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摘要：对山西省煤炭资源产业的现状进行研究，对开采中的浪费定性分析，用循环经济方式及内生增长模型进行分析研究，进而找出浪费的根源，对未来解决此类破坏性开采提供了理论解释，为山西省煤炭产业可持续发展提供了理论保障。
关键词：资源型产业;内生增长模型;山西省煤炭资源
中图分类号:F1245 文献标识码:A 文章编号:1006-723X(2012)04-0095-04
目前，山西省的经济发展年均速度在全国有目共睹，但作为资源型的经济发展，毕竟要受到资源存量的限制，可开采时间不可能太长，尤其是矿产资源，而煤炭资源又是矿产资源的特例。
一、山西省煤炭资源现状分析
早在1980年5月20日《人民日报》在第一版发表了题为《尽快把山西建成强大的能源基地》的社论。针对当时山西探明煤炭储量占全国三分之一，而产量只占全国六分之一的情况，社论说，“山西有丰富的煤炭资源，又有较好的重工业基础，具有大规模发展能源工业的有利条件。如果把邻近的内蒙古准格尔和陕北的煤炭资源通盘考虑，则发展能源的条件更好，完全有可能建成我国最强大的能源基地。” 由此，开启了一个对山西经济产生深刻影响的能源基地建设时代。
事实上，山西煤炭资源储量大、分布广（资源遍布全省94个县(市、区)，含煤面积6万多平方公里，占全省国土总面积的40%以上）、品种全、质量优，包含了全国的10大煤炭品种。累计探明储量2725亿吨，保有储量2574亿吨，分别约占全国的1/3。目前全省共有生产煤矿2200个，年生产能力9亿吨。［1］山西煤炭除供应全国26个省市外，还远销日本、韩国、中国台湾、中国香港、菲律宾、印度、英国、法国、荷兰、意大利等24个国家和中国地区。［2］
山西省经济发展优势在煤炭，强项也在煤炭。山西煤多，是好事也是坏事；坏就坏在使人们有了依赖性，养成了多年来吃资源现成饭的思想，而不思进取。煤炭在给山西带来经济效益的同时，也禁锢了许多人的思想，让他们舍不得跳出煤窑去寻找别的生财之道，仅用煤炭发财，吃煤炭这碗饭，导致山西的经济发展出路越来越窄。
山西省在中国能源结构中的地位独一无二，拥有国家新确立的晋北、晋中、晋东南三大能源基地；而根据《2005年山西经济社会形势分析与预测》(山西省蓝皮书)的观点，近年来由于煤、焦、铁市场火爆，山西工业投资再次向煤、焦、铁等有资源优势的初级产业集聚，初级产品在经济总量中的比重进一步提高，煤、焦、铁等上游产业发展过热，资源消耗和环境污染加重是必然的。此外，由于山西省丰富的煤铁矿产资源，在历史上就形成了以采掘和初加工为主的资源型工业经济结构，煤、焦、铁所占全省经济总量的比例达到70％以上。这种经济结构所表现出来的产业链条短、产品附加值低、科技含量低、经济效益差的弊端越来越明显，极相似于“荷兰病①”中的经济畸形发展状况，要达到现代经济发展的要求就必须改变这种不合理的产业结构。
二、山西省煤炭资源开采中浪费的定性分析
外省人提起山西，首先想到的是煤。有人说，山西近年来经济快速发展主要是靠挖煤发了财，哪一天煤挖完了或煤炭市场滑坡，山西照样逃不掉“资源陷阱”的怪圈，这主要表现在资源利用的粗放模式，无疑进一步加剧了资源的损耗、浪费。在煤炭资源开采中，无证采矿、乱采滥挖、采富弃贫、采易弃难、越界开采、争抢资源、重复建设等问题比较突出［3］，这是煤炭资源浪费的一个严重表现。当然，我省矿山规模小、技术含量低、掠夺方式开采造成的资源浪费惊人。