论文部分内容阅读
摘要：研究具有长时延广义网络控制系统鲁棒H∞控制问题，假定传感器是时间驱动，控制器和执行器是事件驱动，网络时延在2个采样周期之间，有限的外部能量扰动网络化控制系统，利用状态增广的方法，建立离散时变的不确定系统模型，并利用李雅普诺夫理论和线性矩阵不等式描述方法，推导出了动态输出反馈H∞控制律存在的充分条件。以仿真实例说明了该方法的有效性。
关键词：可靠性数学；长时延；广义网络化控制系统；H∞控制；状态增广
中图分类号：O231MSC（2010）主题分类：93D09文献标志码：A
Robust H∞ infinity control for generalized network control
systems with long time delay
YANG Liyun， BAO Dongdong， QIU Jiqing， SUN Xiaoling， ZHANG Chenxi， ZHANG Lijun
（School of Science， Hebei University of Science and Technology， Shijiazhuang， Hebei 050018， China）
Abstract：To study the robust H∞ infinity control for generalized networked control systems with long time delay， it is assumed that the sensors are clock-driver， and controllers and actuators are event-driver in two sampling periods and limited energy of the external disturbance. The augmented state is used to establish uncertain system model of discrete time-varying， and by using Lyapunov function and linear matrix inequalities，the sufficient conditions for dynamic output H∞ infinity feedback control are found out. A simulation example shows the effectiveness of the method.
Keywords：reliability mathematics； long time delay； generalized network control systems； H∞ infinity control； augmented state
收稿日期：2014-11-07；修回日期：2015-01-12；责任编辑：张军
基金项目：河北省自然科学基金（F2014208042）；河北省高等学校科学技术研究自筹基金（Z2014060）
作者简介：杨丽芸（1978—），女，河北昌黎人，讲师，硕士，主要从事复杂系统中的优化控制与信息处理及鲁棒控制等方面的研究。
通讯作者：仇计清教授。E-mail：qiujiqing@163.com
杨丽芸，鲍冬冬，仇计清，等.长时延广义网络化控制系统的鲁棒H∞控制[J].河北科技大学学报，2015，36（4）：394-400.
YANG Liyun， BAO Dongdong， QIU Jiqing， et al.Robust H∞ infinity control for generalized network control systems with long time delay[J].Journal of Hebei University of Science and Technology，2015，36（4）：394-400.网络化控制系统是指控制回路通过网络形成一种闭环的反馈控制系统，相对于传统系统，网络化控制系统具有易于安装和维修、成本低、能耗和布线少、资源可共享、可远程操作及系统可靠性高等优点[1-5]。受到网络因素的影响，系统中传感器和控制器信息是以数据包形式通过网络才能传输到控制器和执行器[6-7]，因为这样会使其与其他网络节点竞争使用网络资源，因此在系统中不可避免地引起时延问题[8-10]。特别是长时延问题给网络控制系统的分析与设计带来了严重的困难和挑战[11-13]。
