摘要周期解问题是常微分方程中的一个重要问题, 也是人们长期关注的一个焦点问题。 该文研究二阶常系数线性微分方程的周期解问题,采用常微分方程中常数变易法具体地讨论了它的存在条件及周期解的表达式。
　　关键词常系数线性微分方程周期解特征方程常数变易法
　　中图分类号:O175文献标识码:A
　　
　　1 引言
　　
　　常微分方程这门学科讨论的基本问题是: 研究方程的求解问题和各种属性。周期解问题是它要研究的一个重要问题。 事实上, 像二阶、三阶等高阶或更复杂的常微分方程周期解的存在性已是微分方程中人们非常关注的问题,多种线性或非线性分析的工具与方法被应用在该问题中, 如Krasnoselskii锥映射不动点定理、二阶线性微分方程的限制共振条件、Schauder不动点定理、变换定理等。
　　本文系统地討论一阶线性常微分方程的周期解存在的条件及周期解表达式。
　　
　　2 主要结果及证明
　　
　　考虑二阶常系数线性微分方程 (1)
　　的周期解, 其中,为常数,且,为上以为周期的连续函数。
　　定理设是以为周期的连续函数,则当时, 方程(1)有唯一-周期解。
　　证对应的齐次方程 (2) 的特征方程为。
　　(1) 当时, 特征方程的两个特征根分别为,
　　则方程(2)的通解为 (3) 、为任意常数。
　　运用常数变易法, 设(1)的通解为(4)
　　由方程组
　　可解出,
　　此二式中、不同于(3)中、。把,代入(4), 得(1)的通解为
　　(5)
　　则
　　设,
　　由于是以为周期的连续函数, 可算得
　　由,是的根, 知满足
　　, 即也是方程(1)的解。
　　令:, 要使方程(1)的解(5)是周期解, 即满足, 亦要满足,而
　　要使对任意,,由于此时的与线性无关, 则有
　　也就是, 当且仅当 (6)
　　 (7)
　　代入解(5)时可得到(1)的唯一周期解。
　　(2) 当时,特征方程有两个相等特征根为。
　　则方程(2)的通解为(8)
　　、为任意常数。 进而用常数变易法, 设(1)的通解为(9)
　　由方程组
　　可解得,
　　此时、不同于(8)中、。将、代入(9), 得
　　 (10)
　　则
　　由是以为周期的连续函数, 可得
　　即也是方程(1)的解。
　　令,要使方程(1)的解(10)是周期解, 即满足, 亦要满足, 而
　　要使对任意,满足,由于此时的与线性无关, 则有
　　也就是, 当且仅当 (11)
　　(12) 代入解(10)时可得(1)的唯一周期解。
　　注:(a)时,,,其中,。
　　方程(2)的通解为
　　再用常数变易法求(1)的解, 得
　　此时方程是否存在周期解要视具体而定。一般也可根据的具体形式, 用待定系数法讨论周期解问题。
　　(b)对于(1)式中的情况, 当时,,有且仅有一个为零, 从证明过程中显然可得到方程(1)的周期解不唯一。当时,, (1)的周期解也不唯一。