据一项不完全统计显示，我省近4000个乡镇煤矿2004年生产煤炭1.82亿吨，耗费煤炭资源达12.13亿吨，平均回采率15％，年浪费资源10多亿吨，价值损失约2000亿元(每吨按200元计)［4］。从整体来看，小煤矿回采率仅为0~5％，大部分不足10％，大型煤矿为45％，平均也只有35％，也就是说每年开采5亿吨煤炭需要消耗14.2857亿吨煤炭的资源，即“在喝一碗的同时，要倒掉两碗”，这样的浪费是巨大的，按照这个速度，可能在二十多年之内（后面要精确计算），山西省的煤炭资源就将面临全面枯竭。从另一角度看，由于受需求和追求效益最大化的双重驱使，不少地方的煤矿以超能力生产、超强度开采的方式提高产量，增加效益。超能力和超强度开采，降低了矿井服务年限，导致矿区维持正常生产能力的服务年限也随之缩短，加快了矿井衰老报废速度，打乱了矿井正常接续部署。更为严重的是采空区沉降、塌陷面积迅速增加，地面设施毁坏严重，农田破坏，耕地逐年减少，人地矛盾加剧的悲剧就必然发生。
当然，从短时间内看，小煤窑生产缓解了国家煤炭供应紧张的局面，但从长远看，将使煤炭资源提前枯竭，严重影响国家的能源安全。经过几年的努力，山西的小煤窑已由以前的7500多个减少为目前的2200个，而煤炭产量从3亿吨左右增长为9亿吨，资源回收率、机焦比重、生铁铸造大幅增加，正在建设的电力项目普遍采用了先进设备。
综上所述，山西省煤炭资源的发展前景不容乐观，回采率低、资源有限进而导致资源枯竭是制约山西省经济发展的致命因素，所以需要进一步的治理，标本兼治方可达到目的，利用循环发展的思想，改变产业结构来缓解这些矛盾。
如果按近年来中国能源消费的增长率和石油消费比重下降的情况来推算，到2020年，中国的能源消费总量将达到90亿吨标准煤，而煤炭消费的比重将不得不上升，且占全部能源消费的75%，折合煤炭产量就是近95亿吨［5］，可以看出煤炭资源在中国能源供应中的重要性。有关人士认为：山西省煤炭开采强度明显高于其他省区，预计现在至2020年间，仅五大国有重点煤炭集团就有32处矿井资源枯竭，衰减生产能力5400万吨/年，需要安置转产工人10.3万人［6］。当然，从煤炭资源浪费历程来看，山西省西山煤电集团总工程师杨茂林深有感慨地说：“我在1992年就当了总工程师，当时要报废一点煤炭资源，总工程师只有几百吨的权限，局里也就几千吨，到了煤炭管理局也就是几万、几十万吨的权限，再多了就要到煤炭部去批了。现在，这个资源报废、核销的规矩基本上没有了。不是说几百吨，而是一动就几十万吨，说没就没了，没有人管。”［7］按照这种发展状况，资源枯竭是可想而知的。由此可见，资源浪费主要由于缺乏长远的规划管理，不重视资源勘探力度的提高，没有建立科学的储量管理体系，导致了煤炭企业片面追求产量和经济效益，挑肥拣瘦，采厚弃薄，破坏了煤炭资源的整体可采性，进而导致大量资源利用不充分，形成枯竭。
在经济学论证中，只有定性说明说服力不强，为了能更加充分地说明煤炭资源的枯竭，我们用模型及推理来做进一步的分析。
三、循环经济中的资源型内生增长模型设计
现代增长理论的重要发现表明，在一段时间内，多数地区的长期增长过程具有稳态特征（Stead-State），即长期增长过程中所有人均变量的增长率都是常数。这一发现使得在增长具有稳态假设条件下，数学处理较方便。增长理论还发现劳动附加型技术进步才能保证增长的稳态性，所以下面的分析也假定增长是稳态的。
以下我们假定总量生产函数是劳动附加型的，且只讨论生产过程中的耗竭性资源投入，并且假定只生产一种产品，只有一种污染物。这样含资源投入的生产函数可以写为：