目前，对于网络化控制系统的研究只集中于短时延的影响，文献[14]和文献[15]考虑短时延网络控制系统，在时延小于1个采样周期的情况下，将系统离散化，再运用Lyapunov泛函，求出鲁棒H∞控制稳定的充分条件，文献[16]考虑到短时延的广义化网络化控制，推导出H∞控制律存在的充分条件，文献[17]运用输出反馈分析一类没有扰动的广义网络化控制系统的稳定性问题，文献[18]考虑一种长时延的保性能网络化控制系统。
本文基于长时延广义网络化控制系统的鲁棒H∞问题进行了研究，利用李雅普诺夫理论和线性矩阵不等式方法，在一定的系统状态、输入向量、期望输出和有限能量的外部扰动下，得出了闭环系统渐进稳定的状态反馈控制器存在的充分条件和设计方法，仿真实例说明了方法的有效性。
1问题描述
考虑如下被控对象状态方程：
河北科技大学学报2015年第4期杨丽芸，等：长时延广义网络化控制系统的鲁棒H∞控制E（t）=Ax（t）+Bu（t）+H0w（t），
z（t）=C1x（t）+H1w（t）， （1） 其中：x（t）∈Rn，u（t）∈Rm，z（t）∈Rp和w（t）分别是系统状态、输入向量、测量输出和有限能量的外部扰动，A，B，C1，H0，H1为适当维数矩阵，E∈Rn×n为奇异矩阵。
为便于分析，做如下假设：
1）被控对象正则、无脉冲；
2）控制器和执行器是事件驱动，传感器是时间驱动且周期为T；
3）数据单包传输，没有数据包丢失。
由于被控对象正则、无脉冲，因此存在可逆矩阵P，Q使得：
PEQ=Ir0
00，PAQ=A10
0In-r，PH0=W1
W2，PB=B1
B2，C1Q=[C11C12]，
即系统受限等价于
1（t）=A1x1（t）+B1u（t）+W1w（t），
0=x2（t）+B2u（t）+W2w（t），
z（t）=C11x1（t）+C12x2（t）+H1w（t）。（2）
根据上述假设，对系统（2）进行离散化得：
x1（k+1）=Adx1（k）+Γ0（εk）u（k-n）+Γ1（εk）u（k-n-1）+R1w（k），
x2（k）=-0（εk）u（k-n）-1（εk）u（k-n-1）-W2w（k），
z（k）=C11x1（k）+C12x2（k）+H1w（k），（3）
其中：
Ad=eA1T，Γ0（εk）=∫T-εk0eA1sdsB1，Γ1（εk）=∫TT-εkeA1sdsB1，R1=∫T0eA1tdtW1，
0（εk）=∫T-εk0eA1sdsB2，1（εk）=∫TT-εkeA1sdsB2。
定义1对于给定的实数r>0，如果系统（3）在控制律
xc（k+1）=Acxc（k）+Bcz（k），
u（k）=Ccxc（k） （4）
的条件下是闭环系统渐近稳定的，并且对于实数r>0以及所有的w（k）∈L2[0，+∞），在零初始条件下，式子‖z（k）‖2 联合式（3）和式（4）可以得到如下闭环系统：
x1（k+1）
xc（k+1）=Ad0
BcC11Acx1
xc+11Cc
L1xc（k-n）+12Cc
1xc（k-n-1）+R1
L2w（t），（5）
其中：
L1=-BcC1221Cc；1=-BcC1222Cc；L2=Bc（H1-C12w2）；
11=Γ0（εk）；12=Γ1（εk）；21=0（εk）；22=1（εk）。
引理1（Schur补引理）给定常数矩阵A，P以及Q，其中P=PT>0，Q=QT>0，则ATPA+Q<0成立，当且仅当-P-1A
ATQ<0或QAT
A-P-1<0。
引理2给定适当维数的矩阵A，B和C，其中A是对称矩阵，则A+BDC+CTDTBT<0对所有满足DTD≤I的矩阵D成立，当且仅当存在一个实数ε>0，使得A+εBBT+ε-1CTC<0。
2主要结论
定理1当外部扰动w（k）=0时，如果存在正定矩阵P，Q，S1满足如下条件：
∏11∏12∏13∏14
*∏22∏23∏24
**∏33∏34
***∏44<0，（6）
则闭环广义网络控制系统（5）渐近稳定。
其中：
∏11=ATdPAd+（BcC11）TQBcC11-P；∏12=（BcC11）TQAc；∏13=ATdP11Cc+（BcC11）TQL1；
∏14=ATdP12Cc+（BcC11）TQ1；∏22=ATcQAc-Q+2S1；∏23=ATcQL1；∏24=ATcQ1；
∏33=（11Cc）TP11Cc；∏34=（11Cc）TP12Cc+LT1Q1；∏44=（12Cc）TP12Cc+LT1QL1-S1。
证明定义如下Lyapunov函数：
V（k）=xT1（k）Px1（k）+xTc（k）Qxc（k）+∑ni=1xTc（k-i）S1xc（k-i）+∑n+1i=1xTc（k-i）S1xc（k-i），
其中P，Q，S1是正定矩阵，V（k）的前向差分为
ΔV（k）=V（k+1）-V（k）=ζT∏11∏12∏13∏14
*∏22∏23∏24
**∏33∏34
***∏44·x1（k）
xc（k）
