论文部分内容阅读
【摘要】以某国家公园大象种群为典型案例，研究探讨了生物种群在稳定发展过程中的一些问题.根据该大象种群的生存基本情况，通过数学建模的方法，分析研究了象群的存活率、年龄结构、避孕数量及种群恢复能力等问题，为维持生物种群的稳定发展，提供相关策略及预测.
【关键词】生物种群；稳定发展；数学建模
一、引 言
生物种群的发展受多种因素的影响，包括种群自身因素、人为因素及环境因素等，因此，要维持某一种群的稳定发展，就必须考虑各方面因素的影响.本文针对某大象种群的具体案例，借助特殊的数学手段，包括一次方程组模型、差分方程模型等，较为精确地研究分析了种群在稳定发展过程中涉及的一些具体问题.
二、大象种群案例
位于非洲某国的国家公园中栖息着近11000头大象，管理者要求有一个健康稳定的环境以便维持这个11000头大象的稳定种群.管理者逐年统计了大象的数量，发现在过去的20年中，整个大象群经过一些偷猎枪杀以及转移到外地还能保持在11000头的数量，而其中每年大约有近600头到800头是被转移的.
近年来，偷猎被禁止，并且每年要转移这些大象也比较困难，因此，要控制现在的数量就使用了一种避孕注射法.用这种方法注射一次可以使得一头成熟母象在两年内不会受孕.
目前在公园中已经很少发生移入和移出大象的情况.大象的性别比也非常接近于1∶1，且采取了某些措施维持这个性别比.新出生的幼象的性别比也在1∶1左右，而双胞胎的机会接近于1.35%.
母象在10岁和12岁之间将第一次怀孕，平均每3.5年产下一个幼象，直到60岁左右为止，每次怀孕期为22个月.注射避孕药会使母象每月发情，但不会怀孕.象通常在3.5年中仅仅求偶一次，所以这种注射不会引起其他附加的反应.
新生的幼象中只有70%到80%可以活到1岁，但是其后的存活率很高，要超过95%，并且这个存活率在各个年龄段都是相同的，一直到60岁左右，该大象种群的最高年龄在70岁左右.该国家公园内部不允许狩猎，对偷猎的管制也十分严格.
该公园没有被射杀的和被留下的象的有关信息，但是有一份近两年内从这个地区运出的大象的大致年龄和性别的统计资料，经简单统计整理成表1.
三、种群模型假设及模型符号说明
1.模型假设
为了对种群发展问题进行数学建模分析，需要对种群基本情况作出一些合理的假定.本文根据该大象种群的具体情况，作出如下假定：
(1)假设近两年各年龄段转移出的大象数目是按照其占总体的比例来转移的；
(2)假设0岁大象的存活率为75%（即p0=75%），70岁的存活率为0；
(3)假设61岁到70岁的大象头数呈直线递减；
(4)假设转移的大象都处在1～60岁之间；
(5)假设在由于灾难等原因导致的象群的大规模死亡现象中，各年龄大象的死亡数量大致服从象群的年龄结构比例，且象群在理想情况中恢复.
2.符号说明
在对种群发展建立数学模型的过程中，需要用到各类代数符号，以下表示各符号所代表的具体意义.ni:各年龄大象的头数；p0:0岁大象的存活率；p1:1～60岁大象的存活率；pi:61～70岁大象的存活率(i=61,62，…，70)；b:每头母象的正常繁殖率；b′:避孕后每头母象的繁殖率；k:第k年；N:每年注射避孕药的大象数量.
四、种群稳定发展分析
1.存活率
该大象种群中绝大部分象的年龄处于1～60岁之间，以下只研究该年龄段大象的存活率问题，为此，建立一次方程组模型.
根据象群总数为11000，建立第一个方程：
n0+∑60i=1ni+∑70i=61ni=11000.(1)
利用象群的存活规律以及转移情况，建立第二个方程：
(n0×p0+∑60i=1ni×p1+∑70i=61ni-n61)+n0-700=11000.(2)
根据表1数据以及繁殖规律，有以下的推算关系：
1～10岁的大象占1～60岁大象总量的比例为:
67622+1698762=15.032%.
从而11～60岁的能生小象的母象占1～60岁大象总量的比例为:(1-15.032%)×0.5=42.48%.
而根据题意，母象每3.5年生一头小象，且双胞胎的机会为1.35%，相当于每年生0.2896头，所以0岁的大象占1～60岁的大象总量的比例为:42.48%×0.2896=12.303%.
所以0岁大象的数量为：n0=12.303%×∑60i=1ni.(3)
此外，利用表1的数据，可以大致求出60岁的大象占运出的大象总量的比例为：208762=1.14%.
所以61岁大象的数量为：n61=1.14%×p1×∑60i=1ni.(4)
而根据假设3可知，61~70岁大象的数量是一个递减的等差数列，
从而有：∑70i=61ni=12×11×1.14%×p1×∑60i=1ni.(5)
联立以上方程(1)～(5)，利用Mathematica可方便求得：
p1=0.994498，n0=1141，∑60i=1ni=9281，∑70i=61ni=578.