Ｙt＝Ｆ（Ｋt，ＡtＬt，Ｒt）
（1）
公式中Ｙt，Ｋt，Ａt，Ｌt，Ｒt分别表示第t时期的总产出、资本存量、刻画劳动附加型技术进步因子（代表除了单纯劳动以外的人力资本如知识和经验等）、劳动投入和耗竭性资源投入，假定资源在生产过程中是基本的（essential），即当Ｒ＝0时，有Ｙ＝0；若Ｙ>0，则有Ｒ>0。
在Arrow和Sheshinski模型中，新思想是生产或投资的副产品，这种机制称为边干边学指某一部门的生产效率会随这一部门的生产总量的增加而提高，表现为单位产出的劳动投入量逐步降低。，边干边学的作用存在于每个厂商的投资中，特别是当厂商的资本存量高时会导致知识的存量增加，与此同时，每个厂商所拥有的知识都是公共物品，其他厂商不费成本就可获得，这种溢出是在整个经济社会总体层次上的。Romer 和Arrow等的“边干边学”模型的基本思想，通过假定知识创造是投资的副产品，即知识存量的增长来源于投资和生产过程，这种关系可具体描述为资本存量的增加导致人力资本Ａt的比例增加，即：
△Ａt=b△Ｋt
（2）
公式中b为比例常数，该关系公式在制造业和其他行业的经验研究中已得到广泛的证实。从数学上看，Ａt与Ｋt在生产函数中的作用没有区别，这样含资源投入的生产函数可以写为：
Ｙt＝Ｆ（Ｋt，ＫtＬt，Ｒt）
（3）
若Ｆ（x，y，z）对x，y，z是规模报酬不变的，则上公式对Ｋ，Ｌ，Ｒ是规模报酬递增的，因为：
F(λKt,(λKt)(λLt),λRt)=λF(Kt,λKtLt,Rt)>λF(Kt,KtLt,Rt),λ>1
（4）
该结论隐含了这样的思想：报酬递增的现象来源于人力资本的增长，而这种增长又来源于投资和生产过程的持续，即经济增长自身带来资本积累，导致人力资本增加，从而带来递增报酬。
假设生产函数为Cobb-Douglas型，并省略时间下标，这样总产出量Ｙ可以表示为：
Y=BKα(KL)βR1－α－β
（5）
公式中Ｂ，α，β为正常数，且1－α－β>0。
为分析方便，其中假定总人口与劳动力人数相等，且第0期的总人口与总劳动力人数都为1，假定劳动力人数Ｌ的增长率为n。则人均产出y=Y/L可以写成：
y=BKα+βLβr1－α－β
（6）
公式中k=K/L为人均物质资本，r=R/L为人均资源投入。人均物质资本满足如下变化方程：
k=Bkα+βLβr1－α－β－(n+δ)k－c
（7）
公式中c为人均消费；δ为资本折旧率；k为人均资本变化率；n为人口增长率。
假定单位产出的污染排放量为φ，则人均污染物排放量Ｘ满足如下变化方程：
X=Bkα+βLβr1－α－βφ－(n+η)X
（8）
公式中η为污染物自然净化比例。
发展循环经济，其面临问题是在上述（7）、（8）的约束下，选择人均消费c使得如下跨时效用最大化：
maxU=max∫0∞e－(ρ－n)tlnV(t)dt
（9）
公式中，ρ>0为主观折现率；V(t)为瞬时效用函数，依赖于人均消费及人均污染存量，即：
V(t)=c(t)X(t)－ε
（10）
公式中，0<ε<1。在该模型中，我们将可持续增长率定义为瞬时效用的长期增长率（以下用ξx表示变量Ｘ的增长率），即：
ξv=V&V=c&c－εX&X
（11）
(公式11)表明了资源利用、经济增长与污染增长之间的关系。
上述动态优化问题可以利用庞特里亚金极大值方法处理，为此作如下的Hamilton函数：
H=e－(ρ－n)t{lnc－εlnX+λ2+λ1
Bkα+βLβr1－α－β－(n+δ)k－c+λ2
Bkα+βLβr1－α－βφ－(n+η)X}
