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摘要:数学教学中,有两类常见的学生错误现象,即“错过,一段时间后还会出错”“同一个题中前一问考虑,而后一问却不考虑”。它们产生的原因有:没有形成完善的知识结构,没有形成灵活的迁移能力,没有形成良好的思维习惯。相应的教学对策是:加强知识的整体性教学,完善学生认知结构;加强应用的变式性教学,提升学生迁移能力;改变教学方式,让学生自主探究和建构。
关键词:数学教学;学生错误;知识结构;迁移能力;自主建构
一、两类常见的学生错误现象
(一)错过,一段时间后还会出错
教学中多次遇到这种现象:对于某道题,学生错过,教师讲解过,学生订正后,过一段时间,再次遇到原题还会出错。而且,有的题目反复讲解,反复订正,却反复出错。例如,在高一教学中讲解过下面一道函数题:
题1已知a>0且a≠1,若函数f(x)=loga(ax2-2x+1)在13,3上是增函数,则实数a的取值范围为()
A. 0,13
B. [3,∞)
C. 0,13∪(1,3]
D. 0,13∪[3,+∞)
第一次让学生独立解答此题,全班46人只有6人给出正确答案,同年级其他班级的错误率也很高。学生的错误主要出在解答过程中只考虑函数单调性,而忘记考虑对数函数的定义域。而解决函数问题时忽视定义域是教师反复讲,学生反复错的典型错因。
教师说明错误原因后,学生改进解法:当a>1时,t=ax2-2x+1在13,3上是增函数,即--22a≤13,同时还需满足tmin>0,即a132-2×13+1>0;当0<a<1时,t=ax2-2x+1在13,3上是减函数,即--22a≥3,同时还需满足tmin>0,即a·32-2×3+1>0。综上,a≥3,所以,正确答案是B。教师再次强调解决函数问题时要注意函数的定义域,定义域优先考虑,特别是涉及对数函数;同时强调对此类问题主要是用最值法解决问题。
一段时间后,设计多题测试让学生重做此题,参加测试的8人只有2人做对。学生的错误还是出在忘记考虑定义域。此外,进一步还发现,学生做对竟然是因为:考虑定义域后,通过Δ=(-2)2-4a<0得到a>1,发现只能选B。也就是说,他们用错误的解答过程得到了正确的解答结果(因为此题是选择题)。这反映出新的问题:学生在解决二次函数在给定闭区间上恒大于0的问题时,只从判别式小于0的角度考虑,而不区分是在闭区间上判断,还是在全体实数集上判断。这对部分学生来说也是一个屡讲屡错的典型问题。
(二)同一个题中前一问考虑,而后一问却不考虑
后续复习阶段,再遇定义域问题。出现这种现象:在同一道题中,对第一问学生考虑函数的定义域,而对第二问却不考虑函数定义域。例如,这样的一道题:
题2已知函数f(x)=loga(2+x)-loga(2-x)(a>0且a≠1)。
(1)判断函数f(x)的奇偶性;
(2)解关于x的不等式f(x)≥loga3x。
对于此题,在解答第一问时,学生都能首先考虑定义域,即求得x∈(-2,2),再用函数奇偶性的定义证明;但在解答第二问时,很多学生却不考虑loga3x中x>0。
这种现象还出现在基本不等式的应用中。例如,已知x>0,y>0,2x+8y-xy=0,求x+y的最小值时,学生都能考虑验证基本等号成立的条件;但是,已知a,b为正实数,判断“函数y=a+1a+1的最小值为1”的正确性时,很多学生却不考虑等号成立的条件。
二、两类错误现象产生的原因
(一)没有形成完善的知识结构
无论是不考虑函数的定义域,还是不验证基本不等式的使用条件,都说明学生在学习过程中没有形成完善的知识结构,对知识的理解和认识是不全面的、缺乏整体性的。例如,对函数,过多关注解析式,而没有从定义域、对应法则的整体角度理解和认识;对基本不等式,只关注ab≤a+b2这个式子,没有从“ab≤a+b2,a>0,b>0,a+b2与ab有一个是定值,等号要能成立”的整体角度理解和认识。
