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【摘 要】 研究了一类肿瘤-免疫系统的全局稳定性及其控制.首先，在Pillis肿瘤免疫模型的基础上构建具有Allee效应的肿瘤-免疫系统.其次，利用构造Lyapunov函数法研究系统无肿瘤平衡点的全局渐近稳定性.然后，建立相应数学模型研究化疗对肿瘤细胞的影响.最后，通过数值模拟验证化疗控制的有效性.
【关键词】 肿瘤-免疫模型 全局渐近稳定性 化疗控制
一、引言
随着生活水平的不断提高，人们对自身健康愈加重视.癌症的高死亡率使得学者们更加注重对肿瘤细胞的控制或治疗的研究.Liu[1]建立靶向治疗的肿瘤免疫数学模型，并对解的正性和有界性进行定性分析.Raluca，Bramson和Earn[2]对描述恶性肿瘤与免疫系统相互作用的空间均匀力学数学模型进行了简要回顾.文献[3]讨论并提出可视化恶性肿瘤与免疫系统间作用关系的关键步骤.
对于肿瘤-免疫系统已有上述研究成果. 而Katrin等[4]的研究表明肿瘤具有Allee效应，由于Allee效应已在生态学中被证明可以改变最优控制决策、控制成本，因此，他认为Allee效应对肿瘤的生长控制也至关重要.但到目前为止，它在肿瘤的生长和持久性方面一直被忽视，因此，在以上问题的激发下本文尝试在Pillis[5]模型的基础上添加Allee效应并研究其动力学行为.
二、具有Allee效应的肿瘤-免疫系统的建立
Allee效应[6]表明任何个体在他的生长与繁殖过程中都有自己的最适密度，无论过密或过疏都会对自己的生长产生抑制作用，肿瘤细胞也不例外.由此，建立如下具有Allee效应的肿瘤-免疫系统
其中代表免疫细胞的数量，表示肿瘤细胞的数量，N是正常细胞的数量.分别代表效应免疫细胞的资源常量和死亡率.是Allee阈值且满足.由于肿瘤细胞的存在会激活效应免疫细胞，该项用表示.效应免疫细胞与肿瘤细胞相互竞争会导致两种细胞死亡，分别用和表示.正常细胞的最大生长率和环境承载量分别用和表示，肿瘤细胞的最大生长率和环境承载量分别用和表示.分别代表正常细胞与肿瘤细胞竞争导致的细胞死亡率.
三、无肿瘤平衡点的全局稳定性
六、结论
本文建立了具有Allee效应的肿瘤-免疫系统，根据构造Lyapunov方法对其进行全局稳定性分析，应用紧不变集局部化方法得到当时，无肿瘤平衡点是全局渐进稳定的.其次结合化疗背景对肿瘤-免疫系统进行控制，得到使得无肿瘤平衡点是全局稳定的化疗药物表达式并进行数值模拟，对比图1和图2证明化疗控制的有效性。
【参考文献】
[1] Liu P， Liu X J. Dynamics of a tumor-immune model considering targeted chemotherapy[J]. Chaos， Solitons and Fractals， 2017， 98：7-13
[2] Eftimie R， Bramson J L， Earn D J. Interactions between the immune system and cancer： A brief review of non-spatial mathematical models[J]. Bulletin of Mathematical Biology， 2011， 73（1）：2-32
[3] Preusser M， Berghoff A S， Thallinger C， et al. Cancer immune cycle： A video introduction to the interaction between cancer and the immune system[J]. Esmo Open， 2016， 1（3）：e000056
[4] Bttger K， Hatzikirou H， et al. An emerging Allee effect is critical for tumor initiation and persistence[J]. Plos Computational Biology， 2015， 11（9）：1-14
[5] Pillis L G D， Radunskaya A. The dynamics of an optimally controlled tumor model： A case study[J]. Mathematical and Computer Modelling， 2003， 37（11）：1221-1244
[6] Stephens P A， Freckleton W J. What is the Allee effect[J]. Oikos， 1999， 87（1）：185-190
[7] Shin D H， Kwon G S. Pre-clinical evaluation of a themosensitive gel containing epothilone B and mTOR/Hsp 90 targeted agents in an ovarian tumor model[J]. Journal of Controlled Release， 2017， 268：176-183
[8] Semenza G. HIF-1 and tumor progression： Pathophysiology and therapeutics[J]. Trends Molmed， 2002， 8（4）：S62-S67
[9] Jie G， Xiao Q L， Qi W. The study on inhabitory effects of chitosan oligosaccha-ride on tumor growth in vivo and in vitro[J]. Chinese Journal of Immunology， 2007， 23（5）：421-425
[10] Eftimie R， Bramson J L， Earn D J. Interactions between the immune system and cancer： A brief review of non-spatial mathematical models[J]. Bulletin of Mathematical Biology， 2011， 73（1）：2-32
作者簡介：曾春梅（1993—），女，汉族，黑龙江省牡丹江市人，硕士研究生，理学硕士，单位：北方民族大学数学与信息科学学院应用数学专业，研究方向：非线性随机动力学。
通讯作者简介：马少娟（1979—），女，回族，宁夏回族自治区人，教授，理学博士，单位：北方民族大学数学与信息科学学院，研究方向：非线性随机动力学。
基金项目：北方民族大学研究生创新项目《Allee效应影响下一类肿瘤-免疫系统的动力学分析》;项目编号：YCX19130。
【关键词】 肿瘤-免疫模型 全局渐近稳定性 化疗控制
一、引言
随着生活水平的不断提高，人们对自身健康愈加重视.癌症的高死亡率使得学者们更加注重对肿瘤细胞的控制或治疗的研究.Liu[1]建立靶向治疗的肿瘤免疫数学模型，并对解的正性和有界性进行定性分析.Raluca，Bramson和Earn[2]对描述恶性肿瘤与免疫系统相互作用的空间均匀力学数学模型进行了简要回顾.文献[3]讨论并提出可视化恶性肿瘤与免疫系统间作用关系的关键步骤.
