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概括,就是把个别的及特殊的事例总结、推广成普遍的和一般性的结论,数学的特点决定了概括在数学思维中占据重要地位。课堂教学中教师有意识地诱导学生概括是发展学生智力、培养学生思维能力的切实有效的方法。在教学中诱导和培养学生的概括能力,是新课改的理念和目标。下面,笔者根据十多年的数学教学经验和近年来对新课改的实践探讨,谈谈自己的浅见:
一、立足教材,充分利用教材资源
要诱导和培养学生的概括能力。首先,要充分利用教材的资源,如新实验教材的背景材料、探究思考材料、“做一做”、“读一读”、“想一想”等信息资源,让学生在自学、讨论、自主探究、合作交流中思考,经历体会,理解消化,动手操作,实践发现,产生惊奇或疑点,进而激活思维,达到抓住问题本质的目的。其次,要利用好生活中的数学事例、学生熟知的知识、经验、手段、工具及策略等直观资源,将学习内容包容其中,让学生去品味、发现,从中获取准确完善的概括所必需的最贴切、最精挑的例证。这样,学生学习和探究有了可行的信息渠道,科学的、准确的概括也就有了保证。要诱导和培养学生的概括能力,教师就要恰当地变换问题情境。学生面对变化了的问题情境,没有显而易见的解决方法,这样的问题情境就是新思维的引线,而问题的解决就是从已知状态到目标状态的运动过程,如果学生概括能力较差,往往抓到的是问题的次要方面或者问题的表面形式,而对问题的主要方面、本质东西却视而不见,针对这种课堂中常常出现的现象,教师应当先出示标准常式,再出示非标准变式,也就是先揭示问题的内涵,后提示概括问题的外延。提供变式素材,教师一定要注意改变事物的非本质属性和非特定情形,不要改变事物的本质属性,这样就使学生的概括直指问题的本质要素。
诱导学生概括,还应借助教材中的原型启发。新实验教材的数与式、方程与方程组、函数与不等式,统计与概率等知识均是学生要理解并掌握的数学原型。学习问题不论如何包装,其原型都是客观存在的,原型中依据的公式、定律、解题方法都自然是可供学生模仿、演绎的模型。数学问题中,就连小学最简单的20以内的进位加法“凑十法”也是地地道道的模型。模型就是可供学生模仿的原型,在思考解决问题时,任何人总要设法将问题分解归结为贮存于记忆中的认知图式或解题模型,在问题探讨解决的教学中,诱导学生进行数学概括时,教师应适时引导学生联想相关模型及其要素,在模型的点化下进行有的放矢的思维。这样可缩短概括过程、提高概括水平。
二、诱导培养学生概括的方法
1、从观察和比较中概括
观察是概括的前提,观察能力直接影响到概括的准度和深度。要让学生养成耐心、精细、认真、全面观察的优良习惯,应从问题的关联方面,多角度、多层次、多要素地去体会感受,然后将各种直觉经验通过比较、检索,去粗取精、去伪存真地深加工,形成本质的概括。如“图形及变换”:学生要想得出准确科学的概括,就得从图形的运动(平移、旋转、轴对称)过程中观察图形的位置变化及大小形状变化,寻求图形运动的规律,从而抓住图形变换的本质。通过观察分析比较图形的位置、大小形状特点,概括图形运动的相同点与不同点,并揭示出不同点在哪里。这样,学生便在一定高度上科学准确地把握、概括图形变换的规律。
2、从类比和归纳中概括
类比是从特殊到特殊的推理,归纳是从特殊到一般的推理,这两种推理的结论都必须进行概括。类比实质上是从提供的原型中找到模型,再利用模型获得新的概括。如:将图形的全等与相似作类比,其相同点为相似,不同点为全等是相似比为1的特殊相似。学生在学习全等时就可以利用相似的方法,将相似的判定及性质有效“嫁接”。对照相似学习全等,学生就会快速掌握全等的规律及性质,概括全等的特性及规律。归纳是构建数学模型中不可缺少的环节。演绎则是对模型的具体应用,新教材内容呈现虽具开放性,但知识的编排仍沿用演绎体系,这在一定程度上降低了概括的过程。因此,教学时教师非常有必要让学生回到问题的情景中,像数学家一样进行探索和概括。借助归纳不仅可以复原结论的形成过程,而且可以归纳概括出一类事物的本质属性,提高归纳概括能力。如:圆弧长及扇形面积公式的推导就可以让学生通过对不同的圆心角所对弧长或所对扇形面积的归纳,概括得出弧长公式及扇形面积公式。
3、从直观与抽象中概括
数学教学中,直观的演示、操作、课件动画为初中学生的概括降低了难度,教材中的几何直观变换、函数的直观图形也为学生学习理解带来了方便。借助“图形”归纳概括出性质及规律是中学数学的重要思想方法。在抽象中概括主要是指联系各独立的数学条文,形成包容度更高的概括,如把有理数的减法统一成加法、除法统一成乘法,就属于这一情形。
4、从小结和评价中概括
数学学习后的小结与评价都需要用概括化的语言表达,数学中每一问题的解决、解题方法的优劣比较、解题过程中的评价也需要用概括的语言来表达。通过概括反思错误、纠正缺失,达到提高的目的。概括的语言锤炼需要一个过程,因此教师必须要有足够的耐心,长期不懈地诱导督促学生坚持下去。
