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摘要：伊恩斯图加特说：“直觉是真正的数学家赖以生存的东西。许多重大的发现都是基于直觉。”本文主要阐述了本人对数学直觉思维的认识，以及培养数学直觉思维的重要性和必要性，进一步阐述了如何培养的问题。
关键字：数学直觉 思维能力
21世纪将是一个知识创新的世纪，新世纪正在召唤大批高素质创造型人才。而负有教育任务的我们广大教师如何在学科中培养创造性思维就具有十分重要的意义，人的创造力不是一种天外飞来的东西。我们在数学教育中注重学生创造性思维能力培养的同时，还应该注重观察力、直觉力、想象力的培养，特别是直觉思维能力的培养，由于长期直觉思维得不到重视，学生在学习的过程中认为数学是枯燥乏味的，对数学的学习缺乏取得成功的必要的信心，从而丧失数学学习的兴趣。培养直觉思维能力是社会发展的需要，是适应新时期社会对人才的需求。
一、对数学直觉的认识
1 直觉是发明的源泉。直觉思维就是指人们不受逻辑规则约束直接领悟事物本质的一种思维方式。比如在日常生活中有许多说不清，道不明的东西。人们对各种事件作出判断和猜想离不开直觉。甚至可以说直觉无时无刻不在起作用。数学也是对客观世界的反应，数学最初的概念都基于直觉，数学在一定程度上，就是在解决问题的过程中逐渐发展起来的。问题的解决也离不开直觉。而数学直觉思维是直接反映数学对象、结构以及关系的思维活动。思维者不是按部就班地推理，而是对思维对象从整体上进行考察，调动自身的全部知识经验，通过丰富的想象作出的敏锐而迅速的假设，猜想或判断，其特点是条件和结论之间不一定具有逻辑性，而仅仅是依靠直觉。这种推理方式虽然缺乏逻辑的依据，但由于直觉是依靠人的以往经验为基础的。所以这种推理也能得到合理的结果，甚至是伟大的发现。
2 数学直觉思维的表现形式是以人们已有的知识、经验和技能为基础，通过观察、联想、类比、归纳、猜测之后对所研究的事物作出一种比较迅速的直接的综合判断，它不受固定的逻辑约束，以潜逻辑的形式进行。例如如果一条直线上有两点在一个平面内，那么这条直线上所有点都在这个平面内等平面内的一些基本性质和定理。都是在长期的时间和观察当中，总结出来的并没有一个严格的证明，只是一种直观形象的感知。而直觉的研究对象则是往往是抽象的数学结构及其关系。例如，数学当中的归纳法，把我们仍无法想象的结果，但我们能够通过直觉一般地思考，可得到结论。由此可见直觉是一种深层次的心理活动，没有具体的直观形象和可操作的逻辑顺序作思考的背景。
3 数学直觉思维具有个体经验性、突发性、偶然性、果断性、创造性、迅速性、自觉性、直观性、自发性、不可靠性等特点。在教育过程中，教师如果把证明过程过分的严格化、程序化，用僵硬的逻辑外壳掩盖住直觉的光环，学生们只能把成功归功于逻辑的功劳，而丧失了“可靠的直觉”，那将是我们教育的失败。《中国青年报》曾报道，“约30％的初中生学习了平面几何推理之后，丧失了对数学学习的兴趣”，这种现象应该引起数学教育者的重视与反思。欧几里得几何学的五个公设都是基于直觉，从而建立起欧几里得几何学这栋辉煌的大厦；哈密顿在散步的路上进发了构造四元素的火花；阿基米德在浴室里找到了辨别王冠真假的方法：凯库勒发现本分了环状结构更是一个直觉思维的成功典范。
直觉不是靠“机遇”，直觉的获得虽然具有偶然性，但决不是无缘无故的凭空臆想，而是以扎实的知识为基础。若没有深厚的功底，是不会迸发出思维的火花的。数学直觉思维活动在时间上表现为快速性，即它有时是在一刹那间完成的；在过程上表现为跳跃性；在形式上表现为简约性，简约美体现了数学的本质。直觉思维是一瞬间的思维火花，是长期积累的一种升华，是思维者的灵感和顿悟，是思维过程的高度简化。
