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摘要：数学教学中，有两类常见的学生错误现象，即“错过，一段时间后还会出错”“同一个题中前一问考虑，而后一问却不考虑”。它们产生的原因有：没有形成完善的知识结构，没有形成灵活的迁移能力，没有形成良好的思维习惯。相应的教学对策是：加强知识的整体性教学，完善学生认知结构;加强应用的变式性教学，提升学生迁移能力;改变教学方式，让学生自主探究和建构。
关键词：数学教学;学生错误;知识结构;迁移能力;自主建构
一、两类常见的学生错误现象
（一）错过，一段时间后还会出错
教学中多次遇到这种现象：对于某道题，学生错过，教师讲解过，学生订正后，过一段时间，再次遇到原题还会出错。而且，有的题目反复讲解，反复订正，却反复出错。例如，在高一教学中讲解过下面一道函数题：
题1已知a>0且a≠1，若函数f（x）=loga（ax2-2x+1）在13，3上是增函数，则实数a的取值范围为（）
A. 0，13
B. [3，∞）
C. 0，13∪（1，3]
D. 0，13∪[3，+∞）
第一次让学生独立解答此题，全班46人只有6人给出正确答案，同年级其他班级的错误率也很高。学生的错误主要出在解答过程中只考虑函数单调性，而忘记考虑对数函数的定义域。而解决函数问题时忽视定义域是教师反复讲，学生反复错的典型错因。
教师说明错误原因后，学生改进解法：当a>1时，t=ax2-2x+1在13，3上是增函数，即--22a≤13，同时还需满足tmin>0，即a132-2×13+1>0;当0<a<1时，t=ax2-2x+1在13，3上是减函数，即--22a≥3，同时还需满足tmin>0，即a·32-2×3+1>0。综上，a≥3，所以，正确答案是B。教师再次强调解决函数问题时要注意函数的定义域，定义域优先考虑，特别是涉及对数函数;同时强调对此类问题主要是用最值法解决问题。
一段时间后，设计多题测试让学生重做此题，参加测试的8人只有2人做对。学生的错误还是出在忘记考虑定义域。此外，进一步还发现，学生做对竟然是因为：考虑定义域后，通过Δ=（-2）2-4a<0得到a>1，发现只能选B。也就是说，他们用错误的解答过程得到了正确的解答结果（因为此题是选择题）。这反映出新的问题：学生在解决二次函数在给定闭区间上恒大于0的问题时，只从判别式小于0的角度考虑，而不区分是在闭区间上判断，还是在全体实数集上判断。这对部分学生来说也是一个屡讲屡错的典型问题。
（二）同一个题中前一问考虑，而后一问却不考虑
后续复习阶段，再遇定义域问题。出现这种现象：在同一道题中，对第一问学生考虑函数的定义域，而对第二问却不考虑函数定义域。例如，这样的一道题：
题2已知函数f（x）=loga（2+x）-loga（2-x）（a>0且a≠1）。
（1）判断函数f（x）的奇偶性;
（2）解关于x的不等式f（x）≥loga3x。
对于此题，在解答第一问时，学生都能首先考虑定义域，即求得x∈（-2，2），再用函数奇偶性的定义证明;但在解答第二问时，很多学生却不考虑loga3x中x>0。
这种现象还出现在基本不等式的应用中。例如，已知x>0，y>0，2x+8y-xy=0，求x+y的最小值时，学生都能考虑验证基本等号成立的条件;但是，已知a，b为正实数，判断“函数y=a+1a+1的最小值为1”的正确性时，很多学生却不考虑等号成立的条件。
二、两类错误现象产生的原因
（一）没有形成完善的知识结构
无论是不考虑函数的定义域，还是不验证基本不等式的使用条件，都说明学生在学习过程中没有形成完善的知识结构，对知识的理解和认识是不全面的、缺乏整体性的。例如，对函数，过多关注解析式，而没有从定义域、对应法则的整体角度理解和认识;对基本不等式，只关注ab≤a+b2这个式子，没有从“ab≤a+b2，a>0，b>0，a+b2与ab有一个是定值，等号要能成立”的整体角度理解和认识。