(二)没有形成灵活的迁移能力
学生判断解析式相同的两个函数是不是同一个函数时、判断函数的奇偶性时,都会考虑其定义域;在使用基本不等式的解答题中,往往能考虑验证等号成立的条件。这些都是因为学生接受过解决这类问题的训练,形成了程序化思维。但是,遇到不同的題型,学生又不考虑了。这说明,学生对知识的理解与认识与学习时特定的情境紧密相关,不能很好地迁移运用到新的情境中,没有形成灵活的迁移能力。
(三)没有形成良好的思维习惯
学生没有形成严谨的思维习惯,思维无条理、不周全、想当然,因而会产生各种错误。而出现错误后,又简单归结为粗心、遗忘,不反思自己的思维缺陷。所以只做题,没提升思维品质,下次遇到还是出错。
三、两类错误现象的教学对策
(一)加强知识的整体性教学,完善学生认知结构
教学中,教师要加强知识的整体性(联系性)教学,让学生整体地理解和认识知识,而不是只关注其中一部分,从而完善学生的认知结构。例如,等比数列求和公式Sn=na1,q=1,
a1(1-qn)1-q,q≠1虽然分两种情况,但是是一个整体,对一个等比数列,q等于1、不等于1两种情况都可能存在。再如,平面上过某点的直线从斜率角度应该分为两类:一类是斜率存在的直线,可以用点斜式方程表示;一类是斜率不存在的直线,不能用点斜式方程表示。又如,对sin α=22,α有两类值,一类是α=π4+2kπ,一类是α=3π4+2kπ。 (二)加强应用的变式性教学,提升学生迁移能力
学生对知识的掌握不是一次到位的,有一个螺旋上升的过程,易错问题需要多次矫正。教师对此要有清醒的认识,对重要知识、易错问题,要有计划、分阶段地教学。首先要重视知识的形成过程,对核心要素要舍得花时间,让学生留下深刻的“第一印象”——实践证明,后期的反复补偿教学效果不佳。其次要注意变换情境呈现,不斷地深化对知识的理解和认识,提升迁移能力。如函数的定义域,除了在函数概念教学时重视,也要借助求函数定义域问题,判断两个函数是不是同一函数问题来强化,还要在新函数的学习中加强,更要在隐含的情境中强化。例如,在对数函数学习中,除上述问题外,还可以通过解决下列题加强:
1.已知3a=5b=A,且b+a=2ab,则A的值是。
2.已知函数f(x)=1+logax(a>0且a≠1)的图像过点A,点A在直线y=mx+n(mn>0)上。
(1)求1m+1n的最小值;
(2)当a=2时,f(x)的定义域是[1,16],g(x)=f(x2)+[f(x)]2,求g(x)的最小值。
对于第1题,学生在由3a=5b=A,得a=log3A、b=log5A时,非常容易忽视A=0的情况。对于第2题,由于有式子f(x2),所以要求1≤x2≤16。在新的情境中能自觉考虑、迁移运用,才算真正掌握知识,知识才能变为素养(能力)。教学中,教师要变换新的情境让重要的知识多次出现,以增强学生的理解和认识,提升学生的迁移能力。
(三)改变教学方式,让学生自主探究和建构
学生出现错误不能仅靠教师强调,让学生注意来解决问题——实践证明,单独强调解决不了问题;还是要改变教学方式,由解释式、告知式、强调式教学转变为学生参与式、体验式、建构式学习。例如,对于题1中的错误,要放手让学生对“错在何处?是什么原因导致错误?是知识缺陷,还是思维不严谨?如何改正?怎么预防这类错误发生?”等问题进行充分讨论、深度反思,形成自己的思考。
对于重要知识,教师要重视教学设计,包括课时设计、单元设计、长期设计,在精细化的教学过程中,让学生自主探究,获得切身的体验,建构自己的理解和认识,从而应用自如,随取随用,不出错,少出错。例如,由于初中函数学习中几乎不涉及定义域问题,所以学生解题习惯是不考虑定义域的。所以,高中函数教学首先要改变学生的思维定式,在函数概念抽象过程中就要让学生体会到定义域的重要性,理解定义域不同即使解析式相同的函数也是不同的函数;在函数单调性、奇偶性等性质学习中让学生发现,离开定义域,这些性质都是没有办法研究的;后续还要在新的情境中多次出现,让学生建构完善的认知结构,对函数的定义域形成自己的理解和认识。