需要指出的是:概括能力的提高与数学阅读息息相关,通过阅读可以提高学生的理解水平。理解水平提高了,概括能力也就有了基础。数学概括是数学语言的物质外化,数学语言充当概括的物质载体。因此,教师要诱导培养学生概括能力,一定要让学生加强阅读历练,提升理解能力。只有这样,学生才能概括准确、表达严谨。
(作者单位:426185湖南省祁阳县文明铺第一中学)
一、立足教材,充分利用教材资源
要诱导和培养学生的概括能力。首先,要充分利用教材的资源,如新实验教材的背景材料、探究思考材料、“做一做”、“读一读”、“想一想”等信息资源,让学生在自学、讨论、自主探究、合作交流中思考,经历体会,理解消化,动手操作,实践发现,产生惊奇或疑点,进而激活思维,达到抓住问题本质的目的。其次,要利用好生活中的数学事例、学生熟知的知识、经验、手段、工具及策略等直观资源,将学习内容包容其中,让学生去品味、发现,从中获取准确完善的概括所必需的最贴切、最精挑的例证。这样,学生学习和探究有了可行的信息渠道,科学的、准确的概括也就有了保证。要诱导和培养学生的概括能力,教师就要恰当地变换问题情境。学生面对变化了的问题情境,没有显而易见的解决方法,这样的问题情境就是新思维的引线,而问题的解决就是从已知状态到目标状态的运动过程,如果学生概括能力较差,往往抓到的是问题的次要方面或者问题的表面形式,而对问题的主要方面、本质东西却视而不见,针对这种课堂中常常出现的现象,教师应当先出示标准常式,再出示非标准变式,也就是先揭示问题的内涵,后提示概括问题的外延。提供变式素材,教师一定要注意改变事物的非本质属性和非特定情形,不要改变事物的本质属性,这样就使学生的概括直指问题的本质要素。
诱导学生概括,还应借助教材中的原型启发。新实验教材的数与式、方程与方程组、函数与不等式,统计与概率等知识均是学生要理解并掌握的数学原型。学习问题不论如何包装,其原型都是客观存在的,原型中依据的公式、定律、解题方法都自然是可供学生模仿、演绎的模型。数学问题中,就连小学最简单的20以内的进位加法“凑十法”也是地地道道的模型。模型就是可供学生模仿的原型,在思考解决问题时,任何人总要设法将问题分解归结为贮存于记忆中的认知图式或解题模型,在问题探讨解决的教学中,诱导学生进行数学概括时,教师应适时引导学生联想相关模型及其要素,在模型的点化下进行有的放矢的思维。这样可缩短概括过程、提高概括水平。
二、诱导培养学生概括的方法
1、从观察和比较中概括
观察是概括的前提,观察能力直接影响到概括的准度和深度。要让学生养成耐心、精细、认真、全面观察的优良习惯,应从问题的关联方面,多角度、多层次、多要素地去体会感受,然后将各种直觉经验通过比较、检索,去粗取精、去伪存真地深加工,形成本质的概括。如“图形及变换”:学生要想得出准确科学的概括,就得从图形的运动(平移、旋转、轴对称)过程中观察图形的位置变化及大小形状变化,寻求图形运动的规律,从而抓住图形变换的本质。通过观察分析比较图形的位置、大小形状特点,概括图形运动的相同点与不同点,并揭示出不同点在哪里。这样,学生便在一定高度上科学准确地把握、概括图形变换的规律。
2、从类比和归纳中概括
类比是从特殊到特殊的推理,归纳是从特殊到一般的推理,这两种推理的结论都必须进行概括。类比实质上是从提供的原型中找到模型,再利用模型获得新的概括。如:将图形的全等与相似作类比,其相同点为相似,不同点为全等是相似比为1的特殊相似。学生在学习全等时就可以利用相似的方法,将相似的判定及性质有效“嫁接”。对照相似学习全等,学生就会快速掌握全等的规律及性质,概括全等的特性及规律。归纳是构建数学模型中不可缺少的环节。演绎则是对模型的具体应用,新教材内容呈现虽具开放性,但知识的编排仍沿用演绎体系,这在一定程度上降低了概括的过程。因此,教学时教师非常有必要让学生回到问题的情景中,像数学家一样进行探索和概括。借助归纳不仅可以复原结论的形成过程,而且可以归纳概括出一类事物的本质属性,提高归纳概括能力。如:圆弧长及扇形面积公式的推导就可以让学生通过对不同的圆心角所对弧长或所对扇形面积的归纳,概括得出弧长公式及扇形面积公式。
3、从直观与抽象中概括
数学教学中,直观的演示、操作、课件动画为初中学生的概括降低了难度,教材中的几何直观变换、函数的直观图形也为学生学习理解带来了方便。借助“图形”归纳概括出性质及规律是中学数学的重要思想方法。在抽象中概括主要是指联系各独立的数学条文,形成包容度更高的概括,如把有理数的减法统一成加法、除法统一成乘法,就属于这一情形。
4、从小结和评价中概括
数学学习后的小结与评价都需要用概括化的语言表达,数学中每一问题的解决、解题方法的优劣比较、解题过程中的评价也需要用概括的语言来表达。通过概括反思错误、纠正缺失,达到提高的目的。概括的语言锤炼需要一个过程,因此教师必须要有足够的耐心,长期不懈地诱导督促学生坚持下去。
需要指出的是:概括能力的提高与数学阅读息息相关,通过阅读可以提高学生的理解水平。理解水平提高了,概括能力也就有了基础。数学概括是数学语言的物质外化,数学语言充当概括的物质载体。因此,教师要诱导培养学生概括能力,一定要让学生加强阅读历练,提升理解能力。只有这样,学生才能概括准确、表达严谨。
(作者单位:426185湖南省祁阳县文明铺第一中学)