xc（k-n）
xc（k-n-1），
根据Lyapunov理论，若式（6）成立，则可以推导出闭环广义网络控制系统（5）渐近稳定。
定理2对于给定的衰减度r>0，若w（k）≠0，如果存在正定矩阵P，Q，S1使得对称矩阵不等式（7）成立：
∏11+CT11C11∏12∏13-CT11C1221∏14-CT11C1222∏15
*∏22∏23∏24∏25
**∏33+（C1221）TC1221∏34+（C1221）TC1221∏35
***∏44+（C12B22）TC12B22∏45
****∏55<0，（7）
则闭环广义网络控制系统（5）是渐进稳定，并且‖z‖2≤r‖w‖2，
其中： ∏15=ATdPR1+（BcC11）TQL2+CT11（H2-C12W2）；
∏25=ATcQL2；
∏35=ATdPR1+（BcC11）TQL2-（C1221）T（H1-C12W2）；
∏45=（12Cc）TPR1+L1-TQL2-（C1221）T（H1-C12W2）；
∏55=RT1PR1+LT2QL2+（H1-C12W2）T（H1-C12W2）-r2I。
证明
ΔV（k）+zT（k）z（k）-r2wT（k）w（k）=
ξT（k）∏11+CT11C11∏12∏13-CT11C1221∏14-CT11C1222∏15
*∏22∏23∏24∏25
**∏33+（C1221）TC1221∏34+（C1221）TC1221∏35
***∏44+（C12B22）TC12B22∏45
****∏55ξ（k），
其中：ξ（k）=[x1（k）xc（k）xc（k-n）xx（k-n-1）w（k）]T。
若式（7）成立，则zT（k）z（k）-r2wT（k）w（k）+ΔV（k）<0显然成立，可以根据系统零初始条件，对上式两边求积分即可得‖z‖2≤r‖w‖2[21]。
定理3对于广义网络化控制（3），如果存在正定矩阵X，Y，G及标量ε>0，使得如下线性矩阵不等式成立：
对式（11）左右两边乘以
diag{P-1，Q-1，I，I，I，I，I，I，I，I，I，I}并且令X=P-1，Y=Q-1，N2=YTAc，N3=11Cc，G=Q-1S1Q-1，N1=BcC11XT，即可得到式（8）。
将式（8）的可行解代入式（4）即可得到式（9）。证毕。
3仿真实例
考虑如下被控对象状态方程：
10
00（t）=-20
01x（t）+1
0.5u（t）+0.3
0.2w（t），
z（t）=[0.40.5]x（t）+0.3w（t），（12）
假设采样周期是0.1 s，则式（12）离散化可得：
x1（k+1）=0.818 7x1（k）+0.041 6u（k-n）+0.003 05u（k-n-1）+0.090 65w（k），
x2（k）=-0.020 8u（k-n）-0.001 525u（k-n-1）-0.2w（k），
z（k）=0.4x1（k）+0.5x2（k）+0.3w（k）。
根据定理3，利用Matlab的LMI工具箱可得一组可行解X=1.181 4，Y=-1.790 5，N1=1.113，N2=-1.235 4，N3=1.654 3。
因此得到动态输出反馈H∞控制律为
xc（k+1）=0.69xc（k）+2.355 3z（k），
u（k）=-79.53xc（k）。
4结语
本文研究了一类具有长时延的广义网络化控制系统，假设传感器是时钟驱动，控制器、执行器是事件驱动，在2个采样周期之间和有限能量的外部扰动的情况下，利用Lyapunov理论和LMI方法给出了输出反馈控制律存在的充分条件。仿真说明了其有效性。
参考文献/References：
[1] DONG H， WANG Z， HO D W C，et al. Networked control design for linear systems[J]. Automatic， 2003， 39： 743-750.
[2]YU Baoqi， WANG Junyi， WANG Yanfeng. Guaranteed cost control for networked control systems with long time-delay and data packet dropout[J].Control Engineering of China， 2013， 20（6）： 59-64.
[3]LIU H L，WANG X，LWMMON M. Self-triggered feedback control systems with finite-gain stability[J]. IEEE Transactions on Automatic Control， 2009， 45（3）： 452-467.