关键词:数学教学;学生错误;知识结构;迁移能力;自主建构
一、两类常见的学生错误现象
(一)错过,一段时间后还会出错
教学中多次遇到这种现象:对于某道题,学生错过,教师讲解过,学生订正后,过一段时间,再次遇到原题还会出错。而且,有的题目反复讲解,反复订正,却反复出错。例如,在高一教学中讲解过下面一道函数题:
题1已知a>0且a≠1,若函数f(x)=loga(ax2-2x+1)在13,3上是增函数,则实数a的取值范围为()
A. 0,13
B. [3,∞)
C. 0,13∪(1,3]
D. 0,13∪[3,+∞)
第一次让学生独立解答此题,全班46人只有6人给出正确答案,同年级其他班级的错误率也很高。学生的错误主要出在解答过程中只考虑函数单调性,而忘记考虑对数函数的定义域。而解决函数问题时忽视定义域是教师反复讲,学生反复错的典型错因。
教师说明错误原因后,学生改进解法:当a>1时,t=ax2-2x+1在13,3上是增函数,即--22a≤13,同时还需满足tmin>0,即a132-2×13+1>0;当0<a<1时,t=ax2-2x+1在13,3上是减函数,即--22a≥3,同时还需满足tmin>0,即a·32-2×3+1>0。综上,a≥3,所以,正确答案是B。教师再次强调解决函数问题时要注意函数的定义域,定义域优先考虑,特别是涉及对数函数;同时强调对此类问题主要是用最值法解决问题。
一段时间后,设计多题测试让学生重做此题,参加测试的8人只有2人做对。学生的错误还是出在忘记考虑定义域。此外,进一步还发现,学生做对竟然是因为:考虑定义域后,通过Δ=(-2)2-4a<0得到a>1,发现只能选B。也就是说,他们用错误的解答过程得到了正确的解答结果(因为此题是选择题)。这反映出新的问题:学生在解决二次函数在给定闭区间上恒大于0的问题时,只从判别式小于0的角度考虑,而不区分是在闭区间上判断,还是在全体实数集上判断。这对部分学生来说也是一个屡讲屡错的典型问题。
(二)同一个题中前一问考虑,而后一问却不考虑
后续复习阶段,再遇定义域问题。出现这种现象:在同一道题中,对第一问学生考虑函数的定义域,而对第二问却不考虑函数定义域。例如,这样的一道题:
题2已知函数f(x)=loga(2+x)-loga(2-x)(a>0且a≠1)。
(1)判断函数f(x)的奇偶性;
(2)解关于x的不等式f(x)≥loga3x。
对于此题,在解答第一问时,学生都能首先考虑定义域,即求得x∈(-2,2),再用函数奇偶性的定义证明;但在解答第二问时,很多学生却不考虑loga3x中x>0。
这种现象还出现在基本不等式的应用中。例如,已知x>0,y>0,2x+8y-xy=0,求x+y的最小值时,学生都能考虑验证基本等号成立的条件;但是,已知a,b为正实数,判断“函数y=a+1a+1的最小值为1”的正确性时,很多学生却不考虑等号成立的条件。
二、两类错误现象产生的原因
(一)没有形成完善的知识结构
无论是不考虑函数的定义域,还是不验证基本不等式的使用条件,都说明学生在学习过程中没有形成完善的知识结构,对知识的理解和认识是不全面的、缺乏整体性的。例如,对函数,过多关注解析式,而没有从定义域、对应法则的整体角度理解和认识;对基本不等式,只关注ab≤a+b2这个式子,没有从“ab≤a+b2,a>0,b>0,a+b2与ab有一个是定值,等号要能成立”的整体角度理解和认识。
(二)没有形成灵活的迁移能力
