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毕达哥拉斯曾经说过：“一切立体图形中最美的是球形，一切平面图形中最美的是圆.”同学们，当你开始“圆”这一章的学习时就进入了一个神奇美丽的世界，让我们从学习点与圆的位置关系开始吧！
一、 概念释疑
认真的你一定会注意到，在我们的书本上对“圆”给出了两种不同的定义：
1. 把线段OP绕着端点O在平面内旋转一周，端点P运动所形成的图形叫做圆.
2. 圆是到定点的距离等于定长的点的集合.
对于第一种解释大家应该很容易理解，对于第二种定义同学们可能就不太好理解了.通俗地讲集合就是由具有同一属性的对象汇总成的集体，第二种定义的意思就是：圆，只有一个圆心，圆心到圆上各点的长都相等，并且到圆心的距离等于定长的点都在这个圆上.
二、 概念拓展
如果我们在平面上画一个圆，我们可以知道平面内的点与这个圆存在三种位置关系：（1） 点在圆上；（2） 点在圆内；（3） 点在圆外.
由此我们还可以得出两个结论：
1. 圆的内部可以看作是到圆心的距离小于半径的点的集合.
2. 圆的外部可以看作是到圆心的距离大于半径的点的集合.
三、 例题的拓展
苏科版《数学》教科书第39页尝试与交流：
如图1，线段PQ=2 cm.
（1） 画出下列图形：
到点P的距离等于1 cm的点的集合；到点Q的距离等于1.5 cm的点的集合.
（2） 在所画图中，到点P的距离等于1 cm，且到点Q的距离等于1.5 cm的点有几个？请在图中将它们表示出来.
（3） 在所画图中，到点P的距离小于或等于1 cm，且到点Q的距离大于或等于1.5 cm的点的集合是怎样的图形？把它画出来.
【解析】（1） 到点P的距离等于1 cm的点的集合是以P为圆心、1 cm长为半径的圆，到点Q的距离等于1.5 cm的点的集合是以Q为圆心、1.5 cm长为半径的圆，如图2-a；
（2） 满足条件的点有两个，为（1）中两圆的交点M、N，如图2-b；
（3） 由前面的概念可知这样的点既在☉P内或☉P上又得在☉Q外或☉Q上，即为如图2-c的阴影部分（包括边界）.
变式1 圆心位置、半径大小都确定
如图3，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=4，∠A=30°，E、F分别为AB、AC的中点，以B为圆心，BC为半径画圆，试判断点A、C、E、F与☉B的位置关系.
【解析】在Rt△ABC中，∠A=30°，BC=4，所以AB=8>4，则点A在☉B外；很明显，点C在☉B上；BE=AB=4，所以点E在☉B上；连接BF，在Rt△BCF中，BF >BC，所以点F在☉B外.
【点评】现在要判定平面内一点与圆的位置关系，除了通过画图，还可以通过比较该点到圆心的距离与半径的大小来判定，而后者以后会用得更多些.
变式2 圆心位置不变，半径改变
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=4.以B为圆心、r为半径画圆，当r在什么范围时，点C在☉B内，点A在☉B外.
【解析】要使点C在☉B内，r>BC=4；要使点A在☉B外，r 变式3 圆心位置改变，半径不变
如图5，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=4，∠A=30°，点F为AC中点，点P为AB上一动点，以P为圆心、2为半径作☉P，当点P由B→A以1个单位每秒的速度运动（点P到A时运动停止）过程中，点F在☉P内有多少时间？
【解析】由勾股定理易知AC=4，则AF=2.过F作FH⊥AB，可得FH=<2，因此点F一定有一段时间在☉P内.此时只要弄清何时圆心P与点F的距离为2，如图6中的P1、P2的位置.利用勾股定理可得P1H=1，同理P2H=1，则P1 P2=2，而点P以1个单位每秒的速度运动，因此点F在☉P内共2秒.
变式4 圆心位置、半径大小都改变
如图7，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=4，∠A=30°，点F为AC中点，点P为AB上一动点，当点P由B→A以1个单位每秒的速度运动时（点P到A时运动停止），以P为圆心的圆的半径也由0开始以1个单位每秒的速度变大. 在这个过程中，点F在☉P内有多少时间？
【解析】如图8，根据变式3的运算结果，在Rt△AFH中，FH=，AH=3，则HB=5.假设点P运动t秒时点F正好在☉P上，则PB=PF=t，PH=5-t.在Rt△PFH中利用勾股定理可以算得t=2.8.接下来点F一直在☉P内，因此点F在☉P内共8-2.8=5.2（秒）.
