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【摘 要】“圆的周长”是图形与几何的重要知识点。本知识点有三个教学难点：化曲为直测量圆周长的方法、发现圆周长与直径的关系、圆周长公式的推导。传统教学常常采用“绕绳”“滚动”等动手实验的方法，让学生多次测量圆的周长与直径或直接告知学生。文章基于课程标准中数学基本活动经验和基本思想方法的培养要求，通过活动单导航、提问链导思，借助Hawgent皓骏动态数学技术，自然破解教学难点的同时，帮助学生积累数学基本活动经验和体悟数学基本思想方法，提升教学有效性，为优化圆周长的教学提供一些参考。
【关键词】圆的周长;活动单;提问链;Hawgent皓骏
【作者简介】陈云，广西科技师范学院教育科学学院教师，研究方向为数学教育;宋佳真，广西师范大学数学与统计学院数学教育硕士研究生;唐剑岚（通讯作者），博士，广西师范大学数学与统计学院硕士研究生导师、教授，主要研究方向为数学课程与教学论、数学教育技术。
【基金项目】小学数学重难点知识可视化设计与应用的研究（桂林市B类课题2016B30）;动态数学技术的创新研究与应用项目（GXSDHX201706） 一、创课背景与问题
“圆的周长”是人教版数学六年级上册第5单元“圆”第二节的内容，是图形与几何的重要知识点。在此之前，学生学习了应用测量方法获取长方形和正方形的周长计算公式。圆作为一种由曲线围成的图形，与直线围成的图形相比，在形状上有很大不同。曲线图形不能直接被测量，这与学生原有的知识经验产生冲突，如何“化曲为直”成为第一个教学难点。即使应用“绕绳”“滚动”等动手实验方法，学生通过多次测量圆的周长与直径，也很难发现圆的周长与直径的关系，因为数据里面隐藏了圆周率的秘密[1][2]，这是第二个教学难点。师生如何类比长方形、正方形周长公式的推导过程发现圆的周长公式，这是第三个教学难点。本文基于《义务教育数学课程标准（2011年版）》中数学基本活动经验和基本思想方法的培养要求，借助Hawgent皓骏动态数学技术，自然破解教学难点的同时，强化学生数学基本活动经验的积累和数学基本思想方法的体悟，提升教学有效性，为优化圆周长的教学提供一些参考。
二、创课设计与实录
《义务教育数学课程标准（2011年版）》指出，基本活动经验是个体在经历了具体的学科活动之后留下的、具有个体特色的内容，既可以是感觉知觉，也可以是经过反省之后形成的经验[3]。本教学设计主要通过活动单导航、提问链导思，促进学生经历“看一看、说一说、验一验”等显性活动，设计“想一想、猜一猜”等隐性活动，借助Hawgent皓骏动态数学技术自然破解教学难点的同时，帮助学生积累数学基本活动经验和体悟数学基本思想方法，努力实现“授人以鱼”的同时实现“授人以渔”和“授人以欲”[4]，提升教学有效性。
首先，设计“忆一忆，想一想”活动，动态呈现长方形与正方形的周长公式推导过程，激活学生原有的知识经验，成为学习新知识的生长点。接着，设计“看一看，说一说”活动，通过“圆的周长是否可以直接用直尺量出来？”等提问链追问学生，并联系学生的生活实际，呈现生活中常见的化曲为直的实例，驱动学生联想绕绳、滚动等方法，实现化曲为直的想法。最后，设计“猜一猜，验一验”活动，再次通过提问链和动态呈现数据分析，促进学生类比长方形、正方形周长公式的推导，引导学生观察、发现数据隐藏的圆周率秘密和圆周长的计算公式。根据上述创课思路，设计如下“圆的周长”教学片段。
1忆一忆，想一想
师：同学们，你们还记得怎样计算长方形和正方形的周长吗？（呈现用直尺测量长方形、正方形周长的动画效果）
小圆：用直尺测量长方形的每条边，然后加起来就是长方形的周长了。
小方：先将长方形和正方形展开成一条线段，再用直尺测量，这条线段就是长方形和正方形的周长了，得到公式C长=2（a+b），C正=4a（动画展开长方形、正方形，闪动长、宽、周长）。
2看一看，说一说
