数学技巧极具智慧地避开繁复的步骤和冗长的计算.
3． 几何模式.
第（1）问证明：如图1，P0是A在x轴的投影，过BＡ与x轴的交点P1作y的平行线，交OA于N，因P1O，P1A是过P1的两条切线，所以N是线段OA的中点，从而知P1是线段OP0的中点（理由见评注），因为
f（p）=q，所以f（x）=x2-px+q有零点（，0），由于f（x）=x2-px+q的对称轴满足＜，故f（x）=x2-px+q两个零点中离原点较远者为，所以有（p，q）=.
第（2）问证明：
如图2，点P1，P2，N分别是点E，E′，M在x轴上的投影，P3，P4分别是切线FE，F′E′与x轴的交点，则有线段|NP1|=|NP2|（理由见评注），由第（1）知分别P3，P4为线段OP1，OP2的中点.证明M（a，b）∈X|p1|＞|p2|.M（a，b）∈X|NP1|＞|NP2||OP1|=|ON|+|NP1|>|NP2||p1|＞|p2|，所以M（a，b）∈X|p1|＞|p2|成立.证明M（a，b）∈X（a，b）＝，M（a，b）∈X|OP3|=|OP1|=（|ON|+|NP1|）＝（|ON|+|ON|+|OP2|）=（2|ON|+2|OP4|）=|ON|+|OP4|（|ON|≠0）|OP3|>|OP4|，即>,所以M（a,b）∈X（a，b）-成立.
第（3）问解答同方法一.
评注：几何模式既无个性化模式的高超数学技能，也无数学通法模式的固定程序，将图形画出来后，曲线之间的关系一目了然，但需要熟悉圆锥曲线的几何性质，本解答的关键性质是“如果作抛物线的一对切线OQ,OQ′并且作平行于轴的直线OV，交QQ′于V,那么QQ′被V点平分.”读者可自行证明此定理.
三、给考生复习带来的启示
以上分析告诉我们，试题表述的形式化、符号化已成为当今高考试题命题的趋势，而命题者亦将这种代表数学特征的表述形式作为提升试题难度的手段，因此在数学学习中应该注重数学阅读，特别要经常有目的地关注形式化表述数学关系的手法，如本试题中用符号定义直观图形，再用该定义给出数学关系.以上数学通法解题模式、个性化解题模式、几何解题模式代表解题过程中常用的三种思考方向，通法有时会带来繁复的运算，过多的步骤，此时需要适当的数学技巧来简化，如果我们在解题考虑到符号关系的图形特征，将无疑会给思路带更明确的方向，因此如何融合这种解题模式是教学中要解决的问题.
（ 作者单位：华南师范大学）
责任编校 徐国坚
“本文中所涉及到的图表、公式、注解等请以PDF格式阅读”
在平面直角坐标系xOy上，给定抛物线L：y=x2.实数p，q满足p2-4q≥0，x1，x2是方程x2-px+q=0的两根，记（p，q）=max{|x1|，|x2|}.
（1）过点A（p0，p20）（p0≠0）作L的切线y轴交于点B.证明：对线段AB上任一点Q（p，q）有（p，q）=；
（2）设M（a，b）是定点，其中a，b满足a2-4b＞0，a≠0.过M（a，b）作L的两条切线l1，l2，切点分别为E（p1，p21），E′（p2，p22），l1，l2与y轴分别交于F，F′.线段EF上异于两端点的点集记为X.证明：M（a，b）∈X
|p1|>|p２|（a，b）=；
（3）设D={（x，y）|y≤x-1，y≥（x+1）2-}.当点（p，q）取遍D时，求（p，q）的最小值（记为min）和最大值（记为max）.
一、试题表述的鲜明数学特征
如所知，现代数学具有符号化、抽象性、形式化三大基本特征，纵观各省的高考数学压轴题的表述形式，日益显现出这三大特征，本文将分析试题这三个特征.
1． 题面的符号化与抽象性.
试题在“符号化”的思维模式方面表现得淋漓尽致，为数学字符众多（字符约定为字母及组成数学符号的单个符号），细数下来，共有183个数学字符，而现行高中数学实验教材中函数概念只有35个数学字符；由数学符号形成的数学概念众多，出现有抛物线、一元二次方程、不等式、...，最保守计有18个数学概念，而2010年高考广东理科数学第21题仅有直角坐标系、平面上的点、绝对值、大于等于这4个数学概念；试题包含众多的符号及概念增加试题的信息容量，无疑增加解题者的信息负担.试题抽象性表现为多处使用抽象数学符号及叙述，如符号“（p，q）=max{|x1|，
|x2|}”，中学教师普遍反映该式传递的信息相当抽象，又如“当点（p，q）取遍D时”同样抽象地表达了“整个区域”.