（12）
公式中λ1,λ2分别为人均资本和污染物的影子价格影子价格（shadow price）：在资源得到最优配置，使社会总效益最大时，该资源投入量每增加一个单位所带来社会总收益的增加量。是从资源有限性出发，以资源充分合理分配并有效利用为核心，以最大经济效益为目标的一种测算价格，是对资源使用价值的定量分析。（《循环经济学》，周宏春等著，中国发展出版社，2005年9月版，第180页）；c 为控制变量；k 和x为状态变量。
由一阶条件知：
λ1=c-1-λ&1+(ρ-n)λ1
=(α+β)Bkα+β-1Lβr1-α-β·(λ1+λ2φ)-(n+δ)λ1-λ&2+(ρ-n)λ2
=-εX-(n+η)λ2
（13）
则有：
λ&1λ1=c&c-ξc
（14）
λ&1λ1=(ρ+δ)-(α+β)BLβrK1-α-β1+λ2φλ1
（15）
λ&2λ2=(ρ+δ)+ελ2k
（16）
稳态增长条件下，由（14）知ξc为常数，则由（14）和（15）知，（15）右端为常数，即有Lβkα+β－1r1－α－β和λ2/λ1皆为常数，这两项分别对时间求导数，有：
nβ+(1－α－β)ξλ－ξk=0
（17）
ξλ1=ξk2
（18）
同理，由稳态增长知（公式16）右端为常数，故有：
ξk2=－ξx
（19）
而由人均资本的变化方程（7）有：
k&k=BLβrk1－α－β－ck－(n+δ)
（20）
故
ξc=ξk=ξλ1
（21）
而由污染物的变化方程（8）有：
X&X=Bkα+βLβr1－α－βφX－(n+η)
（22）
故由稳态增长知kα+βLβr1－α－β/X为常数，两边对时间求导数，有
(α+β)ξk+nβ+(1－α－β)ξr=ξx
（23）
解方程组（17）、（18）、（19）、（21）、（23）可得：
ξc=ξx=nβ+(1－α－β)ξr1－α－β
（24）
而可持续发展要求增长率ξv>0，则有：
ξv>(1－ε)ξc>0
（25）
于是
nβ+(1－α－β)ξr>0
（26）
而资源可持续利用要求资源投入的变化率ξr<0，该公式的经济意义即在推行循环经济时，生产过程将逐期减少对耗竭性资源的依赖，否则总的资源存量将在有限的时间内被消耗完，经济增长也将不可能持续下去。在此资源可持续性发展规范下有：
ξr
（27）
因此，在资源可持续利用规范下的人均资源投入增长率应小于(nβ)/(1－α－β)。其中n为人口增长率，则（27）还可以写作：
ξrn<β1－α－β
（28）
该公式说明，假定社会在消耗其耗竭性资源存量的时间长河中，在环境污染并存的条件下要求维持可持续的人均消费，生产过程的耗竭性资源投入与人口增长率的比值应小于劳动力产出弹性与资源的产出弹性之比。
在经济高速增长的条件下，自然资源的存量有限，而人为开采过度时，终会造成资源耗竭，开发自然资源要适度，并且循环利用有限的自然资源，延长产业链，使有限资源得到充分利用，达到资源的“减量化、资源化、循环化”的目的是山西省煤炭资源充分利用的有力保证。
［参考文献］［1］山西煤炭信息网［EB/OL］.2010-12.
［2］新华社［D］.2005-4-15.
［3］孙立平，杜永武［N］.中国经济时报，2005-9-20.
［4］天马,武旻川.［N］.山西商报，2005-09-17.
［5］王建.［D］.2005-10-10.
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［7］兰天.慧聪网电气行业［N］.2005-06-16.