（二）没有形成灵活的迁移能力
学生判断解析式相同的两个函数是不是同一个函数时、判断函数的奇偶性时，都会考虑其定义域;在使用基本不等式的解答题中，往往能考虑验证等号成立的条件。这些都是因为学生接受过解决这类问题的训练，形成了程序化思维。但是，遇到不同的題型，学生又不考虑了。这说明，学生对知识的理解与认识与学习时特定的情境紧密相关，不能很好地迁移运用到新的情境中，没有形成灵活的迁移能力。
（三）没有形成良好的思维习惯
学生没有形成严谨的思维习惯，思维无条理、不周全、想当然，因而会产生各种错误。而出现错误后，又简单归结为粗心、遗忘，不反思自己的思维缺陷。所以只做题，没提升思维品质，下次遇到还是出错。
三、两类错误现象的教学对策
（一）加强知识的整体性教学，完善学生认知结构
教学中，教师要加强知识的整体性（联系性）教学，让学生整体地理解和认识知识，而不是只关注其中一部分，从而完善学生的认知结构。例如，等比数列求和公式Sn=na1，q=1，
a1（1-qn）1-q，q≠1虽然分两种情况，但是是一个整体，对一个等比数列，q等于1、不等于1两种情况都可能存在。再如，平面上过某点的直线从斜率角度应该分为两类：一类是斜率存在的直线，可以用点斜式方程表示;一类是斜率不存在的直线，不能用点斜式方程表示。又如，对sin α=22，α有两类值，一类是α=π4+2kπ，一类是α=3π4+2kπ。 （二）加强应用的变式性教学，提升学生迁移能力
学生对知识的掌握不是一次到位的，有一个螺旋上升的过程，易错问题需要多次矫正。教师对此要有清醒的认识，对重要知识、易错问题，要有计划、分阶段地教学。首先要重视知识的形成过程，对核心要素要舍得花时间，让学生留下深刻的“第一印象”——实践证明，后期的反复补偿教学效果不佳。其次要注意变换情境呈现，不斷地深化对知识的理解和认识，提升迁移能力。如函数的定义域，除了在函数概念教学时重视，也要借助求函数定义域问题，判断两个函数是不是同一函数问题来强化，还要在新函数的学习中加强，更要在隐含的情境中强化。例如，在对数函数学习中，除上述问题外，还可以通过解决下列题加强：
1.已知3a=5b=A，且b+a=2ab，则A的值是。
2.已知函数f（x）=1+logax（a>0且a≠1）的图像过点A，点A在直线y=mx+n（mn>0）上。
（1）求1m+1n的最小值;
（2）当a=2时，f（x）的定义域是[1，16]，g（x）=f（x2）+[f（x）]2，求g（x）的最小值。
对于第1题，学生在由3a=5b=A，得a=log3A、b=log5A时，非常容易忽视A=0的情况。对于第2题，由于有式子f（x2），所以要求1≤x2≤16。在新的情境中能自觉考虑、迁移运用，才算真正掌握知识，知识才能变为素养（能力）。教学中，教师要变换新的情境让重要的知识多次出现，以增强学生的理解和认识，提升学生的迁移能力。
（三）改变教学方式，让学生自主探究和建构
学生出现错误不能仅靠教师强调，让学生注意来解决问题——实践证明，单独强调解决不了问题;还是要改变教学方式，由解释式、告知式、强调式教学转变为学生参与式、体验式、建构式学习。例如，对于题1中的错误，要放手让学生对“错在何处？是什么原因导致错误？是知识缺陷，还是思维不严谨？如何改正？怎么预防这类错误发生？”等问题进行充分讨论、深度反思，形成自己的思考。
对于重要知识，教师要重视教学设计，包括课时设计、单元设计、长期设计，在精细化的教学过程中，让学生自主探究，获得切身的体验，建构自己的理解和认识，从而应用自如，随取随用，不出错，少出错。例如，由于初中函数学习中几乎不涉及定义域问题，所以学生解题习惯是不考虑定义域的。所以，高中函数教学首先要改变学生的思维定式，在函数概念抽象过程中就要让学生体会到定义域的重要性，理解定义域不同即使解析式相同的函数也是不同的函数;在函数单调性、奇偶性等性质学习中让学生发现，离开定义域，这些性质都是没有办法研究的;后续还要在新的情境中多次出现，让学生建构完善的认知结构，对函数的定义域形成自己的理解和认识。