[4]HU Shousong， ZHU Qixin. Stochastic optimal control and analysis of stability of networked control systems with long delay[J]. Automatic， 2003， 39：1877-1884.
[5]XU S， LAM J.Robust Control and Filtering of Singular Systems[M].Berlin： Springer-Verlag， 2006.
[6]CHEN W， CHEN B. Robust stabilization design for nonlinear stochastic system with Poisson noise via fuzzy interpolation method[J]. Fuzzy Sets and Systems， 2013， 217（16）：41-61.
[7]QIU J Q， ZHANG J H， SHI P. Robust stability of uncertain linear systems with time varying delay and nonlinear perturbations proceedings of the institution of mechanical engineers， Part 1[J]. Journal of Systems and Control Engineering， 2006，220（5）：411-416. [8]ZHANG B， LAM J， XU S， et al. Robust stabilization of uncertain T-S fuzzy time-delay systems with exponential estimates[J]. Fuzzy Sets and Systems， 2009，160（12）：1720-1737.
[9]CHEN W， GUAN A， LU X. Delay-dependent output feedback guaranteed cost control for uncertain time-delay systems[J]. Automatica， 2004， 40（7）： 1263-1268.
[10]DONG K S. Maximum allowable delay bounds of networked control systems[J]. Control Engineering Practice， 2003，11：1301-1313.
[11]HIDEAKI I. Control with limited communication and message bsses[J]. Systems and Control Letters， 2008，5（7）：322-331.
[12]孙业国.时延丢包网络控制系统的分析与控制[J].计算机工程与应用，2012，48（21）：89-93.
SUN Yeguo.Analysis and control of networked control systems with both time delay and packet dropout [J]. Computer Engineering and Applications，2012，48（21）：89-93.
[13]孙晓岭，杨丽芸，鲍冬冬，等.时滞网络化控制系统的鲁棒H∞稳定性分析[J].河北科技大学学报，2013，34（4）：297-301.
SUN Xiaoling，YANG Liyun，BAO Dongdong，et al.Analysis of robust H∞ stability for time delay network control system[J].Journal of Hebei University of Science and Technology，2013，34（4）：297-301.
[14]胥吉林，屈百达，徐保国.短时延网络控制系统的建模与鲁棒控制[J].计算机工程与设计， 2013，34（1）：110-114.
XU Jilin，QU Baida，XU Baoguo.Modeling and robust for networked control systems with short time-delay[J].Computer Engineering and Design，2013，34（1）：110-114.
[15]王燕锋，井元伟，张嗣瀛，等. 一类短时延的广义网络控制系统的鲁棒控制[J].东北大学学报（自然科学报），2011，32（5）：609-613.
WANG Yanfeng， JING Yuanwei，ZHANG Siying，et al.Robust control for a kind of singular networked control system with short time-delay[J]. Journal of Northeastern University（Natural Science Edition ）， 2011，32（5）： 609-613.
[16]CHEN C H，LIN C L.Stability of networked control systems with time-varying delays [J].Communications Letters IEEE，2007，11（3）：270-272.
[17]王晓斌.长时延和丢包的网络化控制系统保性能控制[J].长春师范学院学报，2013，4（8）：7-10.
WANG Xiaobin.Long time delay and packet loss network control system guaranteed cost control[J].Journal of Changchun Normal University，2013，4（8）：7-10.
[18]邱占芝， 张庆灵， 刘明. 不确定时延输出反馈网络化系统保性能控制[J].控制理论与应用， 2007， 24（2）： 274-278.
QIU Zhanzhi， ZHANG Qingling，LIU Ming. Guaranteed performance control for output feedback networked control systems with uncertain time-delay [J]. Control Theory & Applications， 2007， 24（2）： 274-278.
[19]DU Zhaoping， ZHANG Qinglin. Delay-dependent robustcontrol for uncertain singular systems with multiple state delays [J]. IET Control Theory Application， 2009， 3（6）： 731-740.
[20]NILSSON J， BERNHARDSSON B， WITTENMARK B. Stochastic analysis and control of real time systems with random time delays[J]. Automatica，1998， 34：57-64.