师：这两种方法都是通过直接测量得到的周长。圆是由曲线围成的图形（显示点生成圆的动画），那它的周长是否可以直接用直尺测量出来？如果不能，又有什么办法测量？
小圆：圆的周长好像不能直接用直尺测量出来，怎么办呢？
小方：我们可以将围成圆的曲线变为直线，这样不就可以了吗？
师：小方很有想法！但如何将圆的曲线变为直线呢？其实我们生活中有很多类似的情境，如我们常用的透明胶卷、体育课用的皮尺等（如图1）。看到这些东西，大家有想法了吗？谁来说一说。
小圆：我们可以用一条绳子把圆围一圈，剪掉多余的部分，绳子拉直后测量它的长度，就得到圆的周长了。
（教师同时呈现“绕绳”、绳子展开在直尺上测量的动画效果。）
师：不错的方法，我们常常把这个方法叫做绕绳法（声音突出）！
小方：我也有一个方法，而且不需要绳子。将圆直接在直尺上滚一圈（标记起始点），也可以得到圆的周长。
（教师同时呈现圆在直尺上滚动测量的动画效果。）
师：很好的方法，小方不用绳子也能得到圆的周长。像这样的方法我们叫做滾动法，但要注意在起始位置做好标记！
师：刚才的这些方法为什么能量出圆的周长？其实就是因为曲线围成的圆与直线段可以相互转化。如果一个圆很大，但绳子不够长，而且圆很难滚动，那该如何计算圆的周长呢？看来我们还是有必要去发现、学习计算圆周长的公式。那么，圆周长的公式是什么？是否与长方形、正方形的周长公式有关系呢？
师：其实圆的周长公式与长方形、正方形的周长公式有很密切的关系。长方形的周长是长与宽（声音强调）的和的2倍，即C长=2（a+b）;正方形的周长是边长的4倍，即C正=4a（声音强调）。如图2所示，长方形的周长与它的构成要素——长和宽有关，正方形的周长与它的构成要素边长有关，那么圆的周长与它的构成要素直径或半径是否也有关系？
师：我们用刚才的方法来算一算，并列出表1。（教师边说边动态演示用滚动法测量不同半径的圆，得出周长，如图3。）
3猜一猜，验一验
师：观察这个数据表，大家有什么发现，谁来说一说？
小方：我发现半径越大，直径越大，圆越大，圆的周长也越长，所以圆的周长跟它的半径、直径有关。
师：很好，圆的周长跟它的半径、直径有关。谁还能进一步用数据描述圆的周长与直径的数量关系？
师：是否也像长方形和正方形的周长公式一样，与长和宽或边长有倍数关系呢？
小圆：圆的周长与直径好像也有倍数关系。
师：很好的发现，我们输入不同半径的值，看看直径、周长、周长与直径的比值（展示结果，如表1）有什么变化。大家观察表格中圆的周长与直径的数据，发现它们有什么规律？（教师边说边输入任意值，看各组数据的变化。）
小镜：圆的周长与直径的比值都是一个固定的数，它约等于314。
师：真厉害，这就是表格中隐藏的秘密。圆的周长与直径的比值一直都是一个相对固定的数，它约等于314。在数学中，我们把它叫做圆周率，用希腊字母π表示。
师：2300年前，古希腊数学家阿基米德算出了圆的周长大约是直径的314倍多一些。1700年前，我国魏晋时期的数学家刘徽用“割圆术”计算圆的周长大约是直径的31416倍。在2000年时，科学家用计算机算出了圆周率小数点后14万亿位。（呈现：314159265358979323846264338 3279502884197169399375105820974944592307816406286208998628034825342117067982148086513282 306647093844607550582231……）
师：人类花了2000多年，通过无数科学家的毕生努力，最终达成一个共识——无论是大圆还是小圆，它的周长除以直径都等于一个固定数，即314159……，计算公式是圆周长÷直径=圆周率（314159……），这也就是说圆的周长是直径的π倍。今天我们得出的圆周长公式是：C圆=πd=2πr。
三、创课评析与反思