直觉思维是基于研究对象整体上的把握，不专意于细节的推敲，是思维的大手笔。正是由于思维的无意识性，它的想象才是丰富的，发散的，使人的认知结构向外扩展，因而具有反常规律的独创性。许多重大的发现都基于数学直觉。现代社会需要创造性的人才，我国的教材由于长期以来借鉴国外的经验，过多的注重培养逻辑思维，培养的人才大多数习惯于按部就班、墨守成规，缺乏创造能力和开拓精神。因此培养学生的直觉思维是必要的。
4 数学直觉思维能力的提高有利于增强学生的自信力。成功可以培养一个人的自信，直觉发现伴随着很强的“自信心”，它使学生的自我价值得以充分实现。也就是最高层次的需要得以实现，比起其它的物资奖励和情感激励，这种自信更稳定、更持久、学习的最好刺激是对教学材料的兴趣、当一个问题不用通过逻辑证明的形式而是通过自己的直觉获得，那么成功带给他的震撼是巨大的，内心将会产生一种强大的学习钻研动力、兴趣更多的是来自数学本身。成功可以培养一个人的自信，直觉发现伴随着很强的“自信心”。相比其它的物资奖励和情感激励，这种自信更稳定、更持久。
二、数学直觉的培养
一个人的数学思维，判断能力的高低主要取决于直觉思维能力的高低。徐利治教授指出：“数学直觉是可以后天培养的，实际上每个人的数学直觉也是不断提高的。”对于一个专业的数学工作者来说，他所具有的数学直觉显然已不再是一种朴素意义上的原始直觉，而是一种精致化了的直觉，也即是通过多年的学习和研究才逐渐养成的。
扎实的基础是产生直觉的源泉。直觉的产生是基于对研究对象整体的把握，直觉的获得具有偶然性，但决不是无缘无故地凭空臆想，成功孕育于1％的灵感和99％的血汗中。因此培养和发展数学直觉思维能力，应注意以下几点：
1 创造情景，引导学生主动去学数学
创设教学情境有利于学生循着知识产生的脉络去准确把握学习的内容。在情境化的教学中，学生直接接触现成的结论，知识犹如横空出世一般突然呈现在学生的面前。由于不知道知识是为了解决什么问题，以及是如何得来的，这就给学生深刻理解学习内容，带来了障碍，不利于学生思维的发展。思维起始于问题而不是确定的结论。杜威在他的“五步思维法”中指出，思维活动可分为五个阶段：“第一步：问题。第二步：观察。第三步：假定。第四步：推理。第五：检验。”其中的假设就是对数学直觉得一种充分体现。通过具体情境中的学习，学生可以清晰地感知所学知识能够解决什么类型的问题，又能从整体上把握问题依存的情境，这样，学生就能牢固地掌握知识应用的条件及其变式，从而灵活地迁移和应用学到的知识。
2 重视解题教学，注重培养学生数形结合思维
华罗庚说过：“数缺形时少直觉，形缺数时难入微。”通过深入的观察、联想，由形思数，由数想形，利用图形的直观诱发直觉，对培养学生的几何直觉思维大有帮助。教师应该把直觉思维在课堂教学中明确提出，制定相應的活动策略。
教学过程中，才能真正理解数学，体验数学，掌握数学；也只有在“做数学”的过程中，才能发现数学，体验乐趣，激发创 造欲；也只有自己动脑!动手“做数学”才能学会用观察、模仿、试验、猜想和类比、分析、归纳等方法收集和处理材料，掌握数学，增长才干，逐步提高数学的创造思维能力。为使学生能真正动手“做数学”，应根据学生的实际做些调查研究，收集整理一些数据，并做出有关的结论或判断，当然也可布置一些有创新意义的作业，例如：写小论文，办板报，提问题，征解答，办数学主题会等生动活泼的活动来激发学生的创造欲。
3 大胆猜想，养成良好的数学思维习惯
数学猜想是一种合情推理，是一种或然性非逻辑方法，与论证所用的逻辑推理相辅相成。对于数学问题，猜想的形成有利于解题思路的正确诱导以及解题策略的发现。要培养和提高数学直觉能力，就必须养成敢于猜想、大胆探索的思维习惯。基本做法是鼓励学习者不受形式逻辑的约束大胆地去猜想，并且促使其猜想向合理程度发展。