[21]HU S， ZHU Q. Stochastic optimal control and analysis of stability of networked control systems with long delay[J]. Automatica， 2003， 39：1877-1884.第36卷第4期河北科技大学学报Vol.36，No.4
关键词：可靠性数学；长时延；广义网络化控制系统；H∞控制；状态增广
中图分类号：O231MSC（2010）主题分类：93D09文献标志码：A
Robust H∞ infinity control for generalized network control
systems with long time delay
YANG Liyun， BAO Dongdong， QIU Jiqing， SUN Xiaoling， ZHANG Chenxi， ZHANG Lijun
（School of Science， Hebei University of Science and Technology， Shijiazhuang， Hebei 050018， China）
Abstract：To study the robust H∞ infinity control for generalized networked control systems with long time delay， it is assumed that the sensors are clock-driver， and controllers and actuators are event-driver in two sampling periods and limited energy of the external disturbance. The augmented state is used to establish uncertain system model of discrete time-varying， and by using Lyapunov function and linear matrix inequalities，the sufficient conditions for dynamic output H∞ infinity feedback control are found out. A simulation example shows the effectiveness of the method.
Keywords：reliability mathematics； long time delay； generalized network control systems； H∞ infinity control； augmented state
收稿日期：2014-11-07；修回日期：2015-01-12；责任编辑：张军
基金项目：河北省自然科学基金（F2014208042）；河北省高等学校科学技术研究自筹基金（Z2014060）
作者简介：杨丽芸（1978—），女，河北昌黎人，讲师，硕士，主要从事复杂系统中的优化控制与信息处理及鲁棒控制等方面的研究。
通讯作者：仇计清教授。E-mail：qiujiqing@163.com
杨丽芸，鲍冬冬，仇计清，等.长时延广义网络化控制系统的鲁棒H∞控制[J].河北科技大学学报，2015，36（4）：394-400.
YANG Liyun， BAO Dongdong， QIU Jiqing， et al.Robust H∞ infinity control for generalized network control systems with long time delay[J].Journal of Hebei University of Science and Technology，2015，36（4）：394-400.网络化控制系统是指控制回路通过网络形成一种闭环的反馈控制系统，相对于传统系统，网络化控制系统具有易于安装和维修、成本低、能耗和布线少、资源可共享、可远程操作及系统可靠性高等优点[1-5]。受到网络因素的影响，系统中传感器和控制器信息是以数据包形式通过网络才能传输到控制器和执行器[6-7]，因为这样会使其与其他网络节点竞争使用网络资源，因此在系统中不可避免地引起时延问题[8-10]。特别是长时延问题给网络控制系统的分析与设计带来了严重的困难和挑战[11-13]。
目前，对于网络化控制系统的研究只集中于短时延的影响，文献[14]和文献[15]考虑短时延网络控制系统，在时延小于1个采样周期的情况下，将系统离散化，再运用Lyapunov泛函，求出鲁棒H∞控制稳定的充分条件，文献[16]考虑到短时延的广义化网络化控制，推导出H∞控制律存在的充分条件，文献[17]运用输出反馈分析一类没有扰动的广义网络化控制系统的稳定性问题，文献[18]考虑一种长时延的保性能网络化控制系统。