将“鱼渔欲”三位一体的教学理念结合课程标准理念，再将Hawgent皓骏动态数学技术融入教学中，通过三个活动单导航（忆一忆，想一想→看一看，说一说→猜一猜，验一验）和提问链导思，自然破解教学中的三个难点，强化学生基本活动经验的积累和基本思想方法的体悟，在“授人以鱼”的同时实现授人以“渔与欲”，提升教学有效性。
在破解如何测量圆的周长这一环节，设计了“忆一忆，想一想”活动，通过回顾长方形和正方形周长的两种测量方法，激活学生原有知识与经验的同时，通过提问链“圆是由曲线围成的图形（显示点生成圆的动画），那它的周长是否可以直接用直尺测量出来？如果不能，又有什么办法测量？”激起学生的兴趣和好奇，联想新旧知识之间的联系，找寻测量圆周长的办法。本环节设计在授人以“鱼”的同时具有授人以“欲”的功能。
在破解怎样测量圆的周长这一环节，设计了“看一看，说一说”活动，呈现生活中化曲为直的实例，促使学生类比，自然引导学生说出绕绳法、滚动法等测量圆周长的方法。但绕绳法和滚动法只能测量较小的圆，如何计算所有圆的周长，则需要圆周长的计算公式。本环节设计在授人以“渔”的同时实现了授人以“欲”。
在破解圆周长的公式推导这一环节，设计了“猜一猜，验一验”活动，通过提问链引导学生类比长方形、正方形的周长公式，猜想圆周长与圆的要素（直径或半径）的关系，借助Hawgent皓骏动态数学技术，展示圆半径变化的数据和圆周长的变化，助力学生发现圆的周长与直径的比值的关系，最后讲出圆周率发现的历史故事，在点拨“变中不变”数学思想的同时渗透数学文化。本环节设计具有授人以“鱼”的同时授人以“渔”和“欲”的作用，在破解教学难点、促进学生积累数学基本活动经验和体悟数学基本思想方法的同时，潜移默化地渗透了数学文化，提升了教学有效性。
参考文献：
[1]梁万里.重视几何直观 培养核心素养：以“圓的周长”教学片段为例[J].小学教学参考，2019（6）：24-25.
[2]邱贻根.教不越位 学要到位：“圆的周长”教学设计与评析[J].教学月刊：小学版（数学），2009（4）：33-35.
[3]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2011年版）[S].北京：北京师范大学出版社，2012.
[4]唐剑岚，陈圆.基于“鱼渔欲”三位一体优化教学理念的数学创课设计：以“一次函数的图象与性质”的教学为例[J].中小学课堂教学研究，2017（12）：34-37.
【关键词】圆的周长;活动单;提问链;Hawgent皓骏
【作者简介】陈云，广西科技师范学院教育科学学院教师，研究方向为数学教育;宋佳真，广西师范大学数学与统计学院数学教育硕士研究生;唐剑岚（通讯作者），博士，广西师范大学数学与统计学院硕士研究生导师、教授，主要研究方向为数学课程与教学论、数学教育技术。
【基金项目】小学数学重难点知识可视化设计与应用的研究（桂林市B类课题2016B30）;动态数学技术的创新研究与应用项目（GXSDHX201706） 一、创课背景与问题
“圆的周长”是人教版数学六年级上册第5单元“圆”第二节的内容，是图形与几何的重要知识点。在此之前，学生学习了应用测量方法获取长方形和正方形的周长计算公式。圆作为一种由曲线围成的图形，与直线围成的图形相比，在形状上有很大不同。曲线图形不能直接被测量，这与学生原有的知识经验产生冲突，如何“化曲为直”成为第一个教学难点。即使应用“绕绳”“滚动”等动手实验方法，学生通过多次测量圆的周长与直径，也很难发现圆的周长与直径的关系，因为数据里面隐藏了圆周率的秘密[1][2]，这是第二个教学难点。师生如何类比长方形、正方形周长公式的推导过程发现圆的周长公式，这是第三个教学难点。本文基于《义务教育数学课程标准（2011年版）》中数学基本活动经验和基本思想方法的培养要求，借助Hawgent皓骏动态数学技术，自然破解教学难点的同时，强化学生数学基本活动经验的积累和数学基本思想方法的体悟，提升教学有效性，为优化圆周长的教学提供一些参考。
二、创课设计与实录
