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【摘要】数学思维的批判性是一种思维品质，它指学生在思维活动中善于估计思维材料、检查思维过程，不盲从、不轻信。数学思维的敏捷性是指思维过程的简缩性和快速性，处理问题和解决问题时能适应 紧急的情况，迅速作出正确判断
【关键词】数学思维；批判性；敏捷性
数学思维的批判性是一种思维品质，它指学生在思维活动中善于估计思维材料、检查思维过程，不盲从、不轻信。思维的批判性来自学生对思维活动各环节、各方面的调整、校正，即自我意识。这种自我意识的“调 整”“校正”又来自学生对问题本质的认识。只有深刻的认识、周密的思考，才能全面正确地作出判断。因此，思维的批判性是在深刻性基础上发展起来的思维品质。
小学数学思维的批判性，在概括过程中表现为善于精细地估计数学材料，准确选择推理条件；善于从正反 两方面思考推理过程，并能及时调整和校正。在推理过程中表现为善于从不同角度、正反两方面去理解概念， 区分相近概念；善于区别不同的运算法则、定律、性质及其适用的条件；善于发现并指出理解过程中可能出现的错误倾向，排除错误的干扰。在运算过程中表现为解决数学问题时善于排除无关因素的影响；善于进行辩证 地思索与分析，自觉检查思维过程，自我控制和调整思维方向，对解答结果能自觉作出估计和检验。在维理效 果上表现为推断、估计、自学以及对结论与推理过程进行评价的能力较强。
怎样培养和训练学生科学思维的批判性？
在掌握知识的过程中，教师要鼓励学生独立思考，发表自己的见解，形成“自由争辩”的学风。小学生往往受思维定势的影响，盲目随从，这不利于增强思维的批判性。为克服学生的盲从心理，教师有时可故意制造 一些错误，让学生去发现、评价。如教学三角形面积，出示左图，要求学生根据图中数据用两种方法求图形面 积（单位：厘米）。学生计算后发现，两组相对应的底和高求出的面积不相等。这样设计，在审题 时即对题目条件的可靠性进行论证，无疑培养了学生思维的批判性。
在运用知识解决数学问题的过程中，教师应着力培养学生“自我反省”的习惯。由于学生自我意识的发展 还不成熟，往往忽视自己的内部心理活动，对自己思维的破绽、错误不易注意。因此，在组织练习的过程中， 要经常引导学生反省自己的思维，自觉地表述思维过程，自觉地加以检验。
数学思维的敏捷性是指思维过程的简缩性和快速性。具有这一思维品质的人处理问题和解决问题时能适应 紧急的情况，迅速作出正确判断。在数学学习中，具有这一品质的学生能缩短运算环节和推理过程，“直接” 得到结果。克鲁捷茨基的研究表明，推理的缩短取决于概括，“能‘立即’进行概括的学生，也能‘立即’进 行推理的缩短。”
小学生数学思维的敏捷性，在概括过程中表现为善于快速地概括出数、式、形和数量关系中的数学特征、规律以及相应的解题技巧。在理解过程中表现为善于迅速地抓住数学问题的实质，熟练地进行等价变换。
培养和训练学生思维的敏捷性，在掌握知识的过程中，要注意抓基础促迁移，于简明的结构中包含较大的知识容量，把小学数学中的基本概念和基本原理放在教材的中心地位，作为教材的基本结构，并充分发挥这种知识结构所具有的知识之间的联结和转换功能。例如，以“两商之差”数量关系为基本结构的应用题，抓住a/ b-a/c=f这一结构形式，就可把以下具有可逆关系的12种题型统一在这个关系之中。
（1）原计划30天生产360台机器，实际20天完成。实际每天比原计划多生产多少台？（360/20-360/30=f）
（2）生产360台机器，原计划每天生产12台，实际每天生产18台。实际可提前几天？（360/12-360/18=f）
（3）原计划30天生产360台机器，实际每天多生产6台，实际多少天完成？（360/b-360/30=6）
