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摘要:本文主要谈了中考中数学探索型问题的分类、解题的思路,以及选用近年来中考中出现的探索型问题来说明如何解答探索型问题。
关键词:中考数学探索问题
中图分类号:G623 文献标识码:A 文章编号:1674-098X(2011)06(c)-0130-01
近年来,中考试题中频频出现探索型问题,这类问题需要学生通过自己的观察、联想、分析、比较、归纳、概括来发现解题条件、结论或结论成立的条件。这类问题有利于学生主体意识及主体能力的形成和发展,有利于培养学生形成独立的价格品质。因此教师在平时的教学中,应从探索此类问题的基本题型入手,向学生阐明解决这类问题的基本思路。
通常情景中的“探索”型问题可以分为如下类型:(1)条件探索型——结论明确,需探索发现使结论成立的条件的题目。(2)规律探索型——在一定的条件状态下,需探索发现有关数学对象所具有的规律性或不变性的题目。(3)存在探索型——在一定的条件下,需探索发现某种数学关系是否存在的题目。
由于题型新颖、综合性强、结构独特等,此类问题的一般解题思路并无固定模式或套路,但是可以从以下几个角度考虑。
(1)利用特殊值进行歸纳、概括,从特殊到一般,从而得出规律。(2)反证法,即假设结论成立,根据假设进行推理,看是推导出矛盾还是能与已知条件一致。(3)分类讨论法。当命题的题设和结论不惟一确定,难以统一解答时,则需要按可能出现的情况做到既不重复也不遗漏,分门别类加以讨论求解,将不同结论综合归纳得出正确结果。(4)类比猜想法。即由一个问题的结论或解决方法类比猜想出另一个类似问题的结论或解决方法,并加以严密的论证。
1 条件探索型
例1:如图1,在△ABC中,AB=AC,D是BC的中点,DE⊥AB,DF⊥AC垂足分别为E、F。
(1)求证:DE=DF;(2)只添加一个条件,使四边形EDFA是正方形。请你至少写出两种不同的添加方法。(不另外添加辅助线,无需证明)
分析:此题第(2)小题是一道条件探索性问题。要使四边形EDFA是正方形,只要根据正方形的判定,就能得出答案。此题答案不唯一,如四边形AFDE是平行四边形;∠A＝90°。(或DE⊥DF或F为AC中点或DF∥AB等)
2 规律探索型
例3:观察下列等式:
1×3＝12+2×1,
2×4＝22+2×2,
3×5＝32+2×3,
……
请你将猜想到的规律用自然数n(n≥1)表示出来:
解:观察比较以上各等式,等式的左端是两个因数的乘积,一个因数依次是1,2,3,…,后一个因数依次是3,4,5,…,它们都是连续的,且后面一个因数比前一个因数均大2;等式的右端是两项的和,前一个加数依次为12,22,32,…,后一个加数依次为连续的自然数2倍。因而猜想到的规律用自然数n(n≥1)表示为:
n(n+2)=n2+2n
例4:如图2,在直角坐标系中,第一次将△OAB变换成△OA1B1,第二次将△OA1B1变换成△OA2B2,第三次将△OA2B2变换成△OA3B3。
已知A(1,3),A1(2,3),A2(4,3),A3(8,3);B(2,0),B1(4,0),B2(8,0),B3(16,0)。
(1)观察每次变换前后的三角形有何变化,找出规律,按此变换规律再将△OA3B3变换成△OA4B4,则A4的坐标是,B4的坐标是。
(2)若按第(1)题找到的规律将△OAB进行了n次变换,得到△OAnBn,比较每次变换中三角形顶点坐标有何变化,找出规律,推测An的坐标是,Bn的坐标是。
分析:认真观察,不难发现,无论△OAB怎样变换,A点和B点的坐标保持不变,横坐标按两部递增(即公比为2),故易得A4的坐标为(16,3),B4的坐标为(32,0),依此规律类推,不难推测出An的坐标为(2n,3),Bn的坐标为(2n+1,0)。
3 存在探索型
例5:如图3,把矩形ABCD折叠使点C落在AB上的C｀处(不与A、B重合),点D落在D｀处,此时,C｀D｀交AD于E,折痕为MN。
(1)如果AB=1,BC=,当点C｀在什么位置时,可使△NBC｀≌△C｀AE?