本文基于长时延广义网络化控制系统的鲁棒H∞问题进行了研究，利用李雅普诺夫理论和线性矩阵不等式方法，在一定的系统状态、输入向量、期望输出和有限能量的外部扰动下，得出了闭环系统渐进稳定的状态反馈控制器存在的充分条件和设计方法，仿真实例说明了方法的有效性。
1问题描述
考虑如下被控对象状态方程：
河北科技大学学报2015年第4期杨丽芸，等：长时延广义网络化控制系统的鲁棒H∞控制E（t）=Ax（t）+Bu（t）+H0w（t），
z（t）=C1x（t）+H1w（t）， （1） 其中：x（t）∈Rn，u（t）∈Rm，z（t）∈Rp和w（t）分别是系统状态、输入向量、测量输出和有限能量的外部扰动，A，B，C1，H0，H1为适当维数矩阵，E∈Rn×n为奇异矩阵。
为便于分析，做如下假设：
1）被控对象正则、无脉冲；
2）控制器和执行器是事件驱动，传感器是时间驱动且周期为T；
3）数据单包传输，没有数据包丢失。
由于被控对象正则、无脉冲，因此存在可逆矩阵P，Q使得：
PEQ=Ir0
00，PAQ=A10
0In-r，PH0=W1
W2，PB=B1
B2，C1Q=[C11C12]，
即系统受限等价于
1（t）=A1x1（t）+B1u（t）+W1w（t），
0=x2（t）+B2u（t）+W2w（t），
z（t）=C11x1（t）+C12x2（t）+H1w（t）。（2）
根据上述假设，对系统（2）进行离散化得：
x1（k+1）=Adx1（k）+Γ0（εk）u（k-n）+Γ1（εk）u（k-n-1）+R1w（k），
x2（k）=-0（εk）u（k-n）-1（εk）u（k-n-1）-W2w（k），
z（k）=C11x1（k）+C12x2（k）+H1w（k），（3）
其中：
Ad=eA1T，Γ0（εk）=∫T-εk0eA1sdsB1，Γ1（εk）=∫TT-εkeA1sdsB1，R1=∫T0eA1tdtW1，
0（εk）=∫T-εk0eA1sdsB2，1（εk）=∫TT-εkeA1sdsB2。
定义1对于给定的实数r>0，如果系统（3）在控制律
xc（k+1）=Acxc（k）+Bcz（k），
u（k）=Ccxc（k） （4）
的条件下是闭环系统渐近稳定的，并且对于实数r>0以及所有的w（k）∈L2[0，+∞），在零初始条件下，式子‖z（k）‖2
x1（k+1）
xc（k+1）=Ad0
BcC11Acx1
xc+11Cc
L1xc（k-n）+12Cc
1xc（k-n-1）+R1
L2w（t），（5）
其中：
L1=-BcC1221Cc；1=-BcC1222Cc；L2=Bc（H1-C12w2）；
11=Γ0（εk）；12=Γ1（εk）；21=0（εk）；22=1（εk）。
引理1（Schur补引理）给定常数矩阵A，P以及Q，其中P=PT>0，Q=QT>0，则ATPA+Q<0成立，当且仅当-P-1A
ATQ<0或QAT
A-P-1<0。
引理2给定适当维数的矩阵A，B和C，其中A是对称矩阵，则A+BDC+CTDTBT<0对所有满足DTD≤I的矩阵D成立，当且仅当存在一个实数ε>0，使得A+εBBT+ε-1CTC<0。
2主要结论
定理1当外部扰动w（k）=0时，如果存在正定矩阵P，Q，S1满足如下条件：
∏11∏12∏13∏14
*∏22∏23∏24
**∏33∏34
***∏44<0，（6）
则闭环广义网络控制系统（5）渐近稳定。
其中：
∏11=ATdPAd+（BcC11）TQBcC11-P；∏12=（BcC11）TQAc；∏13=ATdP11Cc+（BcC11）TQL1；
∏14=ATdP12Cc+（BcC11）TQ1；∏22=ATcQAc-Q+2S1；∏23=ATcQL1；∏24=ATcQ1；
∏33=（11Cc）TP11Cc；∏34=（11Cc）TP12Cc+LT1Q1；∏44=（12Cc）TP12Cc+LT1QL1-S1。
证明定义如下Lyapunov函数：
V（k）=xT1（k）Px1（k）+xTc（k）Qxc（k）+∑ni=1xTc（k-i）S1xc（k-i）+∑n+1i=1xTc（k-i）S1xc（k-i），
其中P，Q，S1是正定矩阵，V（k）的前向差分为
ΔV（k）=V（k+1）-V（k）=ζT∏11∏12∏13∏14
*∏22∏23∏24
**∏33∏34
***∏44·x1（k）
xc（k）
xc（k-n）
xc（k-n-1），
根据Lyapunov理论，若式（6）成立，则可以推导出闭环广义网络控制系统（5）渐近稳定。
定理2对于给定的衰减度r>0，若w（k）≠0，如果存在正定矩阵P，Q，S1使得对称矩阵不等式（7）成立：
