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【“望”：病例观察】
一位教师执教苏教版三年级下册“认识一个整体的几分之一”——
师：“熊妈妈准备了一箱苹果，平均分给兄弟俩，每人得到这箱苹果的几分之几？”
生：“每人得到这箱苹果的。”
师：“你们猜猜这个箱子里会有多少个苹果？请同学们拿出空的苹果箱（磁性小黑板）和信封里的苹果（磁性红色圆片），我们来帮熊妈妈分一分。”
教师挑选2个苹果、4个苹果和6个苹果的学生作品板贴在黑板上，并让学生向全班介绍自己小组的作品。
此时，有一位学生小声询问：“老师，我猜这个箱子里有3个苹果，可以吗？”
是啊，其他学生也产生了同样的疑问：箱子里可以是5、7、9……个苹果吗？
教师反问道：“这样能分吗？”
学生没能分出结果来，教师趁机告诉学生：“其实呀，不管箱子里有多少只苹果，只要是平均分成2份，每一份都是它的。”
……
在课的最后环节，教师出示一条线段（如下图），提问：“你能找到吗？”
许多学生在这条线段上找到这样的结果（如下图）：
教师接着启发：“你还能找到吗？”
许多学生找到了更多的（如下图）：
……
此时，有一位学生找到了这样的（如下图）：
教师追问：“你是怎么想的？”
这位学生回答：“这个地方正好是这条线段的一半。”
教师顺势在他的作品上添加了两个大括号，擦掉了原来的，添上了这样的两个（如下图）：
教师接着补充道：“其实这位同学的意思也就是把刚才的这两张图（如下图）合在了一起。”
……
【“问”：病历记录】
课后，笔者问执教教师：“在教学预设时，你有没有想到学生会想到一个箱子里有3、5、7、9……个苹果这些可能呢？”
“我想到的。”教师胸有成竹地回答，“但我在反馈时可以只选一个箱子里有2、4、6、8……个苹果这些例子。”
“那如果是一个箱子里有3、5、7、9……个苹果，你觉得可以平均分成2份吗？”笔者接着问。
“这个……还真不好分。教材也没选择这些数据。”此时，教师有点懊悔，“都是开放惹的祸。”
……
之后，笔者找来一些学生，问：“你会把3个苹果平均分给两个人吗？”
有学生这样分：“先每人1个，然后把剩下的1个一分为二，每人分得半个，合起来就是每人分得一个半苹果。”
……
最后，笔者找来那个说“这个地方正好是这条线段的一半”的学生，问：“老师的解释，是你想说的意思吗？”
这位孩子摇了摇头，又点了点头，也说不清楚。
……
【“切”：病理诊治】
上述这节三年级下册“认识一个整体（一群物体）的几分之一”的新授课，可以说是由“认识一个物体的几分之几”到“认识一个整体的几分之几”的重要转折，从分数的“数量比”过渡到“份数比”，是学生认识的一次飞跃，也是学生分数知识学习中的一个难点，教师教得累，学生也学得累。
在起点教材“认识一个物体的几分之一”这一节课中，一开始就由例题情境图（如下图）分得的结果“个”这个具体数量转换成“一个蛋糕的”，其中“”成了表示部分与整体之间关系的一个数。
之后，教材开始专门长时间地研究这种表示两者关系的分数，以致一看到分数，脑海中就会跳出“谁是（占）谁的几分之几”，例如上述课例最后环节的设计，“你能找到吗？”的本意应该是“你能找到这条线段的吗？”只是教师在匆忙中漏说了单位“1”。教师的意图是想让学生能够找到“这条线段的”的多种表示方法，由此它可以看成一个开放性问题。事实证明，学生确实能够依据部分与整体之间的关系找到更多的“这条线段的”。
在此，笔者想说的是，其中有一位学生提出与众不同的观点——“这个地方正好是这条线段的一半”值得我们思考，从课后的交流看，这尚是学生一种模糊的直觉，他或许表达的依然是“这个地方把这条线段一分为二，每一份是这条线段的”，这也就是教师随后的处理操作。我们继续揣测，如果他想表达的是“只有这个地方（这个点）正好是这条线段的一半，其他地方（其他点）都不能用这个数表示”，那么恰好给了教师趁机进行知识延伸的机会，教师可以作这样的技术处理：把线段巧妙地变成数轴（如下图），或者先变成一条数射线（可视为数轴的雏形），充当分数的“份数模型”向“除法的商”定义过渡的几何载体。