同学们有没有发现上面的例子都是万变不离其宗——紧紧围绕着点与圆的位置关系，所以平时大家多积累一定能有更多收获！
（作者单位：江苏省常州市新北区龙虎塘中学）
一、 概念释疑
认真的你一定会注意到，在我们的书本上对“圆”给出了两种不同的定义：
1. 把线段OP绕着端点O在平面内旋转一周，端点P运动所形成的图形叫做圆.
2. 圆是到定点的距离等于定长的点的集合.
对于第一种解释大家应该很容易理解，对于第二种定义同学们可能就不太好理解了.通俗地讲集合就是由具有同一属性的对象汇总成的集体，第二种定义的意思就是：圆，只有一个圆心，圆心到圆上各点的长都相等，并且到圆心的距离等于定长的点都在这个圆上.
二、 概念拓展
如果我们在平面上画一个圆，我们可以知道平面内的点与这个圆存在三种位置关系：（1） 点在圆上；（2） 点在圆内；（3） 点在圆外.
由此我们还可以得出两个结论：
1. 圆的内部可以看作是到圆心的距离小于半径的点的集合.
2. 圆的外部可以看作是到圆心的距离大于半径的点的集合.
三、 例题的拓展
苏科版《数学》教科书第39页尝试与交流：
如图1，线段PQ=2 cm.
（1） 画出下列图形：
到点P的距离等于1 cm的点的集合；到点Q的距离等于1.5 cm的点的集合.
（2） 在所画图中，到点P的距离等于1 cm，且到点Q的距离等于1.5 cm的点有几个？请在图中将它们表示出来.
（3） 在所画图中，到点P的距离小于或等于1 cm，且到点Q的距离大于或等于1.5 cm的点的集合是怎样的图形？把它画出来.
【解析】（1） 到点P的距离等于1 cm的点的集合是以P为圆心、1 cm长为半径的圆，到点Q的距离等于1.5 cm的点的集合是以Q为圆心、1.5 cm长为半径的圆，如图2-a；
（2） 满足条件的点有两个，为（1）中两圆的交点M、N，如图2-b；
（3） 由前面的概念可知这样的点既在☉P内或☉P上又得在☉Q外或☉Q上，即为如图2-c的阴影部分（包括边界）.
变式1 圆心位置、半径大小都确定
如图3，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=4，∠A=30°，E、F分别为AB、AC的中点，以B为圆心，BC为半径画圆，试判断点A、C、E、F与☉B的位置关系.
【解析】在Rt△ABC中，∠A=30°，BC=4，所以AB=8>4，则点A在☉B外；很明显，点C在☉B上；BE=AB=4，所以点E在☉B上；连接BF，在Rt△BCF中，BF >BC，所以点F在☉B外.
【点评】现在要判定平面内一点与圆的位置关系，除了通过画图，还可以通过比较该点到圆心的距离与半径的大小来判定，而后者以后会用得更多些.
变式2 圆心位置不变，半径改变
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=4.以B为圆心、r为半径画圆，当r在什么范围时，点C在☉B内，点A在☉B外.
【解析】要使点C在☉B内，r>BC=4；要使点A在☉B外，r
如图5，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=4，∠A=30°，点F为AC中点，点P为AB上一动点，以P为圆心、2为半径作☉P，当点P由B→A以1个单位每秒的速度运动（点P到A时运动停止）过程中，点F在☉P内有多少时间？
【解析】由勾股定理易知AC=4，则AF=2.过F作FH⊥AB，可得FH=<2，因此点F一定有一段时间在☉P内.此时只要弄清何时圆心P与点F的距离为2，如图6中的P1、P2的位置.利用勾股定理可得P1H=1，同理P2H=1，则P1 P2=2，而点P以1个单位每秒的速度运动，因此点F在☉P内共2秒.
变式4 圆心位置、半径大小都改变
如图7，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=4，∠A=30°，点F为AC中点，点P为AB上一动点，当点P由B→A以1个单位每秒的速度运动时（点P到A时运动停止），以P为圆心的圆的半径也由0开始以1个单位每秒的速度变大. 在这个过程中，点F在☉P内有多少时间？
【解析】如图8，根据变式3的运算结果，在Rt△AFH中，FH=，AH=3，则HB=5.假设点P运动t秒时点F正好在☉P上，则PB=PF=t，PH=5-t.在Rt△PFH中利用勾股定理可以算得t=2.8.接下来点F一直在☉P内，因此点F在☉P内共8-2.8=5.2（秒）.
同学们有没有发现上面的例子都是万变不离其宗——紧紧围绕着点与圆的位置关系，所以平时大家多积累一定能有更多收获！
（作者单位：江苏省常州市新北区龙虎塘中学）