［8］王岩，赵海东.矿产资源型产业循环经济发展——内蒙古西部地区典型案例理论研究［M］.北京：经济科学出版社，2008.
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［10］冯薇.产业集聚、循环经济与区域经济发展［M］.北京：经济科学出版社，2008.
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［15］鲁传一.资源与环境经济学［M］.北京：清华大学出版社，2004.
［16］周宏春,刘燕华等.循环经济学［M］.北京：中国发展出版社，2005.
［17］谭崇台.发展经济学概论［M］.武汉：武汉大学出版社，2001.
［18］张培刚.发展经济学教程［M］.北京：经济科学出版社，2001.
〔责任编辑：黎 玫〕
关键词：资源型产业;内生增长模型;山西省煤炭资源
中图分类号:F1245 文献标识码:A 文章编号:1006-723X(2012)04-0095-04
目前，山西省的经济发展年均速度在全国有目共睹，但作为资源型的经济发展，毕竟要受到资源存量的限制，可开采时间不可能太长，尤其是矿产资源，而煤炭资源又是矿产资源的特例。
一、山西省煤炭资源现状分析
早在1980年5月20日《人民日报》在第一版发表了题为《尽快把山西建成强大的能源基地》的社论。针对当时山西探明煤炭储量占全国三分之一，而产量只占全国六分之一的情况，社论说，“山西有丰富的煤炭资源，又有较好的重工业基础，具有大规模发展能源工业的有利条件。如果把邻近的内蒙古准格尔和陕北的煤炭资源通盘考虑，则发展能源的条件更好，完全有可能建成我国最强大的能源基地。” 由此，开启了一个对山西经济产生深刻影响的能源基地建设时代。
事实上，山西煤炭资源储量大、分布广（资源遍布全省94个县(市、区)，含煤面积6万多平方公里，占全省国土总面积的40%以上）、品种全、质量优，包含了全国的10大煤炭品种。累计探明储量2725亿吨，保有储量2574亿吨，分别约占全国的1/3。目前全省共有生产煤矿2200个，年生产能力9亿吨。［1］山西煤炭除供应全国26个省市外，还远销日本、韩国、中国台湾、中国香港、菲律宾、印度、英国、法国、荷兰、意大利等24个国家和中国地区。［2］
山西省经济发展优势在煤炭，强项也在煤炭。山西煤多，是好事也是坏事；坏就坏在使人们有了依赖性，养成了多年来吃资源现成饭的思想，而不思进取。煤炭在给山西带来经济效益的同时，也禁锢了许多人的思想，让他们舍不得跳出煤窑去寻找别的生财之道，仅用煤炭发财，吃煤炭这碗饭，导致山西的经济发展出路越来越窄。
山西省在中国能源结构中的地位独一无二，拥有国家新确立的晋北、晋中、晋东南三大能源基地；而根据《2005年山西经济社会形势分析与预测》(山西省蓝皮书)的观点，近年来由于煤、焦、铁市场火爆，山西工业投资再次向煤、焦、铁等有资源优势的初级产业集聚，初级产品在经济总量中的比重进一步提高，煤、焦、铁等上游产业发展过热，资源消耗和环境污染加重是必然的。此外，由于山西省丰富的煤铁矿产资源，在历史上就形成了以采掘和初加工为主的资源型工业经济结构，煤、焦、铁所占全省经济总量的比例达到70％以上。这种经济结构所表现出来的产业链条短、产品附加值低、科技含量低、经济效益差的弊端越来越明显，极相似于“荷兰病①”中的经济畸形发展状况，要达到现代经济发展的要求就必须改变这种不合理的产业结构。
二、山西省煤炭资源开采中浪费的定性分析