在此意义上，“你能找到吗？”这一属于教师没说清楚的开放性问题，反而给了学生更大的思考空间，只要教师合理引导，学生就可以丰富对分数的认识。如果教师具有高超的资源捕捉能力和转化能力，此时就不必为没说清楚的教学“事故”而懊悔，相反应该为能导出不可多得的生成资源这样的教学“故事”而感到高兴。可以说，掌握分数概念的重要标志是理解分数所表征的这些相关但不同的意义。
在教学“认识一个整体的几分之几”的时候，尽管我们只需要关注分得的份数和取得的份数（上述课例设计，教师之所以把“一个箱子”作为教学素材，也是想刻意回避总数和每份数等具体数量），然而学生很难绕开以往具体数量的思维惯性，总想算一算总数被平均分后每份数是多少。于是，课中学生提出“老师，我猜这个箱子里会有3个苹果，可以吗？”这样的问题，其实并不奇怪。 对这个问题，执教教师之所以感到难以回答，从课后的交流中可以获知，是教师认为它们难以“平均分”，然而学生却有办法——“先每人1个，然后把剩下的1个一分为二……”当然，我们还可以引导学生这样“平均分”：把每个苹果一分为二，得到6个半块，然后把6个半块作为一个整体平均分成2份，每份3个半块，合起来就是1个半苹果（如下图）。由此可见，3个苹果平均分成2份，也是可以“平均分”的。
如果说“把3个苹果平均分成2份，每一份是多少个”，因为分的份数比较特殊，尚且“好”分，学生能自己想到“先分整个再分单个”的方法，也能理解“先全部分成半个后再分”的方法，那么对“把3个苹果平均分成4份、5份……每一份是多少个”等情景，学生就不能轻松应对了。当然，学生也有可能受“先把每个苹果一分为二然后再分”的启发，想到“先把每个苹果一分为四、一分为五……然后再分”。也就是说，如果执教教师一开始就知道它们是可以“平均分”的，在教学中也会刻意避开后一类问题，因为这样分要绕一个弯，实际上教材在选择数据时也刻意回避这一类问题。
马丁（J.Martin）总结出“整体‘1’”可以分为以下六种情况：以为例，（1）1个物体，例如1个苹果，平均分为5份，取其中的1份。（2）5个物体，例如“5个苹果”，其中的“1个苹果”占“5个苹果”的。（3）5个以上但是5的倍数，例如“10个苹果”，平均分为5份，取其中的1份。（4）比1个多但比5个少，例如“2个苹果”作为“整体”。（5）比5个多但不能被5整除，例如“7个苹果”作为“整体”。（6）一个单独物体的一部分的，例如1个苹果的的。其中，第（1）（2）（3）种情况，在三年级上册“认识一个物体的几分之几”和三年级下册“认识一群物体的几分之几”中作为研究素材进行教学，而第（4）（5）种情况所反映的这一类问题就是五年级下册“分数与除法的关系”的教材内容（如下图）。
上述课例，教师设计的问题——“你们猜猜这个箱子里会有多少个苹果？”让第（1）种至第（5）种情况都有出现的可能，在此意义上，这一问题也属于开放性问题。从教师课后交流看，教师在设计这一开放性问题的时候，虽然预设到了学生可能会想到各种情况，但她对此也预设了应对之策——“但我在反馈时可以只选一个箱子里有2、4、6、8……个苹果这些例子”，教师这样有选择的处理，只能说是一种“假开放”，所以教师事后感到懊悔——“都是开放惹的祸”。其实，这样的开放恰恰顺应了学生的原始思维，暴露了真实的学习状态，只要教师尊重学生、相信学生，因开放而惹来的“祸”无疑又是一次丰富学生对分数认识的机会，所以教师完全不必为此而懊悔。另外，笔者在想：“分数与除法的关系”的教材内容能否早一点教学？以早一点给上述课例遭遇的尴尬一个说法。