（4）生产360台机器，实际每天生产18台，结果提前10天完成。原计划每天生产几台？（360/b-360/18=10）
（5）生产360台机器，实际20天完成，每天比原计划多生产6台，原计划多少天完成？（360/20-360/c=6）
（6）生产360台机器，原计划每天生产12台，实际提前10天完成，实际每天生产几台？（360/12-360/c=10）
（7）生产一批机器，原计划30天完成，实际20天完成。实际每天比原计划多生产6台，这批机器有多少台？ （a/20-a/30=6）
（8）生产一批机器，原计划每天生产12台，实际每天生产18台，结果提前10天完成，这批机器有多少台？（ a/12-a/18=10）
（9）生产360台机器，原计划完成的时间是实际的1.5倍，实际每天比原计划多生产6台，实际多少天完成？ （360/b-360/1.5b=6）
（10）生产360台机器，实际每天生产的是原计划的1.5倍，实际提前6天完成。原计划每天生产多少台？（36 0/b-360/1.5b=6）
（11）生产360台机器，实际完成的天数是原计划的2/3，实际每天比原计划多生产6台，原计划多少天完成？ [360/（2c/3）-360/c=6]
（12）要生产360台机器，原计划每天生产的是实际的2/3，实际提前10天完成，实际每天生产多少台？[360 /（2c/3）-360/c=10]
这是一种结构的方法。这种方法高于用单纯分析和说明数量关系的解释方法。其本质是从相互联系相互作 用的内在规律上揭示数量关系。而且研究数量关系的结构形式，可以运用迁移的规律解决同构异素问题。某些 应用题尽管在具体内容上不同，但实际上具有相似的结构形式，这就是同构异素问题。教学时可以使形式超脱 内容，把不同题材中共同的结构形式分离出来，进一步抽象化、符号化，只研究结构形式之间的关系。一般来说，概括程度越高，迁移量也就越大。小学数学中按照抓基础、促迁移、简结构、大容量的原则来组织教学内容，有利于培养学生数学思维的敏捷性。
【关键词】数学思维；批判性；敏捷性
数学思维的批判性是一种思维品质，它指学生在思维活动中善于估计思维材料、检查思维过程，不盲从、不轻信。思维的批判性来自学生对思维活动各环节、各方面的调整、校正，即自我意识。这种自我意识的“调 整”“校正”又来自学生对问题本质的认识。只有深刻的认识、周密的思考，才能全面正确地作出判断。因此，思维的批判性是在深刻性基础上发展起来的思维品质。
小学数学思维的批判性，在概括过程中表现为善于精细地估计数学材料，准确选择推理条件；善于从正反 两方面思考推理过程，并能及时调整和校正。在推理过程中表现为善于从不同角度、正反两方面去理解概念， 区分相近概念；善于区别不同的运算法则、定律、性质及其适用的条件；善于发现并指出理解过程中可能出现的错误倾向，排除错误的干扰。在运算过程中表现为解决数学问题时善于排除无关因素的影响；善于进行辩证 地思索与分析，自觉检查思维过程，自我控制和调整思维方向，对解答结果能自觉作出估计和检验。在维理效 果上表现为推断、估计、自学以及对结论与推理过程进行评价的能力较强。
怎样培养和训练学生科学思维的批判性？
在掌握知识的过程中，教师要鼓励学生独立思考，发表自己的见解，形成“自由争辩”的学风。小学生往往受思维定势的影响，盲目随从，这不利于增强思维的批判性。为克服学生的盲从心理，教师有时可故意制造 一些错误，让学生去发现、评价。如教学三角形面积，出示左图，要求学生根据图中数据用两种方法求图形面 积（单位：厘米）。学生计算后发现，两组相对应的底和高求出的面积不相等。这样设计，在审题 时即对题目条件的可靠性进行论证，无疑培养了学生思维的批判性。