2． 题面的形式化.
形式化思维模式被频繁地使用到试题的叙述之中.如“实数p，q满足p2-4q≥0，x1，x2是方程x2-px+q=0的两根，记（p，q）=max{|x1|，|x2|}.”这样的叙述就是充分形式化：先抽象地规定实数（p，q）满足条件
p2-4q≥0，再令有序实数对约定实系方程x2-px+q=0有实根，最后定义函数（p，q）=max{|x1|，|x2|}；事实上，一句话“实系数方程x2-px+q=0恒存在实根x1，x2”就可以表达上述形式化的含义，而且对于二元函数（p，q）举一个具体例子以解释将更直观易懂，但形式化不需要直观.又如“过M（a，b）作L的两条切线l1，l2，切点分别为E（p1，p21），E′（p2，p22），l1，l2与y轴分别交于F，F′.线段EF 上异于两端点的点集记为X.”事实上通过画图，那些复杂的表述将会变得极为浅显，但形式化拒绝这样做，特别是那句“线段EF上异于两端点的点集记为X”，亦是典型的形式化描述，事实只需设M（a，b）在线段之间就可以了，不过，这样就失去数学家钟爱的形式化表述模式.
以上题面分析表明，大量使用抽象的数学符号，以及多次使用形式化的叙述手段，导致试题的难度显著增加.
二、多角度探究试题
以下，我们将以完全不同的知识范畴、方法技能解答试题，读者将发现每一种解法都将给考生带来启示.
1． 数学通法模式.
第（1）问证明：
由题设y=x2，则y′=，从而过A点的切线方程为y-p20=（x-p0），即y=x-p20，由于点（p，q）在线段上，则q=p-p20，从而由x2-px+q=0，得x==，即x1=，x2=p-.
（i）当p0＞0时，有0≤p≤p0，x2=p-≤=x1，此时（p，q）=|x1|=.
（ii）当p0＜0时，有p0≤p≤0，x1=≤p-=x2≤
-=-x1，此时（p，q）=|x1|=.
第（2）问证明：
l1，l2的方程分别为y=p1x-p12，y=p2x-p22，求得l1，l2 交点M（a，b）的坐标（，），由于a2-4b>0，a≠0,即（）2-4•=()2>0，故有|p1|≠|p2|.证明M（a，b）∈X|p1|>|p2|.
设M（a，b）∈X. 当p1>0时,0<
设|p1|>|p2|,则<1?圯-1<<1?圯0<<2.当p1>0时,0<
当M（a，b）∈X,由（1）中的结论可知有（a，b）=.即充分条件成立.
当（a，b）＝时，必有｜p1|>｜p２|，否则｜p1|<｜p２|.
令Ｙ是l2上线段E′Ｆ ′上异于两端点的点的集合，由已证的等价式1)M（a，b）∈Ｙ .
再由(1)得（a，b）＝≠矛盾，即｜p1|<｜p２|不成立.故必有｜p1|>｜p２|.
综上，M（a，b）∈X｜p1|>｜p２|（a，b）＝.
第（3）问解答：
求得y=x－１和y=（x＋１）２－的交点Q1（0，-1），Q2（2，1）其中０≤p≤２，?坌（p，q）∈D，有 ０≤p≤２，（p＋１）２-≤q≤p-1，（p，q）=≥===1，（p，q）=≤=.
在（0，2）上，设h(p)=（p，q）=,令h′(p)==0，得p=，由于h(0)=h(2)=1，h=（）=，∴（p，q）=hnax=，所以（p，q）≤，故min=1，
nax=.
评注：本解答的特点为将数学通法贯穿于整个解答，如用导数求切线方程和函数最值，用求根公式、方程组求根、用分类讨论处理含参数的式子.解法2将带给读者完全不一样的风格.
2． 个性化模式.