（江苏省常熟市张桥中心小学
一位教师执教苏教版三年级下册“认识一个整体的几分之一”——
师：“熊妈妈准备了一箱苹果，平均分给兄弟俩，每人得到这箱苹果的几分之几？”
生：“每人得到这箱苹果的。”
师：“你们猜猜这个箱子里会有多少个苹果？请同学们拿出空的苹果箱（磁性小黑板）和信封里的苹果（磁性红色圆片），我们来帮熊妈妈分一分。”
教师挑选2个苹果、4个苹果和6个苹果的学生作品板贴在黑板上，并让学生向全班介绍自己小组的作品。
此时，有一位学生小声询问：“老师，我猜这个箱子里有3个苹果，可以吗？”
是啊，其他学生也产生了同样的疑问：箱子里可以是5、7、9……个苹果吗？
教师反问道：“这样能分吗？”
学生没能分出结果来，教师趁机告诉学生：“其实呀，不管箱子里有多少只苹果，只要是平均分成2份，每一份都是它的。”
……
在课的最后环节，教师出示一条线段（如下图），提问：“你能找到吗？”
许多学生在这条线段上找到这样的结果（如下图）：
教师接着启发：“你还能找到吗？”
许多学生找到了更多的（如下图）：
……
此时，有一位学生找到了这样的（如下图）：
教师追问：“你是怎么想的？”
这位学生回答：“这个地方正好是这条线段的一半。”
教师顺势在他的作品上添加了两个大括号，擦掉了原来的，添上了这样的两个（如下图）：
教师接着补充道：“其实这位同学的意思也就是把刚才的这两张图（如下图）合在了一起。”
……
【“问”：病历记录】
课后，笔者问执教教师：“在教学预设时，你有没有想到学生会想到一个箱子里有3、5、7、9……个苹果这些可能呢？”
“我想到的。”教师胸有成竹地回答，“但我在反馈时可以只选一个箱子里有2、4、6、8……个苹果这些例子。”
“那如果是一个箱子里有3、5、7、9……个苹果，你觉得可以平均分成2份吗？”笔者接着问。
“这个……还真不好分。教材也没选择这些数据。”此时，教师有点懊悔，“都是开放惹的祸。”
……
之后，笔者找来一些学生，问：“你会把3个苹果平均分给两个人吗？”
有学生这样分：“先每人1个，然后把剩下的1个一分为二，每人分得半个，合起来就是每人分得一个半苹果。”
……
最后，笔者找来那个说“这个地方正好是这条线段的一半”的学生，问：“老师的解释，是你想说的意思吗？”
这位孩子摇了摇头，又点了点头，也说不清楚。
……
【“切”：病理诊治】
上述这节三年级下册“认识一个整体（一群物体）的几分之一”的新授课，可以说是由“认识一个物体的几分之几”到“认识一个整体的几分之几”的重要转折，从分数的“数量比”过渡到“份数比”，是学生认识的一次飞跃，也是学生分数知识学习中的一个难点，教师教得累，学生也学得累。
在起点教材“认识一个物体的几分之一”这一节课中，一开始就由例题情境图（如下图）分得的结果“个”这个具体数量转换成“一个蛋糕的”，其中“”成了表示部分与整体之间关系的一个数。
之后，教材开始专门长时间地研究这种表示两者关系的分数，以致一看到分数，脑海中就会跳出“谁是（占）谁的几分之几”，例如上述课例最后环节的设计，“你能找到吗？”的本意应该是“你能找到这条线段的吗？”只是教师在匆忙中漏说了单位“1”。教师的意图是想让学生能够找到“这条线段的”的多种表示方法，由此它可以看成一个开放性问题。事实证明，学生确实能够依据部分与整体之间的关系找到更多的“这条线段的”。
在此，笔者想说的是，其中有一位学生提出与众不同的观点——“这个地方正好是这条线段的一半”值得我们思考，从课后的交流看，这尚是学生一种模糊的直觉，他或许表达的依然是“这个地方把这条线段一分为二，每一份是这条线段的”，这也就是教师随后的处理操作。我们继续揣测，如果他想表达的是“只有这个地方（这个点）正好是这条线段的一半，其他地方（其他点）都不能用这个数表示”，那么恰好给了教师趁机进行知识延伸的机会，教师可以作这样的技术处理：把线段巧妙地变成数轴（如下图），或者先变成一条数射线（可视为数轴的雏形），充当分数的“份数模型”向“除法的商”定义过渡的几何载体。