“跟着感觉走”这句话里已蕴涵着直觉思维的萌芽，只不过没有把它上升为一种思维观念。教师应该把直觉思维在课堂教学中明确的提出，制定相应的活动策略，从整体上分析问题的特征；重视数学思维方法的教学。诸如：换元、数形结合、归纳猜想、反证法等，对渗透直觉观念与思维能力的发展大有裨益。
4 善待错误，培养自信心
很多时候，直觉会骗人。所以很多教师会用一些典型的例子告诫学生不要依赖直觉，并且为了考试不失分而反复强调，这无意中限制了学生的直觉思维的发展。其实直觉思维与创新能力一样不是靠培养出来的，而是靠保护起来的。给学生尝试创新的机会，不限制其创新的冲动。这是我们在培养创新能力上首先要做的。这就要求教师转变教学观念，把主动权还给学生。对于学生的大胆设想给予充分肯定。对其合理成分及时给予鼓励，爱护、扶植学生的自发性直觉思维，以免挫伤学生直觉思维的积极性和学生直觉思维的悟性。
平时要给学生利用直觉思考问题的机会。不刻意限制其直觉思维的运用，当然同时也要通过例子当学生清楚的认识直觉思维的局限性。比如它常见的错误：一是忽视选取的范围，从有限的、数量明显不足的观察对象中提出假设，作出结论；二是忽视数学统计规律，只从主观判断出发，对事物的偶然性作出必然性的结论。因而数学直觉的结论可能是错误的，这使得缺乏自信和勇气的人不愿意去冒这个风险，害怕受到错误的指责。因此，善待学习者的错误，指出其数学猜想、数学直觉中的合理成分，培养学习者的自信心和勇气，对培养和发展其数学直觉思维能力是极为重要的。因此要大胆猜想，小心求证。
数学的直觉思维能力的提高，依赖于数学知识和数学经验的积累。在数学中有意识的对学生进行一些不完全归纳推理、类比推理(这是合情推理最常用的形式)的训练，使学生能够根据数学的直觉得到一些数学的发现，从而让他们品尝到一些成功的喜悦，提高他们对数学的学习热情和信心，这无论对于培养高质量的具有创造性思維能力的人才，还是对提高课堂教学质量，都具有重大意义。
关键字：数学直觉 思维能力
21世纪将是一个知识创新的世纪，新世纪正在召唤大批高素质创造型人才。而负有教育任务的我们广大教师如何在学科中培养创造性思维就具有十分重要的意义，人的创造力不是一种天外飞来的东西。我们在数学教育中注重学生创造性思维能力培养的同时，还应该注重观察力、直觉力、想象力的培养，特别是直觉思维能力的培养，由于长期直觉思维得不到重视，学生在学习的过程中认为数学是枯燥乏味的，对数学的学习缺乏取得成功的必要的信心，从而丧失数学学习的兴趣。培养直觉思维能力是社会发展的需要，是适应新时期社会对人才的需求。
一、对数学直觉的认识
1 直觉是发明的源泉。直觉思维就是指人们不受逻辑规则约束直接领悟事物本质的一种思维方式。比如在日常生活中有许多说不清，道不明的东西。人们对各种事件作出判断和猜想离不开直觉。甚至可以说直觉无时无刻不在起作用。数学也是对客观世界的反应，数学最初的概念都基于直觉，数学在一定程度上，就是在解决问题的过程中逐渐发展起来的。问题的解决也离不开直觉。而数学直觉思维是直接反映数学对象、结构以及关系的思维活动。思维者不是按部就班地推理，而是对思维对象从整体上进行考察，调动自身的全部知识经验，通过丰富的想象作出的敏锐而迅速的假设，猜想或判断，其特点是条件和结论之间不一定具有逻辑性，而仅仅是依靠直觉。这种推理方式虽然缺乏逻辑的依据，但由于直觉是依靠人的以往经验为基础的。所以这种推理也能得到合理的结果，甚至是伟大的发现。