∏11+CT11C11∏12∏13-CT11C1221∏14-CT11C1222∏15
*∏22∏23∏24∏25
**∏33+（C1221）TC1221∏34+（C1221）TC1221∏35
***∏44+（C12B22）TC12B22∏45
****∏55<0，（7）
则闭环广义网络控制系统（5）是渐进稳定，并且‖z‖2≤r‖w‖2，
其中： ∏15=ATdPR1+（BcC11）TQL2+CT11（H2-C12W2）；
∏25=ATcQL2；
∏35=ATdPR1+（BcC11）TQL2-（C1221）T（H1-C12W2）；
∏45=（12Cc）TPR1+L1-TQL2-（C1221）T（H1-C12W2）；
∏55=RT1PR1+LT2QL2+（H1-C12W2）T（H1-C12W2）-r2I。
证明
ΔV（k）+zT（k）z（k）-r2wT（k）w（k）=
ξT（k）∏11+CT11C11∏12∏13-CT11C1221∏14-CT11C1222∏15
*∏22∏23∏24∏25
**∏33+（C1221）TC1221∏34+（C1221）TC1221∏35
***∏44+（C12B22）TC12B22∏45
****∏55ξ（k），
其中：ξ（k）=[x1（k）xc（k）xc（k-n）xx（k-n-1）w（k）]T。
若式（7）成立，则zT（k）z（k）-r2wT（k）w（k）+ΔV（k）<0显然成立，可以根据系统零初始条件，对上式两边求积分即可得‖z‖2≤r‖w‖2[21]。
定理3对于广义网络化控制（3），如果存在正定矩阵X，Y，G及标量ε>0，使得如下线性矩阵不等式成立：
对式（11）左右两边乘以
diag{P-1，Q-1，I，I，I，I，I，I，I，I，I，I}并且令X=P-1，Y=Q-1，N2=YTAc，N3=11Cc，G=Q-1S1Q-1，N1=BcC11XT，即可得到式（8）。
将式（8）的可行解代入式（4）即可得到式（9）。证毕。
3仿真实例
考虑如下被控对象状态方程：
10
00（t）=-20
01x（t）+1
0.5u（t）+0.3
0.2w（t），
z（t）=[0.40.5]x（t）+0.3w（t），（12）
假设采样周期是0.1 s，则式（12）离散化可得：
x1（k+1）=0.818 7x1（k）+0.041 6u（k-n）+0.003 05u（k-n-1）+0.090 65w（k），
x2（k）=-0.020 8u（k-n）-0.001 525u（k-n-1）-0.2w（k），
z（k）=0.4x1（k）+0.5x2（k）+0.3w（k）。
根据定理3，利用Matlab的LMI工具箱可得一组可行解X=1.181 4，Y=-1.790 5，N1=1.113，N2=-1.235 4，N3=1.654 3。
因此得到动态输出反馈H∞控制律为
xc（k+1）=0.69xc（k）+2.355 3z（k），
u（k）=-79.53xc（k）。
4结语
本文研究了一类具有长时延的广义网络化控制系统，假设传感器是时钟驱动，控制器、执行器是事件驱动，在2个采样周期之间和有限能量的外部扰动的情况下，利用Lyapunov理论和LMI方法给出了输出反馈控制律存在的充分条件。仿真说明了其有效性。
参考文献/References：
[1] DONG H， WANG Z， HO D W C，et al. Networked control design for linear systems[J]. Automatic， 2003， 39： 743-750.
[2]YU Baoqi， WANG Junyi， WANG Yanfeng. Guaranteed cost control for networked control systems with long time-delay and data packet dropout[J].Control Engineering of China， 2013， 20（6）： 59-64.
[3]LIU H L，WANG X，LWMMON M. Self-triggered feedback control systems with finite-gain stability[J]. IEEE Transactions on Automatic Control， 2009， 45（3）： 452-467.
[4]HU Shousong， ZHU Qixin. Stochastic optimal control and analysis of stability of networked control systems with long delay[J]. Automatic， 2003， 39：1877-1884.