外省人提起山西，首先想到的是煤。有人说，山西近年来经济快速发展主要是靠挖煤发了财，哪一天煤挖完了或煤炭市场滑坡，山西照样逃不掉“资源陷阱”的怪圈，这主要表现在资源利用的粗放模式，无疑进一步加剧了资源的损耗、浪费。在煤炭资源开采中，无证采矿、乱采滥挖、采富弃贫、采易弃难、越界开采、争抢资源、重复建设等问题比较突出［3］，这是煤炭资源浪费的一个严重表现。当然，我省矿山规模小、技术含量低、掠夺方式开采造成的资源浪费惊人。据一项不完全统计显示，我省近4000个乡镇煤矿2004年生产煤炭1.82亿吨，耗费煤炭资源达12.13亿吨，平均回采率15％，年浪费资源10多亿吨，价值损失约2000亿元(每吨按200元计)［4］。从整体来看，小煤矿回采率仅为0~5％，大部分不足10％，大型煤矿为45％，平均也只有35％，也就是说每年开采5亿吨煤炭需要消耗14.2857亿吨煤炭的资源，即“在喝一碗的同时，要倒掉两碗”，这样的浪费是巨大的，按照这个速度，可能在二十多年之内（后面要精确计算），山西省的煤炭资源就将面临全面枯竭。从另一角度看，由于受需求和追求效益最大化的双重驱使，不少地方的煤矿以超能力生产、超强度开采的方式提高产量，增加效益。超能力和超强度开采，降低了矿井服务年限，导致矿区维持正常生产能力的服务年限也随之缩短，加快了矿井衰老报废速度，打乱了矿井正常接续部署。更为严重的是采空区沉降、塌陷面积迅速增加，地面设施毁坏严重，农田破坏，耕地逐年减少，人地矛盾加剧的悲剧就必然发生。
当然，从短时间内看，小煤窑生产缓解了国家煤炭供应紧张的局面，但从长远看，将使煤炭资源提前枯竭，严重影响国家的能源安全。经过几年的努力，山西的小煤窑已由以前的7500多个减少为目前的2200个，而煤炭产量从3亿吨左右增长为9亿吨，资源回收率、机焦比重、生铁铸造大幅增加，正在建设的电力项目普遍采用了先进设备。
综上所述，山西省煤炭资源的发展前景不容乐观，回采率低、资源有限进而导致资源枯竭是制约山西省经济发展的致命因素，所以需要进一步的治理，标本兼治方可达到目的，利用循环发展的思想，改变产业结构来缓解这些矛盾。
如果按近年来中国能源消费的增长率和石油消费比重下降的情况来推算，到2020年，中国的能源消费总量将达到90亿吨标准煤，而煤炭消费的比重将不得不上升，且占全部能源消费的75%，折合煤炭产量就是近95亿吨［5］，可以看出煤炭资源在中国能源供应中的重要性。有关人士认为：山西省煤炭开采强度明显高于其他省区，预计现在至2020年间，仅五大国有重点煤炭集团就有32处矿井资源枯竭，衰减生产能力5400万吨/年，需要安置转产工人10.3万人［6］。当然，从煤炭资源浪费历程来看，山西省西山煤电集团总工程师杨茂林深有感慨地说：“我在1992年就当了总工程师，当时要报废一点煤炭资源，总工程师只有几百吨的权限，局里也就几千吨，到了煤炭管理局也就是几万、几十万吨的权限，再多了就要到煤炭部去批了。现在，这个资源报废、核销的规矩基本上没有了。不是说几百吨，而是一动就几十万吨，说没就没了，没有人管。”［7］按照这种发展状况，资源枯竭是可想而知的。由此可见，资源浪费主要由于缺乏长远的规划管理，不重视资源勘探力度的提高，没有建立科学的储量管理体系，导致了煤炭企业片面追求产量和经济效益，挑肥拣瘦，采厚弃薄，破坏了煤炭资源的整体可采性，进而导致大量资源利用不充分，形成枯竭。
在经济学论证中，只有定性说明说服力不强，为了能更加充分地说明煤炭资源的枯竭，我们用模型及推理来做进一步的分析。
三、循环经济中的资源型内生增长模型设计