2 数学直觉思维的表现形式是以人们已有的知识、经验和技能为基础，通过观察、联想、类比、归纳、猜测之后对所研究的事物作出一种比较迅速的直接的综合判断，它不受固定的逻辑约束，以潜逻辑的形式进行。例如如果一条直线上有两点在一个平面内，那么这条直线上所有点都在这个平面内等平面内的一些基本性质和定理。都是在长期的时间和观察当中，总结出来的并没有一个严格的证明，只是一种直观形象的感知。而直觉的研究对象则是往往是抽象的数学结构及其关系。例如，数学当中的归纳法，把我们仍无法想象的结果，但我们能够通过直觉一般地思考，可得到结论。由此可见直觉是一种深层次的心理活动，没有具体的直观形象和可操作的逻辑顺序作思考的背景。
3 数学直觉思维具有个体经验性、突发性、偶然性、果断性、创造性、迅速性、自觉性、直观性、自发性、不可靠性等特点。在教育过程中，教师如果把证明过程过分的严格化、程序化，用僵硬的逻辑外壳掩盖住直觉的光环，学生们只能把成功归功于逻辑的功劳，而丧失了“可靠的直觉”，那将是我们教育的失败。《中国青年报》曾报道，“约30％的初中生学习了平面几何推理之后，丧失了对数学学习的兴趣”，这种现象应该引起数学教育者的重视与反思。欧几里得几何学的五个公设都是基于直觉，从而建立起欧几里得几何学这栋辉煌的大厦；哈密顿在散步的路上进发了构造四元素的火花；阿基米德在浴室里找到了辨别王冠真假的方法：凯库勒发现本分了环状结构更是一个直觉思维的成功典范。
直觉不是靠“机遇”，直觉的获得虽然具有偶然性，但决不是无缘无故的凭空臆想，而是以扎实的知识为基础。若没有深厚的功底，是不会迸发出思维的火花的。数学直觉思维活动在时间上表现为快速性，即它有时是在一刹那间完成的；在过程上表现为跳跃性；在形式上表现为简约性，简约美体现了数学的本质。直觉思维是一瞬间的思维火花，是长期积累的一种升华，是思维者的灵感和顿悟，是思维过程的高度简化。
直觉思维是基于研究对象整体上的把握，不专意于细节的推敲，是思维的大手笔。正是由于思维的无意识性，它的想象才是丰富的，发散的，使人的认知结构向外扩展，因而具有反常规律的独创性。许多重大的发现都基于数学直觉。现代社会需要创造性的人才，我国的教材由于长期以来借鉴国外的经验，过多的注重培养逻辑思维，培养的人才大多数习惯于按部就班、墨守成规，缺乏创造能力和开拓精神。因此培养学生的直觉思维是必要的。
4 数学直觉思维能力的提高有利于增强学生的自信力。成功可以培养一个人的自信，直觉发现伴随着很强的“自信心”，它使学生的自我价值得以充分实现。也就是最高层次的需要得以实现，比起其它的物资奖励和情感激励，这种自信更稳定、更持久、学习的最好刺激是对教学材料的兴趣、当一个问题不用通过逻辑证明的形式而是通过自己的直觉获得，那么成功带给他的震撼是巨大的，内心将会产生一种强大的学习钻研动力、兴趣更多的是来自数学本身。成功可以培养一个人的自信，直觉发现伴随着很强的“自信心”。相比其它的物资奖励和情感激励，这种自信更稳定、更持久。
二、数学直觉的培养
一个人的数学思维，判断能力的高低主要取决于直觉思维能力的高低。徐利治教授指出：“数学直觉是可以后天培养的，实际上每个人的数学直觉也是不断提高的。”对于一个专业的数学工作者来说，他所具有的数学直觉显然已不再是一种朴素意义上的原始直觉，而是一种精致化了的直觉，也即是通过多年的学习和研究才逐渐养成的。
扎实的基础是产生直觉的源泉。直觉的产生是基于对研究对象整体的把握，直觉的获得具有偶然性，但决不是无缘无故地凭空臆想，成功孕育于1％的灵感和99％的血汗中。因此培养和发展数学直觉思维能力，应注意以下几点：
1 创造情景，引导学生主动去学数学