第（1）问证明：
若点（x0，y0）在曲线x2=2py上，过该点切线方程为x0x-p（y-y0）=0，即4y+p20=2p0x，而（p，q）在AB上，∴•p=q+，∴为方程x2-px+q=0的一根,方程另一根为p-.∵Q在AB上，∴p在0与p0之间，∴|p-|≤.∴ （p，q）=.
第（2）问证明：证明M（a，b）∈X|p1|＞|p2|．
由（1）知l1的方程为4y+p2i=2pix，i=1，2， ∴ p1，p２为方程p２-2pa+4b=0的两根，∴p1+p２=2a，所以有M（a，b）∈Xa在0与p1之间（a-0）（p1-a）＞0•（p1-）＞0p21＞p22|p1|＞|p2|，∴M（a，b）∈X|p1|＞|p2|.
证明M（a，b）∈X（a，b）=，同解法一.
第（3）问解答：
∵（p，q）∈D，∴（p+1）2-≤q≤p-1，∴0≤p≤2.同（2）知，p1，p２为x2-2px+4q=0的两根，∴ p1= p+，p２= p-.∵p≥0，∴|p1|＞|p2|.对（p，q）≠（2，1），∴（p，q）=，（p，q）=（2，1）时易知同样有（p，q）=，（p，q）=（ p+）≥（p+|p-2|）≥1，当p=2时成立，∴min（p，q）=1.
（p，q）=（p+）≤（p+）=（p+），设t =，∴p+=2-+t≤，当p=时成立，min=1，max=.
评注：本解答过程中没有使用一个数学上的通法,如求根公式、分类讨论等，也没有用到高级的数学工具，如导数，整个解答过程充满个性化色彩，在每一个需要数学通法的时候，解题者都使用数学技巧极具智慧地避开繁复的步骤和冗长的计算.
3． 几何模式.
第（1）问证明：如图1，P0是A在x轴的投影，过BＡ与x轴的交点P1作y的平行线，交OA于N，因P1O，P1A是过P1的两条切线，所以N是线段OA的中点，从而知P1是线段OP0的中点（理由见评注），因为
f（p）=q，所以f（x）=x2-px+q有零点（，0），由于f（x）=x2-px+q的对称轴满足＜，故f（x）=x2-px+q两个零点中离原点较远者为，所以有（p，q）=.
第（2）问证明：
如图2，点P1，P2，N分别是点E，E′，M在x轴上的投影，P3，P4分别是切线FE，F′E′与x轴的交点，则有线段|NP1|=|NP2|（理由见评注），由第（1）知分别P3，P4为线段OP1，OP2的中点.证明M（a，b）∈X|p1|＞|p2|.M（a，b）∈X|NP1|＞|NP2||OP1|=|ON|+|NP1|>|NP2||p1|＞|p2|，所以M（a，b）∈X|p1|＞|p2|成立.证明M（a，b）∈X（a，b）＝，M（a，b）∈X|OP3|=|OP1|=（|ON|+|NP1|）＝（|ON|+|ON|+|OP2|）=（2|ON|+2|OP4|）=|ON|+|OP4|（|ON|≠0）|OP3|>|OP4|，即>,所以M（a,b）∈X（a，b）-成立.
第（3）问解答同方法一.
评注：几何模式既无个性化模式的高超数学技能，也无数学通法模式的固定程序，将图形画出来后，曲线之间的关系一目了然，但需要熟悉圆锥曲线的几何性质，本解答的关键性质是“如果作抛物线的一对切线OQ,OQ′并且作平行于轴的直线OV，交QQ′于V,那么QQ′被V点平分.”读者可自行证明此定理.
三、给考生复习带来的启示
以上分析告诉我们，试题表述的形式化、符号化已成为当今高考试题命题的趋势，而命题者亦将这种代表数学特征的表述形式作为提升试题难度的手段，因此在数学学习中应该注重数学阅读，特别要经常有目的地关注形式化表述数学关系的手法，如本试题中用符号定义直观图形，再用该定义给出数学关系.以上数学通法解题模式、个性化解题模式、几何解题模式代表解题过程中常用的三种思考方向，通法有时会带来繁复的运算，过多的步骤，此时需要适当的数学技巧来简化，如果我们在解题考虑到符号关系的图形特征，将无疑会给思路带更明确的方向，因此如何融合这种解题模式是教学中要解决的问题.
（ 作者单位：华南师范大学）
责任编校 徐国坚
“本文中所涉及到的图表、公式、注解等请以PDF格式阅读”