学生判断解析式相同的两个函数是不是同一个函数时、判断函数的奇偶性时,都会考虑其定义域;在使用基本不等式的解答题中,往往能考虑验证等号成立的条件。这些都是因为学生接受过解决这类问题的训练,形成了程序化思维。但是,遇到不同的題型,学生又不考虑了。这说明,学生对知识的理解与认识与学习时特定的情境紧密相关,不能很好地迁移运用到新的情境中,没有形成灵活的迁移能力。
(三)没有形成良好的思维习惯
学生没有形成严谨的思维习惯,思维无条理、不周全、想当然,因而会产生各种错误。而出现错误后,又简单归结为粗心、遗忘,不反思自己的思维缺陷。所以只做题,没提升思维品质,下次遇到还是出错。
三、两类错误现象的教学对策
(一)加强知识的整体性教学,完善学生认知结构
教学中,教师要加强知识的整体性(联系性)教学,让学生整体地理解和认识知识,而不是只关注其中一部分,从而完善学生的认知结构。例如,等比数列求和公式Sn=na1,q=1,
a1(1-qn)1-q,q≠1虽然分两种情况,但是是一个整体,对一个等比数列,q等于1、不等于1两种情况都可能存在。再如,平面上过某点的直线从斜率角度应该分为两类:一类是斜率存在的直线,可以用点斜式方程表示;一类是斜率不存在的直线,不能用点斜式方程表示。又如,对sin α=22,α有两类值,一类是α=π4+2kπ,一类是α=3π4+2kπ。 (二)加强应用的变式性教学,提升学生迁移能力
学生对知识的掌握不是一次到位的,有一个螺旋上升的过程,易错问题需要多次矫正。教师对此要有清醒的认识,对重要知识、易错问题,要有计划、分阶段地教学。首先要重视知识的形成过程,对核心要素要舍得花时间,让学生留下深刻的“第一印象”——实践证明,后期的反复补偿教学效果不佳。其次要注意变换情境呈现,不斷地深化对知识的理解和认识,提升迁移能力。如函数的定义域,除了在函数概念教学时重视,也要借助求函数定义域问题,判断两个函数是不是同一函数问题来强化,还要在新函数的学习中加强,更要在隐含的情境中强化。例如,在对数函数学习中,除上述问题外,还可以通过解决下列题加强:
1.已知3a=5b=A,且b+a=2ab,则A的值是。
2.已知函数f(x)=1+logax(a>0且a≠1)的图像过点A,点A在直线y=mx+n(mn>0)上。
(1)求1m+1n的最小值;
(2)当a=2时,f(x)的定义域是[1,16],g(x)=f(x2)+[f(x)]2,求g(x)的最小值。
对于第1题,学生在由3a=5b=A,得a=log3A、b=log5A时,非常容易忽视A=0的情况。对于第2题,由于有式子f(x2),所以要求1≤x2≤16。在新的情境中能自觉考虑、迁移运用,才算真正掌握知识,知识才能变为素养(能力)。教学中,教师要变换新的情境让重要的知识多次出现,以增强学生的理解和认识,提升学生的迁移能力。
(三)改变教学方式,让学生自主探究和建构
学生出现错误不能仅靠教师强调,让学生注意来解决问题——实践证明,单独强调解决不了问题;还是要改变教学方式,由解释式、告知式、强调式教学转变为学生参与式、体验式、建构式学习。例如,对于题1中的错误,要放手让学生对“错在何处?是什么原因导致错误?是知识缺陷,还是思维不严谨?如何改正?怎么预防这类错误发生?”等问题进行充分讨论、深度反思,形成自己的思考。
对于重要知识,教师要重视教学设计,包括课时设计、单元设计、长期设计,在精细化的教学过程中,让学生自主探究,获得切身的体验,建构自己的理解和认识,从而应用自如,随取随用,不出错,少出错。例如,由于初中函数学习中几乎不涉及定义域问题,所以学生解题习惯是不考虑定义域的。所以,高中函数教学首先要改变学生的思维定式,在函数概念抽象过程中就要让学生体会到定义域的重要性,理解定义域不同即使解析式相同的函数也是不同的函数;在函数单调性、奇偶性等性质学习中让学生发现,离开定义域,这些性质都是没有办法研究的;后续还要在新的情境中多次出现,让学生建构完善的认知结构,对函数的定义域形成自己的理解和认识。