在运用知识解决数学问题的过程中，教师应着力培养学生“自我反省”的习惯。由于学生自我意识的发展 还不成熟，往往忽视自己的内部心理活动，对自己思维的破绽、错误不易注意。因此，在组织练习的过程中， 要经常引导学生反省自己的思维，自觉地表述思维过程，自觉地加以检验。
数学思维的敏捷性是指思维过程的简缩性和快速性。具有这一思维品质的人处理问题和解决问题时能适应 紧急的情况，迅速作出正确判断。在数学学习中，具有这一品质的学生能缩短运算环节和推理过程，“直接” 得到结果。克鲁捷茨基的研究表明，推理的缩短取决于概括，“能‘立即’进行概括的学生，也能‘立即’进 行推理的缩短。”
小学生数学思维的敏捷性，在概括过程中表现为善于快速地概括出数、式、形和数量关系中的数学特征、规律以及相应的解题技巧。在理解过程中表现为善于迅速地抓住数学问题的实质，熟练地进行等价变换。
培养和训练学生思维的敏捷性，在掌握知识的过程中，要注意抓基础促迁移，于简明的结构中包含较大的知识容量，把小学数学中的基本概念和基本原理放在教材的中心地位，作为教材的基本结构，并充分发挥这种知识结构所具有的知识之间的联结和转换功能。例如，以“两商之差”数量关系为基本结构的应用题，抓住a/ b-a/c=f这一结构形式，就可把以下具有可逆关系的12种题型统一在这个关系之中。
（1）原计划30天生产360台机器，实际20天完成。实际每天比原计划多生产多少台？（360/20-360/30=f）
（2）生产360台机器，原计划每天生产12台，实际每天生产18台。实际可提前几天？（360/12-360/18=f）
（3）原计划30天生产360台机器，实际每天多生产6台，实际多少天完成？（360/b-360/30=6）
（4）生产360台机器，实际每天生产18台，结果提前10天完成。原计划每天生产几台？（360/b-360/18=10）
（5）生产360台机器，实际20天完成，每天比原计划多生产6台，原计划多少天完成？（360/20-360/c=6）
（6）生产360台机器，原计划每天生产12台，实际提前10天完成，实际每天生产几台？（360/12-360/c=10）
（7）生产一批机器，原计划30天完成，实际20天完成。实际每天比原计划多生产6台，这批机器有多少台？ （a/20-a/30=6）
（8）生产一批机器，原计划每天生产12台，实际每天生产18台，结果提前10天完成，这批机器有多少台？（ a/12-a/18=10）
（9）生产360台机器，原计划完成的时间是实际的1.5倍，实际每天比原计划多生产6台，实际多少天完成？ （360/b-360/1.5b=6）
（10）生产360台机器，实际每天生产的是原计划的1.5倍，实际提前6天完成。原计划每天生产多少台？（36 0/b-360/1.5b=6）
（11）生产360台机器，实际完成的天数是原计划的2/3，实际每天比原计划多生产6台，原计划多少天完成？ [360/（2c/3）-360/c=6]
（12）要生产360台机器，原计划每天生产的是实际的2/3，实际提前10天完成，实际每天生产多少台？[360 /（2c/3）-360/c=10]
这是一种结构的方法。这种方法高于用单纯分析和说明数量关系的解释方法。其本质是从相互联系相互作 用的内在规律上揭示数量关系。而且研究数量关系的结构形式，可以运用迁移的规律解决同构异素问题。某些 应用题尽管在具体内容上不同，但实际上具有相似的结构形式，这就是同构异素问题。教学时可以使形式超脱 内容，把不同题材中共同的结构形式分离出来，进一步抽象化、符号化，只研究结构形式之间的关系。一般来说，概括程度越高，迁移量也就越大。小学数学中按照抓基础、促迁移、简结构、大容量的原则来组织教学内容，有利于培养学生数学思维的敏捷性。