现代增长理论的重要发现表明，在一段时间内，多数地区的长期增长过程具有稳态特征（Stead-State），即长期增长过程中所有人均变量的增长率都是常数。这一发现使得在增长具有稳态假设条件下，数学处理较方便。增长理论还发现劳动附加型技术进步才能保证增长的稳态性，所以下面的分析也假定增长是稳态的。
以下我们假定总量生产函数是劳动附加型的，且只讨论生产过程中的耗竭性资源投入，并且假定只生产一种产品，只有一种污染物。这样含资源投入的生产函数可以写为：
Ｙt＝Ｆ（Ｋt，ＡtＬt，Ｒt）
（1）
公式中Ｙt，Ｋt，Ａt，Ｌt，Ｒt分别表示第t时期的总产出、资本存量、刻画劳动附加型技术进步因子（代表除了单纯劳动以外的人力资本如知识和经验等）、劳动投入和耗竭性资源投入，假定资源在生产过程中是基本的（essential），即当Ｒ＝0时，有Ｙ＝0；若Ｙ>0，则有Ｒ>0。
在Arrow和Sheshinski模型中，新思想是生产或投资的副产品，这种机制称为边干边学指某一部门的生产效率会随这一部门的生产总量的增加而提高，表现为单位产出的劳动投入量逐步降低。，边干边学的作用存在于每个厂商的投资中，特别是当厂商的资本存量高时会导致知识的存量增加，与此同时，每个厂商所拥有的知识都是公共物品，其他厂商不费成本就可获得，这种溢出是在整个经济社会总体层次上的。Romer 和Arrow等的“边干边学”模型的基本思想，通过假定知识创造是投资的副产品，即知识存量的增长来源于投资和生产过程，这种关系可具体描述为资本存量的增加导致人力资本Ａt的比例增加，即：
△Ａt=b△Ｋt
（2）
公式中b为比例常数，该关系公式在制造业和其他行业的经验研究中已得到广泛的证实。从数学上看，Ａt与Ｋt在生产函数中的作用没有区别，这样含资源投入的生产函数可以写为：
Ｙt＝Ｆ（Ｋt，ＫtＬt，Ｒt）
（3）
若Ｆ（x，y，z）对x，y，z是规模报酬不变的，则上公式对Ｋ，Ｌ，Ｒ是规模报酬递增的，因为：
F(λKt,(λKt)(λLt),λRt)=λF(Kt,λKtLt,Rt)>λF(Kt,KtLt,Rt),λ>1
（4）
该结论隐含了这样的思想：报酬递增的现象来源于人力资本的增长，而这种增长又来源于投资和生产过程的持续，即经济增长自身带来资本积累，导致人力资本增加，从而带来递增报酬。
假设生产函数为Cobb-Douglas型，并省略时间下标，这样总产出量Ｙ可以表示为：
Y=BKα(KL)βR1－α－β
（5）
公式中Ｂ，α，β为正常数，且1－α－β>0。
为分析方便，其中假定总人口与劳动力人数相等，且第0期的总人口与总劳动力人数都为1，假定劳动力人数Ｌ的增长率为n。则人均产出y=Y/L可以写成：
y=BKα+βLβr1－α－β
（6）
公式中k=K/L为人均物质资本，r=R/L为人均资源投入。人均物质资本满足如下变化方程：
k=Bkα+βLβr1－α－β－(n+δ)k－c
（7）
公式中c为人均消费；δ为资本折旧率；k为人均资本变化率；n为人口增长率。
假定单位产出的污染排放量为φ，则人均污染物排放量Ｘ满足如下变化方程：
X=Bkα+βLβr1－α－βφ－(n+η)X
（8）
公式中η为污染物自然净化比例。
发展循环经济，其面临问题是在上述（7）、（8）的约束下，选择人均消费c使得如下跨时效用最大化：
maxU=max∫0∞e－(ρ－n)tlnV(t)dt
（9）
公式中，ρ>0为主观折现率；V(t)为瞬时效用函数，依赖于人均消费及人均污染存量，即：
V(t)=c(t)X(t)－ε
（10）
公式中，0<ε<1。在该模型中，我们将可持续增长率定义为瞬时效用的长期增长率（以下用ξx表示变量Ｘ的增长率），即：