[5]XU S， LAM J.Robust Control and Filtering of Singular Systems[M].Berlin： Springer-Verlag， 2006.
[6]CHEN W， CHEN B. Robust stabilization design for nonlinear stochastic system with Poisson noise via fuzzy interpolation method[J]. Fuzzy Sets and Systems， 2013， 217（16）：41-61.
[7]QIU J Q， ZHANG J H， SHI P. Robust stability of uncertain linear systems with time varying delay and nonlinear perturbations proceedings of the institution of mechanical engineers， Part 1[J]. Journal of Systems and Control Engineering， 2006，220（5）：411-416. [8]ZHANG B， LAM J， XU S， et al. Robust stabilization of uncertain T-S fuzzy time-delay systems with exponential estimates[J]. Fuzzy Sets and Systems， 2009，160（12）：1720-1737.
[9]CHEN W， GUAN A， LU X. Delay-dependent output feedback guaranteed cost control for uncertain time-delay systems[J]. Automatica， 2004， 40（7）： 1263-1268.
[10]DONG K S. Maximum allowable delay bounds of networked control systems[J]. Control Engineering Practice， 2003，11：1301-1313.
[11]HIDEAKI I. Control with limited communication and message bsses[J]. Systems and Control Letters， 2008，5（7）：322-331.
[12]孙业国.时延丢包网络控制系统的分析与控制[J].计算机工程与应用，2012，48（21）：89-93.
SUN Yeguo.Analysis and control of networked control systems with both time delay and packet dropout [J]. Computer Engineering and Applications，2012，48（21）：89-93.
[13]孙晓岭，杨丽芸，鲍冬冬，等.时滞网络化控制系统的鲁棒H∞稳定性分析[J].河北科技大学学报，2013，34（4）：297-301.
SUN Xiaoling，YANG Liyun，BAO Dongdong，et al.Analysis of robust H∞ stability for time delay network control system[J].Journal of Hebei University of Science and Technology，2013，34（4）：297-301.
[14]胥吉林，屈百达，徐保国.短时延网络控制系统的建模与鲁棒控制[J].计算机工程与设计， 2013，34（1）：110-114.
XU Jilin，QU Baida，XU Baoguo.Modeling and robust for networked control systems with short time-delay[J].Computer Engineering and Design，2013，34（1）：110-114.
[15]王燕锋，井元伟，张嗣瀛，等. 一类短时延的广义网络控制系统的鲁棒控制[J].东北大学学报（自然科学报），2011，32（5）：609-613.
WANG Yanfeng， JING Yuanwei，ZHANG Siying，et al.Robust control for a kind of singular networked control system with short time-delay[J]. Journal of Northeastern University（Natural Science Edition ）， 2011，32（5）： 609-613.
[16]CHEN C H，LIN C L.Stability of networked control systems with time-varying delays [J].Communications Letters IEEE，2007，11（3）：270-272.
[17]王晓斌.长时延和丢包的网络化控制系统保性能控制[J].长春师范学院学报，2013，4（8）：7-10.
WANG Xiaobin.Long time delay and packet loss network control system guaranteed cost control[J].Journal of Changchun Normal University，2013，4（8）：7-10.
[18]邱占芝， 张庆灵， 刘明. 不确定时延输出反馈网络化系统保性能控制[J].控制理论与应用， 2007， 24（2）： 274-278.
QIU Zhanzhi， ZHANG Qingling，LIU Ming. Guaranteed performance control for output feedback networked control systems with uncertain time-delay [J]. Control Theory & Applications， 2007， 24（2）： 274-278.
[19]DU Zhaoping， ZHANG Qinglin. Delay-dependent robustcontrol for uncertain singular systems with multiple state delays [J]. IET Control Theory Application， 2009， 3（6）： 731-740.
[20]NILSSON J， BERNHARDSSON B， WITTENMARK B. Stochastic analysis and control of real time systems with random time delays[J]. Automatica，1998， 34：57-64.
[21]HU S， ZHU Q. Stochastic optimal control and analysis of stability of networked control systems with long delay[J]. Automatica， 2003， 39：1877-1884.第36卷第4期河北科技大学学报Vol.36，No.4