关键词：数学教学;学生错误;知识结构;迁移能力;自主建构
一、两类常见的学生错误现象
（一）错过，一段时间后还会出错
教学中多次遇到这种现象：对于某道题，学生错过，教师讲解过，学生订正后，过一段时间，再次遇到原题还会出错。而且，有的题目反复讲解，反复订正，却反复出错。例如，在高一教学中讲解过下面一道函数题：
题1已知a>0且a≠1，若函数f（x）=loga（ax2-2x+1）在13，3上是增函数，则实数a的取值范围为（）
A. 0，13
B. [3，∞）
C. 0，13∪（1，3]
D. 0，13∪[3，+∞）
第一次让学生独立解答此题，全班46人只有6人给出正确答案，同年级其他班级的错误率也很高。学生的错误主要出在解答过程中只考虑函数单调性，而忘记考虑对数函数的定义域。而解决函数问题时忽视定义域是教师反复讲，学生反复错的典型错因。
教师说明错误原因后，学生改进解法：当a>1时，t=ax2-2x+1在13，3上是增函数，即--22a≤13，同时还需满足tmin>0，即a132-2×13+1>0;当0<a<1时，t=ax2-2x+1在13，3上是减函数，即--22a≥3，同时还需满足tmin>0，即a·32-2×3+1>0。综上，a≥3，所以，正确答案是B。教师再次强调解决函数问题时要注意函数的定义域，定义域优先考虑，特别是涉及对数函数;同时强调对此类问题主要是用最值法解决问题。
一段时间后，设计多题测试让学生重做此题，参加测试的8人只有2人做对。学生的错误还是出在忘记考虑定义域。此外，进一步还发现，学生做对竟然是因为：考虑定义域后，通过Δ=（-2）2-4a<0得到a>1，发现只能选B。也就是说，他们用错误的解答过程得到了正确的解答结果（因为此题是选择题）。这反映出新的问题：学生在解决二次函数在给定闭区间上恒大于0的问题时，只从判别式小于0的角度考虑，而不区分是在闭区间上判断，还是在全体实数集上判断。这对部分学生来说也是一个屡讲屡错的典型问题。
（二）同一个题中前一问考虑，而后一问却不考虑
后续复习阶段，再遇定义域问题。出现这种现象：在同一道题中，对第一问学生考虑函数的定义域，而对第二问却不考虑函数定义域。例如，这样的一道题：
题2已知函数f（x）=loga（2+x）-loga（2-x）（a>0且a≠1）。
（1）判断函数f（x）的奇偶性;
（2）解关于x的不等式f（x）≥loga3x。
对于此题，在解答第一问时，学生都能首先考虑定义域，即求得x∈（-2，2），再用函数奇偶性的定义证明;但在解答第二问时，很多学生却不考虑loga3x中x>0。
这种现象还出现在基本不等式的应用中。例如，已知x>0，y>0，2x+8y-xy=0，求x+y的最小值时，学生都能考虑验证基本等号成立的条件;但是，已知a，b为正实数，判断“函数y=a+1a+1的最小值为1”的正确性时，很多学生却不考虑等号成立的条件。
二、两类错误现象产生的原因
（一）没有形成完善的知识结构
无论是不考虑函数的定义域，还是不验证基本不等式的使用条件，都说明学生在学习过程中没有形成完善的知识结构，对知识的理解和认识是不全面的、缺乏整体性的。例如，对函数，过多关注解析式，而没有从定义域、对应法则的整体角度理解和认识;对基本不等式，只关注ab≤a+b2这个式子，没有从“ab≤a+b2，a>0，b>0，a+b2与ab有一个是定值，等号要能成立”的整体角度理解和认识。
（二）没有形成灵活的迁移能力