即该大象种群1～60岁年龄段大象的存活率为99.4498%.
2.年龄结构
利用前述一次方程组模型，就已经可以得出0岁以及61~70岁大象的数量，因此要推算象群的年龄结构，关键就是要得出1~60岁大象的数量分布.
根据每个年龄的大象的存活率关系，可以建立以下的方程模型：∑59i=0n1•pi1=∑60i=1ni.
求解上述模型便可知每个年龄大象的数量，从而便大致推断出了象群年龄结构.
3.避孕数量
目前公园中已较少发生移入和移出大象的情况，因此以下针对每年移出50~300头象的情况，分析确定每年母象的避孕数量.
根据假设（4），转移的都为1~60岁之间的大象.由转移的不同数量，利用前述一次方程组模型，求出转移50~300头大象后的相应存活率及此时1~60岁大象的头数，从而再建立以下方程模型：(p1-p′1)•(∑60i=1ni)′=2N•0.1448.
即为了保持大象种群数量的稳定，每年由于向外转移而必须少出生的大象数量即为避孕导致的少出生的大象数量.前者通过存活率的减少来算，后者通过避孕大象数量来算.通过这种“算两次”的方法求解避孕数量.
选取每50头为移出数量间隔，计算相应的避孕数量，如表2所示.
4.种群恢复能力
如果由于某种原因，突然使得注射避孕的方法不得不停止（例如由于一场灾难导致大量象的死亡），此时便需要分析预测象群重新壮大的能力.
根据假设（5），按照象群的年龄结构比例来假设各年龄大象的死亡情况，即各年龄象群死亡数量呈比例分布，死亡率相等.设生还率为p(0 根据模型计算出大象种群在不同生还率情况下恢复到原来规模所需的年数.
五、结 语
本文针对该大象种群的具体情况建立了比较合理的模型，对象群稳定发展中的某些问题进行了相关探讨，反观以上得出的各项结果，都比较符合实际情况.本文对大象种群稳定发展问题所采取的研究方法可以推广到类似的种群发展问题上.
但是，在处理具体问题的过程中，也忽略了一些自然生存情况，比如：种内斗争、非正常死亡、避孕药的实际功效、性别比例非理想的1∶1等问题，对于各类生物种群，这些因素都会在一定程度上影响种群的稳定发展，需要更深入的研究来考虑这些因素的影响.
【参考文献】
［1］赵静,但琦.数学建模与数学实验［M］.北京:高等教育出版社,2008.
［2］吴剑,胡波.掌握和精通Mathematica4.0［M］.北京:机械工业出版社,2001.
【关键词】生物种群；稳定发展；数学建模
一、引 言
生物种群的发展受多种因素的影响，包括种群自身因素、人为因素及环境因素等，因此，要维持某一种群的稳定发展，就必须考虑各方面因素的影响.本文针对某大象种群的具体案例，借助特殊的数学手段，包括一次方程组模型、差分方程模型等，较为精确地研究分析了种群在稳定发展过程中涉及的一些具体问题.
二、大象种群案例
位于非洲某国的国家公园中栖息着近11000头大象，管理者要求有一个健康稳定的环境以便维持这个11000头大象的稳定种群.管理者逐年统计了大象的数量，发现在过去的20年中，整个大象群经过一些偷猎枪杀以及转移到外地还能保持在11000头的数量，而其中每年大约有近600头到800头是被转移的.
近年来，偷猎被禁止，并且每年要转移这些大象也比较困难，因此，要控制现在的数量就使用了一种避孕注射法.用这种方法注射一次可以使得一头成熟母象在两年内不会受孕.
目前在公园中已经很少发生移入和移出大象的情况.大象的性别比也非常接近于1∶1，且采取了某些措施维持这个性别比.新出生的幼象的性别比也在1∶1左右，而双胞胎的机会接近于1.35%.
母象在10岁和12岁之间将第一次怀孕，平均每3.5年产下一个幼象，直到60岁左右为止，每次怀孕期为22个月.注射避孕药会使母象每月发情，但不会怀孕.象通常在3.5年中仅仅求偶一次，所以这种注射不会引起其他附加的反应.
新生的幼象中只有70%到80%可以活到1岁，但是其后的存活率很高，要超过95%，并且这个存活率在各个年龄段都是相同的，一直到60岁左右，该大象种群的最高年龄在70岁左右.该国家公园内部不允许狩猎，对偷猎的管制也十分严格.
该公园没有被射杀的和被留下的象的有关信息，但是有一份近两年内从这个地区运出的大象的大致年龄和性别的统计资料，经简单统计整理成表1.