对于肿瘤-免疫系统已有上述研究成果. 而Katrin等[4]的研究表明肿瘤具有Allee效应，由于Allee效应已在生态学中被证明可以改变最优控制决策、控制成本，因此，他认为Allee效应对肿瘤的生长控制也至关重要.但到目前为止，它在肿瘤的生长和持久性方面一直被忽视，因此，在以上问题的激发下本文尝试在Pillis[5]模型的基础上添加Allee效应并研究其动力学行为.
二、具有Allee效应的肿瘤-免疫系统的建立
Allee效应[6]表明任何个体在他的生长与繁殖过程中都有自己的最适密度，无论过密或过疏都会对自己的生长产生抑制作用，肿瘤细胞也不例外.由此，建立如下具有Allee效应的肿瘤-免疫系统
其中代表免疫细胞的数量，表示肿瘤细胞的数量，N是正常细胞的数量.分别代表效应免疫细胞的资源常量和死亡率.是Allee阈值且满足.由于肿瘤细胞的存在会激活效应免疫细胞，该项用表示.效应免疫细胞与肿瘤细胞相互竞争会导致两种细胞死亡，分别用和表示.正常细胞的最大生长率和环境承载量分别用和表示，肿瘤细胞的最大生长率和环境承载量分别用和表示.分别代表正常细胞与肿瘤细胞竞争导致的细胞死亡率.
三、无肿瘤平衡点的全局稳定性
六、结论
本文建立了具有Allee效应的肿瘤-免疫系统，根据构造Lyapunov方法对其进行全局稳定性分析，应用紧不变集局部化方法得到当时，无肿瘤平衡点是全局渐进稳定的.其次结合化疗背景对肿瘤-免疫系统进行控制，得到使得无肿瘤平衡点是全局稳定的化疗药物表达式并进行数值模拟，对比图1和图2证明化疗控制的有效性。
【参考文献】
[1] Liu P， Liu X J. Dynamics of a tumor-immune model considering targeted chemotherapy[J]. Chaos， Solitons and Fractals， 2017， 98：7-13
[2] Eftimie R， Bramson J L， Earn D J. Interactions between the immune system and cancer： A brief review of non-spatial mathematical models[J]. Bulletin of Mathematical Biology， 2011， 73（1）：2-32
[3] Preusser M， Berghoff A S， Thallinger C， et al. Cancer immune cycle： A video introduction to the interaction between cancer and the immune system[J]. Esmo Open， 2016， 1（3）：e000056
[4] Bttger K， Hatzikirou H， et al. An emerging Allee effect is critical for tumor initiation and persistence[J]. Plos Computational Biology， 2015， 11（9）：1-14
[5] Pillis L G D， Radunskaya A. The dynamics of an optimally controlled tumor model： A case study[J]. Mathematical and Computer Modelling， 2003， 37（11）：1221-1244
[6] Stephens P A， Freckleton W J. What is the Allee effect[J]. Oikos， 1999， 87（1）：185-190
[7] Shin D H， Kwon G S. Pre-clinical evaluation of a themosensitive gel containing epothilone B and mTOR/Hsp 90 targeted agents in an ovarian tumor model[J]. Journal of Controlled Release， 2017， 268：176-183
[8] Semenza G. HIF-1 and tumor progression： Pathophysiology and therapeutics[J]. Trends Molmed， 2002， 8（4）：S62-S67
[9] Jie G， Xiao Q L， Qi W. The study on inhabitory effects of chitosan oligosaccha-ride on tumor growth in vivo and in vitro[J]. Chinese Journal of Immunology， 2007， 23（5）：421-425
[10] Eftimie R， Bramson J L， Earn D J. Interactions between the immune system and cancer： A brief review of non-spatial mathematical models[J]. Bulletin of Mathematical Biology， 2011， 73（1）：2-32
作者簡介：曾春梅（1993—），女，汉族，黑龙江省牡丹江市人，硕士研究生，理学硕士，单位：北方民族大学数学与信息科学学院应用数学专业，研究方向：非线性随机动力学。
通讯作者简介：马少娟（1979—），女，回族，宁夏回族自治区人，教授，理学博士，单位：北方民族大学数学与信息科学学院，研究方向：非线性随机动力学。
基金项目：北方民族大学研究生创新项目《Allee效应影响下一类肿瘤-免疫系统的动力学分析》;项目编号：YCX19130。