(2)如果AB=BC=1,使△NBC｀≌△C｀AE的C｀还存在吗？若存在,请求出C｀的位置,若不存在,请说明理由。
解析:(1)当C｀在距A点的时,可使△NBC｀≌△C｀AE。
(3)当矩形ABCD是边长为1的正方形时,假设存在这样的C｀,使△NBC｀≌△C｀AE,设AC｀=x,则有:
==>BC｀=NC｀,这与∠B=90°矛盾,假设错误,故这样的C｀不存在。
解答探索型问题,必须在认真审题的基础上,通过归纳、想象、猜想来进行规律的探索,需要解答者提出观点与看法,并利用旧知识的迁移、类比发现解题方法,或从特殊、简单的情况入手,寻找规律,找到解题方法。此类问题有利于培养学生的发散思维,这也是数学综合应用的能力要求。
关键词:中考数学探索问题
中图分类号:G623 文献标识码:A 文章编号:1674-098X(2011)06(c)-0130-01
近年来,中考试题中频频出现探索型问题,这类问题需要学生通过自己的观察、联想、分析、比较、归纳、概括来发现解题条件、结论或结论成立的条件。这类问题有利于学生主体意识及主体能力的形成和发展,有利于培养学生形成独立的价格品质。因此教师在平时的教学中,应从探索此类问题的基本题型入手,向学生阐明解决这类问题的基本思路。
通常情景中的“探索”型问题可以分为如下类型:(1)条件探索型——结论明确,需探索发现使结论成立的条件的题目。(2)规律探索型——在一定的条件状态下,需探索发现有关数学对象所具有的规律性或不变性的题目。(3)存在探索型——在一定的条件下,需探索发现某种数学关系是否存在的题目。
由于题型新颖、综合性强、结构独特等,此类问题的一般解题思路并无固定模式或套路,但是可以从以下几个角度考虑。
(1)利用特殊值进行歸纳、概括,从特殊到一般,从而得出规律。(2)反证法,即假设结论成立,根据假设进行推理,看是推导出矛盾还是能与已知条件一致。(3)分类讨论法。当命题的题设和结论不惟一确定,难以统一解答时,则需要按可能出现的情况做到既不重复也不遗漏,分门别类加以讨论求解,将不同结论综合归纳得出正确结果。(4)类比猜想法。即由一个问题的结论或解决方法类比猜想出另一个类似问题的结论或解决方法,并加以严密的论证。
1 条件探索型
例1:如图1,在△ABC中,AB=AC,D是BC的中点,DE⊥AB,DF⊥AC垂足分别为E、F。
(1)求证:DE=DF;(2)只添加一个条件,使四边形EDFA是正方形。请你至少写出两种不同的添加方法。(不另外添加辅助线,无需证明)
分析:此题第(2)小题是一道条件探索性问题。要使四边形EDFA是正方形,只要根据正方形的判定,就能得出答案。此题答案不唯一,如四边形AFDE是平行四边形;∠A＝90°。(或DE⊥DF或F为AC中点或DF∥AB等)
2 规律探索型
例3:观察下列等式:
1×3＝12+2×1,
2×4＝22+2×2,
3×5＝32+2×3,
……
请你将猜想到的规律用自然数n(n≥1)表示出来:
解:观察比较以上各等式,等式的左端是两个因数的乘积,一个因数依次是1,2,3,…,后一个因数依次是3,4,5,…,它们都是连续的,且后面一个因数比前一个因数均大2;等式的右端是两项的和,前一个加数依次为12,22,32,…,后一个加数依次为连续的自然数2倍。因而猜想到的规律用自然数n(n≥1)表示为:
n(n+2)=n2+2n
例4:如图2,在直角坐标系中,第一次将△OAB变换成△OA1B1,第二次将△OA1B1变换成△OA2B2,第三次将△OA2B2变换成△OA3B3。
已知A(1,3),A1(2,3),A2(4,3),A3(8,3);B(2,0),B1(4,0),B2(8,0),B3(16,0)。
(1)观察每次变换前后的三角形有何变化,找出规律,按此变换规律再将△OA3B3变换成△OA4B4,则A4的坐标是,B4的坐标是。
(2)若按第(1)题找到的规律将△OAB进行了n次变换,得到△OAnBn,比较每次变换中三角形顶点坐标有何变化,找出规律,推测An的坐标是,Bn的坐标是。
分析:认真观察,不难发现,无论△OAB怎样变换,A点和B点的坐标保持不变,横坐标按两部递增(即公比为2),故易得A4的坐标为(16,3),B4的坐标为(32,0),依此规律类推,不难推测出An的坐标为(2n,3),Bn的坐标为(2n+1,0)。
3 存在探索型
例5:如图3,把矩形ABCD折叠使点C落在AB上的C｀处(不与A、B重合),点D落在D｀处,此时,C｀D｀交AD于E,折痕为MN。
(1)如果AB=1,BC=,当点C｀在什么位置时,可使△NBC｀≌△C｀AE?
(2)如果AB=BC=1,使△NBC｀≌△C｀AE的C｀还存在吗？若存在,请求出C｀的位置,若不存在,请说明理由。
解析:(1)当C｀在距A点的时,可使△NBC｀≌△C｀AE。
(3)当矩形ABCD是边长为1的正方形时,假设存在这样的C｀,使△NBC｀≌△C｀AE,设AC｀=x,则有:
==>BC｀=NC｀,这与∠B=90°矛盾,假设错误,故这样的C｀不存在。
解答探索型问题,必须在认真审题的基础上,通过归纳、想象、猜想来进行规律的探索,需要解答者提出观点与看法,并利用旧知识的迁移、类比发现解题方法,或从特殊、简单的情况入手,寻找规律,找到解题方法。此类问题有利于培养学生的发散思维,这也是数学综合应用的能力要求。