在此意义上，“你能找到吗？”这一属于教师没说清楚的开放性问题，反而给了学生更大的思考空间，只要教师合理引导，学生就可以丰富对分数的认识。如果教师具有高超的资源捕捉能力和转化能力，此时就不必为没说清楚的教学“事故”而懊悔，相反应该为能导出不可多得的生成资源这样的教学“故事”而感到高兴。可以说，掌握分数概念的重要标志是理解分数所表征的这些相关但不同的意义。
在教学“认识一个整体的几分之几”的时候，尽管我们只需要关注分得的份数和取得的份数（上述课例设计，教师之所以把“一个箱子”作为教学素材，也是想刻意回避总数和每份数等具体数量），然而学生很难绕开以往具体数量的思维惯性，总想算一算总数被平均分后每份数是多少。于是，课中学生提出“老师，我猜这个箱子里会有3个苹果，可以吗？”这样的问题，其实并不奇怪。 对这个问题，执教教师之所以感到难以回答，从课后的交流中可以获知，是教师认为它们难以“平均分”，然而学生却有办法——“先每人1个，然后把剩下的1个一分为二……”当然，我们还可以引导学生这样“平均分”：把每个苹果一分为二，得到6个半块，然后把6个半块作为一个整体平均分成2份，每份3个半块，合起来就是1个半苹果（如下图）。由此可见，3个苹果平均分成2份，也是可以“平均分”的。
如果说“把3个苹果平均分成2份，每一份是多少个”，因为分的份数比较特殊，尚且“好”分，学生能自己想到“先分整个再分单个”的方法，也能理解“先全部分成半个后再分”的方法，那么对“把3个苹果平均分成4份、5份……每一份是多少个”等情景，学生就不能轻松应对了。当然，学生也有可能受“先把每个苹果一分为二然后再分”的启发，想到“先把每个苹果一分为四、一分为五……然后再分”。也就是说，如果执教教师一开始就知道它们是可以“平均分”的，在教学中也会刻意避开后一类问题，因为这样分要绕一个弯，实际上教材在选择数据时也刻意回避这一类问题。
马丁（J.Martin）总结出“整体‘1’”可以分为以下六种情况：以为例，（1）1个物体，例如1个苹果，平均分为5份，取其中的1份。（2）5个物体，例如“5个苹果”，其中的“1个苹果”占“5个苹果”的。（3）5个以上但是5的倍数，例如“10个苹果”，平均分为5份，取其中的1份。（4）比1个多但比5个少，例如“2个苹果”作为“整体”。（5）比5个多但不能被5整除，例如“7个苹果”作为“整体”。（6）一个单独物体的一部分的，例如1个苹果的的。其中，第（1）（2）（3）种情况，在三年级上册“认识一个物体的几分之几”和三年级下册“认识一群物体的几分之几”中作为研究素材进行教学，而第（4）（5）种情况所反映的这一类问题就是五年级下册“分数与除法的关系”的教材内容（如下图）。
上述课例，教师设计的问题——“你们猜猜这个箱子里会有多少个苹果？”让第（1）种至第（5）种情况都有出现的可能，在此意义上，这一问题也属于开放性问题。从教师课后交流看，教师在设计这一开放性问题的时候，虽然预设到了学生可能会想到各种情况，但她对此也预设了应对之策——“但我在反馈时可以只选一个箱子里有2、4、6、8……个苹果这些例子”，教师这样有选择的处理，只能说是一种“假开放”，所以教师事后感到懊悔——“都是开放惹的祸”。其实，这样的开放恰恰顺应了学生的原始思维，暴露了真实的学习状态，只要教师尊重学生、相信学生，因开放而惹来的“祸”无疑又是一次丰富学生对分数认识的机会，所以教师完全不必为此而懊悔。另外，笔者在想：“分数与除法的关系”的教材内容能否早一点教学？以早一点给上述课例遭遇的尴尬一个说法。
（江苏省常熟市张桥中心小学