学生判断解析式相同的两个函数是不是同一个函数时、判断函数的奇偶性时，都会考虑其定义域;在使用基本不等式的解答题中，往往能考虑验证等号成立的条件。这些都是因为学生接受过解决这类问题的训练，形成了程序化思维。但是，遇到不同的題型，学生又不考虑了。这说明，学生对知识的理解与认识与学习时特定的情境紧密相关，不能很好地迁移运用到新的情境中，没有形成灵活的迁移能力。
（三）没有形成良好的思维习惯
学生没有形成严谨的思维习惯，思维无条理、不周全、想当然，因而会产生各种错误。而出现错误后，又简单归结为粗心、遗忘，不反思自己的思维缺陷。所以只做题，没提升思维品质，下次遇到还是出错。
三、两类错误现象的教学对策
（一）加强知识的整体性教学，完善学生认知结构
教学中，教师要加强知识的整体性（联系性）教学，让学生整体地理解和认识知识，而不是只关注其中一部分，从而完善学生的认知结构。例如，等比数列求和公式Sn=na1，q=1，
a1（1-qn）1-q，q≠1虽然分两种情况，但是是一个整体，对一个等比数列，q等于1、不等于1两种情况都可能存在。再如，平面上过某点的直线从斜率角度应该分为两类：一类是斜率存在的直线，可以用点斜式方程表示;一类是斜率不存在的直线，不能用点斜式方程表示。又如，对sin α=22，α有两类值，一类是α=π4+2kπ，一类是α=3π4+2kπ。 （二）加强应用的变式性教学，提升学生迁移能力
学生对知识的掌握不是一次到位的，有一个螺旋上升的过程，易错问题需要多次矫正。教师对此要有清醒的认识，对重要知识、易错问题，要有计划、分阶段地教学。首先要重视知识的形成过程，对核心要素要舍得花时间，让学生留下深刻的“第一印象”——实践证明，后期的反复补偿教学效果不佳。其次要注意变换情境呈现，不斷地深化对知识的理解和认识，提升迁移能力。如函数的定义域，除了在函数概念教学时重视，也要借助求函数定义域问题，判断两个函数是不是同一函数问题来强化，还要在新函数的学习中加强，更要在隐含的情境中强化。例如，在对数函数学习中，除上述问题外，还可以通过解决下列题加强：
1.已知3a=5b=A，且b+a=2ab，则A的值是。
2.已知函数f（x）=1+logax（a>0且a≠1）的图像过点A，点A在直线y=mx+n（mn>0）上。
（1）求1m+1n的最小值;
（2）当a=2时，f（x）的定义域是[1，16]，g（x）=f（x2）+[f（x）]2，求g（x）的最小值。
对于第1题，学生在由3a=5b=A，得a=log3A、b=log5A时，非常容易忽视A=0的情况。对于第2题，由于有式子f（x2），所以要求1≤x2≤16。在新的情境中能自觉考虑、迁移运用，才算真正掌握知识，知识才能变为素养（能力）。教学中，教师要变换新的情境让重要的知识多次出现，以增强学生的理解和认识，提升学生的迁移能力。
（三）改变教学方式，让学生自主探究和建构
学生出现错误不能仅靠教师强调，让学生注意来解决问题——实践证明，单独强调解决不了问题;还是要改变教学方式，由解释式、告知式、强调式教学转变为学生参与式、体验式、建构式学习。例如，对于题1中的错误，要放手让学生对“错在何处？是什么原因导致错误？是知识缺陷，还是思维不严谨？如何改正？怎么预防这类错误发生？”等问题进行充分讨论、深度反思，形成自己的思考。
对于重要知识，教师要重视教学设计，包括课时设计、单元设计、长期设计，在精细化的教学过程中，让学生自主探究，获得切身的体验，建构自己的理解和认识，从而应用自如，随取随用，不出错，少出错。例如，由于初中函数学习中几乎不涉及定义域问题，所以学生解题习惯是不考虑定义域的。所以，高中函数教学首先要改变学生的思维定式，在函数概念抽象过程中就要让学生体会到定义域的重要性，理解定义域不同即使解析式相同的函数也是不同的函数;在函数单调性、奇偶性等性质学习中让学生发现，离开定义域，这些性质都是没有办法研究的;后续还要在新的情境中多次出现，让学生建构完善的认知结构，对函数的定义域形成自己的理解和认识。