《义务教育数学课程标准（2011年版）》指出，基本活动经验是个体在经历了具体的学科活动之后留下的、具有个体特色的内容，既可以是感觉知觉，也可以是经过反省之后形成的经验[3]。本教学设计主要通过活动单导航、提问链导思，促进学生经历“看一看、说一说、验一验”等显性活动，设计“想一想、猜一猜”等隐性活动，借助Hawgent皓骏动态数学技术自然破解教学难点的同时，帮助学生积累数学基本活动经验和体悟数学基本思想方法，努力实现“授人以鱼”的同时实现“授人以渔”和“授人以欲”[4]，提升教学有效性。
首先，设计“忆一忆，想一想”活动，动态呈现长方形与正方形的周长公式推导过程，激活学生原有的知识经验，成为学习新知识的生长点。接着，设计“看一看，说一说”活动，通过“圆的周长是否可以直接用直尺量出来？”等提问链追问学生，并联系学生的生活实际，呈现生活中常见的化曲为直的实例，驱动学生联想绕绳、滚动等方法，实现化曲为直的想法。最后，设计“猜一猜，验一验”活动，再次通过提问链和动态呈现数据分析，促进学生类比长方形、正方形周长公式的推导，引导学生观察、发现数据隐藏的圆周率秘密和圆周长的计算公式。根据上述创课思路，设计如下“圆的周长”教学片段。
1忆一忆，想一想
师：同学们，你们还记得怎样计算长方形和正方形的周长吗？（呈现用直尺测量长方形、正方形周长的动画效果）
小圆：用直尺测量长方形的每条边，然后加起来就是长方形的周长了。
小方：先将长方形和正方形展开成一条线段，再用直尺测量，这条线段就是长方形和正方形的周长了，得到公式C长=2（a+b），C正=4a（动画展开长方形、正方形，闪动长、宽、周长）。
2看一看，说一说
师：这两种方法都是通过直接测量得到的周长。圆是由曲线围成的图形（显示点生成圆的动画），那它的周长是否可以直接用直尺测量出来？如果不能，又有什么办法测量？
小圆：圆的周长好像不能直接用直尺测量出来，怎么办呢？
小方：我们可以将围成圆的曲线变为直线，这样不就可以了吗？
师：小方很有想法！但如何将圆的曲线变为直线呢？其实我们生活中有很多类似的情境，如我们常用的透明胶卷、体育课用的皮尺等（如图1）。看到这些东西，大家有想法了吗？谁来说一说。
小圆：我们可以用一条绳子把圆围一圈，剪掉多余的部分，绳子拉直后测量它的长度，就得到圆的周长了。
（教师同时呈现“绕绳”、绳子展开在直尺上测量的动画效果。）
师：不错的方法，我们常常把这个方法叫做绕绳法（声音突出）！
小方：我也有一个方法，而且不需要绳子。将圆直接在直尺上滚一圈（标记起始点），也可以得到圆的周长。
（教师同时呈现圆在直尺上滚动测量的动画效果。）
师：很好的方法，小方不用绳子也能得到圆的周长。像这样的方法我们叫做滾动法，但要注意在起始位置做好标记！
师：刚才的这些方法为什么能量出圆的周长？其实就是因为曲线围成的圆与直线段可以相互转化。如果一个圆很大，但绳子不够长，而且圆很难滚动，那该如何计算圆的周长呢？看来我们还是有必要去发现、学习计算圆周长的公式。那么，圆周长的公式是什么？是否与长方形、正方形的周长公式有关系呢？
师：其实圆的周长公式与长方形、正方形的周长公式有很密切的关系。长方形的周长是长与宽（声音强调）的和的2倍，即C长=2（a+b）;正方形的周长是边长的4倍，即C正=4a（声音强调）。如图2所示，长方形的周长与它的构成要素——长和宽有关，正方形的周长与它的构成要素边长有关，那么圆的周长与它的构成要素直径或半径是否也有关系？
师：我们用刚才的方法来算一算，并列出表1。（教师边说边动态演示用滚动法测量不同半径的圆，得出周长，如图3。）
3猜一猜，验一验
师：观察这个数据表，大家有什么发现，谁来说一说？
小方：我发现半径越大，直径越大，圆越大，圆的周长也越长，所以圆的周长跟它的半径、直径有关。
师：很好，圆的周长跟它的半径、直径有关。谁还能进一步用数据描述圆的周长与直径的数量关系？
师：是否也像长方形和正方形的周长公式一样，与长和宽或边长有倍数关系呢？
小圆：圆的周长与直径好像也有倍数关系。