三、种群模型假设及模型符号说明
1.模型假设
为了对种群发展问题进行数学建模分析，需要对种群基本情况作出一些合理的假定.本文根据该大象种群的具体情况，作出如下假定：
(1)假设近两年各年龄段转移出的大象数目是按照其占总体的比例来转移的；
(2)假设0岁大象的存活率为75%（即p0=75%），70岁的存活率为0；
(3)假设61岁到70岁的大象头数呈直线递减；
(4)假设转移的大象都处在1～60岁之间；
(5)假设在由于灾难等原因导致的象群的大规模死亡现象中，各年龄大象的死亡数量大致服从象群的年龄结构比例，且象群在理想情况中恢复.
2.符号说明
在对种群发展建立数学模型的过程中，需要用到各类代数符号，以下表示各符号所代表的具体意义.ni:各年龄大象的头数；p0:0岁大象的存活率；p1:1～60岁大象的存活率；pi:61～70岁大象的存活率(i=61,62，…，70)；b:每头母象的正常繁殖率；b′:避孕后每头母象的繁殖率；k:第k年；N:每年注射避孕药的大象数量.
四、种群稳定发展分析
1.存活率
该大象种群中绝大部分象的年龄处于1～60岁之间，以下只研究该年龄段大象的存活率问题，为此，建立一次方程组模型.
根据象群总数为11000，建立第一个方程：
n0+∑60i=1ni+∑70i=61ni=11000.(1)
利用象群的存活规律以及转移情况，建立第二个方程：
(n0×p0+∑60i=1ni×p1+∑70i=61ni-n61)+n0-700=11000.(2)
根据表1数据以及繁殖规律，有以下的推算关系：
1～10岁的大象占1～60岁大象总量的比例为:
67622+1698762=15.032%.
从而11～60岁的能生小象的母象占1～60岁大象总量的比例为:(1-15.032%)×0.5=42.48%.
而根据题意，母象每3.5年生一头小象，且双胞胎的机会为1.35%，相当于每年生0.2896头，所以0岁的大象占1～60岁的大象总量的比例为:42.48%×0.2896=12.303%.
所以0岁大象的数量为：n0=12.303%×∑60i=1ni.(3)
此外，利用表1的数据，可以大致求出60岁的大象占运出的大象总量的比例为：208762=1.14%.
所以61岁大象的数量为：n61=1.14%×p1×∑60i=1ni.(4)
而根据假设3可知，61~70岁大象的数量是一个递减的等差数列，
从而有：∑70i=61ni=12×11×1.14%×p1×∑60i=1ni.(5)
联立以上方程(1)～(5)，利用Mathematica可方便求得：
p1=0.994498，n0=1141，∑60i=1ni=9281，∑70i=61ni=578.
即该大象种群1～60岁年龄段大象的存活率为99.4498%.
2.年龄结构
利用前述一次方程组模型，就已经可以得出0岁以及61~70岁大象的数量，因此要推算象群的年龄结构，关键就是要得出1~60岁大象的数量分布.
根据每个年龄的大象的存活率关系，可以建立以下的方程模型：∑59i=0n1•pi1=∑60i=1ni.
求解上述模型便可知每个年龄大象的数量，从而便大致推断出了象群年龄结构.
3.避孕数量
目前公园中已较少发生移入和移出大象的情况，因此以下针对每年移出50~300头象的情况，分析确定每年母象的避孕数量.
根据假设（4），转移的都为1~60岁之间的大象.由转移的不同数量，利用前述一次方程组模型，求出转移50~300头大象后的相应存活率及此时1~60岁大象的头数，从而再建立以下方程模型：(p1-p′1)•(∑60i=1ni)′=2N•0.1448.
即为了保持大象种群数量的稳定，每年由于向外转移而必须少出生的大象数量即为避孕导致的少出生的大象数量.前者通过存活率的减少来算，后者通过避孕大象数量来算.通过这种“算两次”的方法求解避孕数量.
选取每50头为移出数量间隔，计算相应的避孕数量，如表2所示.
4.种群恢复能力
如果由于某种原因，突然使得注射避孕的方法不得不停止（例如由于一场灾难导致大量象的死亡），此时便需要分析预测象群重新壮大的能力.
根据假设（5），按照象群的年龄结构比例来假设各年龄大象的死亡情况，即各年龄象群死亡数量呈比例分布，死亡率相等.设生还率为p(0
五、结 语
本文针对该大象种群的具体情况建立了比较合理的模型，对象群稳定发展中的某些问题进行了相关探讨，反观以上得出的各项结果，都比较符合实际情况.本文对大象种群稳定发展问题所采取的研究方法可以推广到类似的种群发展问题上.
但是，在处理具体问题的过程中，也忽略了一些自然生存情况，比如：种内斗争、非正常死亡、避孕药的实际功效、性别比例非理想的1∶1等问题，对于各类生物种群，这些因素都会在一定程度上影响种群的稳定发展，需要更深入的研究来考虑这些因素的影响.
【参考文献】
［1］赵静,但琦.数学建模与数学实验［M］.北京:高等教育出版社,2008.
［2］吴剑,胡波.掌握和精通Mathematica4.0［M］.北京:机械工业出版社,2001.