创设教学情境有利于学生循着知识产生的脉络去准确把握学习的内容。在情境化的教学中，学生直接接触现成的结论，知识犹如横空出世一般突然呈现在学生的面前。由于不知道知识是为了解决什么问题，以及是如何得来的，这就给学生深刻理解学习内容，带来了障碍，不利于学生思维的发展。思维起始于问题而不是确定的结论。杜威在他的“五步思维法”中指出，思维活动可分为五个阶段：“第一步：问题。第二步：观察。第三步：假定。第四步：推理。第五：检验。”其中的假设就是对数学直觉得一种充分体现。通过具体情境中的学习，学生可以清晰地感知所学知识能够解决什么类型的问题，又能从整体上把握问题依存的情境，这样，学生就能牢固地掌握知识应用的条件及其变式，从而灵活地迁移和应用学到的知识。
2 重视解题教学，注重培养学生数形结合思维
华罗庚说过：“数缺形时少直觉，形缺数时难入微。”通过深入的观察、联想，由形思数，由数想形，利用图形的直观诱发直觉，对培养学生的几何直觉思维大有帮助。教师应该把直觉思维在课堂教学中明确提出，制定相應的活动策略。
教学过程中，才能真正理解数学，体验数学，掌握数学；也只有在“做数学”的过程中，才能发现数学，体验乐趣，激发创 造欲；也只有自己动脑!动手“做数学”才能学会用观察、模仿、试验、猜想和类比、分析、归纳等方法收集和处理材料，掌握数学，增长才干，逐步提高数学的创造思维能力。为使学生能真正动手“做数学”，应根据学生的实际做些调查研究，收集整理一些数据，并做出有关的结论或判断，当然也可布置一些有创新意义的作业，例如：写小论文，办板报，提问题，征解答，办数学主题会等生动活泼的活动来激发学生的创造欲。
3 大胆猜想，养成良好的数学思维习惯
数学猜想是一种合情推理，是一种或然性非逻辑方法，与论证所用的逻辑推理相辅相成。对于数学问题，猜想的形成有利于解题思路的正确诱导以及解题策略的发现。要培养和提高数学直觉能力，就必须养成敢于猜想、大胆探索的思维习惯。基本做法是鼓励学习者不受形式逻辑的约束大胆地去猜想，并且促使其猜想向合理程度发展。
“跟着感觉走”这句话里已蕴涵着直觉思维的萌芽，只不过没有把它上升为一种思维观念。教师应该把直觉思维在课堂教学中明确的提出，制定相应的活动策略，从整体上分析问题的特征；重视数学思维方法的教学。诸如：换元、数形结合、归纳猜想、反证法等，对渗透直觉观念与思维能力的发展大有裨益。
4 善待错误，培养自信心
很多时候，直觉会骗人。所以很多教师会用一些典型的例子告诫学生不要依赖直觉，并且为了考试不失分而反复强调，这无意中限制了学生的直觉思维的发展。其实直觉思维与创新能力一样不是靠培养出来的，而是靠保护起来的。给学生尝试创新的机会，不限制其创新的冲动。这是我们在培养创新能力上首先要做的。这就要求教师转变教学观念，把主动权还给学生。对于学生的大胆设想给予充分肯定。对其合理成分及时给予鼓励，爱护、扶植学生的自发性直觉思维，以免挫伤学生直觉思维的积极性和学生直觉思维的悟性。
平时要给学生利用直觉思考问题的机会。不刻意限制其直觉思维的运用，当然同时也要通过例子当学生清楚的认识直觉思维的局限性。比如它常见的错误：一是忽视选取的范围，从有限的、数量明显不足的观察对象中提出假设，作出结论；二是忽视数学统计规律，只从主观判断出发，对事物的偶然性作出必然性的结论。因而数学直觉的结论可能是错误的，这使得缺乏自信和勇气的人不愿意去冒这个风险，害怕受到错误的指责。因此，善待学习者的错误，指出其数学猜想、数学直觉中的合理成分，培养学习者的自信心和勇气，对培养和发展其数学直觉思维能力是极为重要的。因此要大胆猜想，小心求证。
数学的直觉思维能力的提高，依赖于数学知识和数学经验的积累。在数学中有意识的对学生进行一些不完全归纳推理、类比推理(这是合情推理最常用的形式)的训练，使学生能够根据数学的直觉得到一些数学的发现，从而让他们品尝到一些成功的喜悦，提高他们对数学的学习热情和信心，这无论对于培养高质量的具有创造性思維能力的人才，还是对提高课堂教学质量，都具有重大意义。