ξv=V&V=c&c－εX&X
（11）
(公式11)表明了资源利用、经济增长与污染增长之间的关系。
上述动态优化问题可以利用庞特里亚金极大值方法处理，为此作如下的Hamilton函数：
H=e－(ρ－n)t{lnc－εlnX+λ2+λ1
Bkα+βLβr1－α－β－(n+δ)k－c+λ2
Bkα+βLβr1－α－βφ－(n+η)X}
（12）
公式中λ1,λ2分别为人均资本和污染物的影子价格影子价格（shadow price）：在资源得到最优配置，使社会总效益最大时，该资源投入量每增加一个单位所带来社会总收益的增加量。是从资源有限性出发，以资源充分合理分配并有效利用为核心，以最大经济效益为目标的一种测算价格，是对资源使用价值的定量分析。（《循环经济学》，周宏春等著，中国发展出版社，2005年9月版，第180页）；c 为控制变量；k 和x为状态变量。
由一阶条件知：
λ1=c-1-λ&1+(ρ-n)λ1
=(α+β)Bkα+β-1Lβr1-α-β·(λ1+λ2φ)-(n+δ)λ1-λ&2+(ρ-n)λ2
=-εX-(n+η)λ2
（13）
则有：
λ&1λ1=c&c-ξc
（14）
λ&1λ1=(ρ+δ)-(α+β)BLβrK1-α-β1+λ2φλ1
（15）
λ&2λ2=(ρ+δ)+ελ2k
（16）
稳态增长条件下，由（14）知ξc为常数，则由（14）和（15）知，（15）右端为常数，即有Lβkα+β－1r1－α－β和λ2/λ1皆为常数，这两项分别对时间求导数，有：
nβ+(1－α－β)ξλ－ξk=0
（17）
ξλ1=ξk2
（18）
同理，由稳态增长知（公式16）右端为常数，故有：
ξk2=－ξx
（19）
而由人均资本的变化方程（7）有：
k&k=BLβrk1－α－β－ck－(n+δ)
（20）
故
ξc=ξk=ξλ1
（21）
而由污染物的变化方程（8）有：
X&X=Bkα+βLβr1－α－βφX－(n+η)
（22）
故由稳态增长知kα+βLβr1－α－β/X为常数，两边对时间求导数，有
(α+β)ξk+nβ+(1－α－β)ξr=ξx
（23）
解方程组（17）、（18）、（19）、（21）、（23）可得：
ξc=ξx=nβ+(1－α－β)ξr1－α－β
（24）
而可持续发展要求增长率ξv>0，则有：
ξv>(1－ε)ξc>0
（25）
于是
nβ+(1－α－β)ξr>0
（26）
而资源可持续利用要求资源投入的变化率ξr<0，该公式的经济意义即在推行循环经济时，生产过程将逐期减少对耗竭性资源的依赖，否则总的资源存量将在有限的时间内被消耗完，经济增长也将不可能持续下去。在此资源可持续性发展规范下有：
ξr
（27）
因此，在资源可持续利用规范下的人均资源投入增长率应小于(nβ)/(1－α－β)。其中n为人口增长率，则（27）还可以写作：
ξrn<β1－α－β
（28）
该公式说明，假定社会在消耗其耗竭性资源存量的时间长河中，在环境污染并存的条件下要求维持可持续的人均消费，生产过程的耗竭性资源投入与人口增长率的比值应小于劳动力产出弹性与资源的产出弹性之比。
在经济高速增长的条件下，自然资源的存量有限，而人为开采过度时，终会造成资源耗竭，开发自然资源要适度，并且循环利用有限的自然资源，延长产业链，使有限资源得到充分利用，达到资源的“减量化、资源化、循环化”的目的是山西省煤炭资源充分利用的有力保证。
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〔责任编辑：黎 玫〕