师：很好的发现，我们输入不同半径的值，看看直径、周长、周长与直径的比值（展示结果，如表1）有什么变化。大家观察表格中圆的周长与直径的数据，发现它们有什么规律？（教师边说边输入任意值，看各组数据的变化。）
小镜：圆的周长与直径的比值都是一个固定的数，它约等于314。
师：真厉害，这就是表格中隐藏的秘密。圆的周长与直径的比值一直都是一个相对固定的数，它约等于314。在数学中，我们把它叫做圆周率，用希腊字母π表示。
师：2300年前，古希腊数学家阿基米德算出了圆的周长大约是直径的314倍多一些。1700年前，我国魏晋时期的数学家刘徽用“割圆术”计算圆的周长大约是直径的31416倍。在2000年时，科学家用计算机算出了圆周率小数点后14万亿位。（呈现：314159265358979323846264338 3279502884197169399375105820974944592307816406286208998628034825342117067982148086513282 306647093844607550582231……）
师：人类花了2000多年，通过无数科学家的毕生努力，最终达成一个共识——无论是大圆还是小圆，它的周长除以直径都等于一个固定数，即314159……，计算公式是圆周长÷直径=圆周率（314159……），这也就是说圆的周长是直径的π倍。今天我们得出的圆周长公式是：C圆=πd=2πr。
三、创课评析与反思
将“鱼渔欲”三位一体的教学理念结合课程标准理念，再将Hawgent皓骏动态数学技术融入教学中，通过三个活动单导航（忆一忆，想一想→看一看，说一说→猜一猜，验一验）和提问链导思，自然破解教学中的三个难点，强化学生基本活动经验的积累和基本思想方法的体悟，在“授人以鱼”的同时实现授人以“渔与欲”，提升教学有效性。
在破解如何测量圆的周长这一环节，设计了“忆一忆，想一想”活动，通过回顾长方形和正方形周长的两种测量方法，激活学生原有知识与经验的同时，通过提问链“圆是由曲线围成的图形（显示点生成圆的动画），那它的周长是否可以直接用直尺测量出来？如果不能，又有什么办法测量？”激起学生的兴趣和好奇，联想新旧知识之间的联系，找寻测量圆周长的办法。本环节设计在授人以“鱼”的同时具有授人以“欲”的功能。
在破解怎样测量圆的周长这一环节，设计了“看一看，说一说”活动，呈现生活中化曲为直的实例，促使学生类比，自然引导学生说出绕绳法、滚动法等测量圆周长的方法。但绕绳法和滚动法只能测量较小的圆，如何计算所有圆的周长，则需要圆周长的计算公式。本环节设计在授人以“渔”的同时实现了授人以“欲”。
在破解圆周长的公式推导这一环节，设计了“猜一猜，验一验”活动，通过提问链引导学生类比长方形、正方形的周长公式，猜想圆周长与圆的要素（直径或半径）的关系，借助Hawgent皓骏动态数学技术，展示圆半径变化的数据和圆周长的变化，助力学生发现圆的周长与直径的比值的关系，最后讲出圆周率发现的历史故事，在点拨“变中不变”数学思想的同时渗透数学文化。本环节设计具有授人以“鱼”的同时授人以“渔”和“欲”的作用，在破解教学难点、促进学生积累数学基本活动经验和体悟数学基本思想方法的同时，潜移默化地渗透了数学文化，提升了教学有效性。
参考文献：
[1]梁万里.重视几何直观 培养核心素养：以“圓的周长”教学片段为例[J].小学教学参考，2019（6）：24-25.
[2]邱贻根.教不越位 学要到位：“圆的周长”教学设计与评析[J].教学月刊：小学版（数学），2009（4）：33-35.
[3]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2011年版）[S].北京：北京师范大学出版社，2012.
[4]唐剑岚，陈圆.基于“鱼渔欲”三位一体优化教学理念的数学创课设计：以“一次函数的图象与性质”的教学为例[J].中小学课堂教学研究，2017（12）：34-37.