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类比法是人们探索问题、发现问题、解决问题的一个非常有效的方法。学生在运用类比法解决相关问题时候，似乎驾轻就熟，但实质上存在许多盲区和错误。
类比法在学生中存在的主要问题
1.形式上的类比构成错误。如：在解分式不等式时，学生会把分式不等式类比为分式方程来解。
例1： 解不等式[2x 1x-2]>1
分析：分式問题整式化，不少同学会将不等式的两边同时乘以[x-2]，这样就导致结果错误，因为我们没有办法明确[x-2]的正负。若[x-2]是正的，不等号不发生改变；如果[x-2]是负的，不等号要发生改变。
解：∵[2x 1x-2]>1
∴[2x 1x-2]-1>0
∴[x 3x-2]>0
∴（[x 3]）（[x-2]）>0
解得：[x]>2或[x]<-3
故原不等式的解集为：{[x]|[x]>2或[x]<-3}
如果学生类比方程的解法来解分式不等式，那么就会得到错误的结果。
2.学生没有良好的认知结构，导致结论目标发生偏差。如：在平面中，我们有熟悉的结论——同一个平面内，一条直线与两条平行直线中的一条相交，则必与另一条直线相交。如果类比到空间中，则显然不成立。再如：在平面内，若两条直线同时与第三条直线垂直，则这两条直线平行。类比到空间中，则此结论亦错误。
3.类比法是一种猜想，仅简单地用类比的过程代替证明的过程，容易得到一个错误的结论。
例2：判断下列椭圆和圆的交点个数：
2[x]2 [y]2=8，（[x 2]）2 [y]2=15
错解：联立方程
[2x2 y2=8（x 2）2 y2=15]
两式相减消去y，得[x]2-4[x] 3=0
由△>0，得方程有两个不同的解，则椭圆与圆有两个交点。之所以会产生上述的错误，是因为学生在解题时“生搬硬套”，没有认真考虑本道题的特点，盲目类比直线与圆锥曲线的位置关系造成的。
4.消极的定势思维影响，引起负迁移效果，导致表面的类比错误。如许多学生会把求函数的“零点”与求函数与[x]轴“交点”坐标类比，从而导致结果错误。
类比法教学对策
数学家波利亚曾经说过，选出一个类似的、较容易的问题，去解决它，改造它的解法，以便它可以作为一个模型，之后，利用刚建立起来的模型，以达到原来问题的解决。如何有效解决数学中的类比问题，需要做到以下几点：
1.要有正确的类比思维过程
（1）平面中的性质正确地类比到空间中
在运用类比法解决问题中，平面几何与立体几何作类比是常见题型。如何正确地进行类比呢？
例3：（2009年江苏，8）在平面上，若两个正三角形的边长的比是1：2，则它们的面积比为1：4，类似地，在空间，若两个正四面体的棱长的比为1：2，则它们的体积比为 。
解：在空间，若两个正四面体的棱长比为1：2，则它们的底面积之比为1：4，又它们的高之比为1：2，所以它们的体积之比为1：8。
教学中理清平面与空间基本元素、基本量之间，基本图形之间的关系才能认识事物的性质与规律，注意善于运用类比的思想可以帮助学生复习旧知，巩固新知，从而建立良好的认知结构。
（2）在代数中要有缜密的类比推理
例4：定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫作等和数列，这个常数叫作数列的公和。已知数列[an]是等和数列，且[a]1=2，公和为5，那么[a]15的值为 ，这个数列的前n项和Sn的计算公式为 。
分析：本题以“等和数列”为载体，解决的关键是类比所学的等差数列的相关知识及其解题经验，突出创新能力的考察，根据事物之间共同的属性来解决问题。
2.数学思想、方法的类比要合理有效
（1）公式、概念、定理的教学
数学中，有许多公式，概念、定理性质的教学，它们中许多可以相互之间找到影子或者痕迹，所以在授课的时候，教师设计问题必须层层深入，环环相扣，引导学生由表及里深入思考，让学生类比猜出所学新知识的内容，使学生由被动学习变主动学习。如在学习等比数列相关知识的时候，可以类比等差数列学习过程，通过公式的结构相似来记忆等比数列中的公式。再如学习柱体体积公式，可以类比推导锥体体积公式，再如椭圆与双曲线的教学等。
（2）运用生活中的事物或现象进行类比教学
在讲分式不等式的性质“若[a]>[b]>0，[b ca c]>[ba]”时，我们用学生比较熟知的生活常识“糖水加糖甜又甜”来做类比，非常形象生动，学生也易理解，且记得住。但运用类比这种方法时，要正确掌握概念和性质的本质，有区别地认识他们的某种相似，如果上述题目中，把条件“[a]>[b]>0”去掉，就是一个错误的结论。
（3）“数”与“形”相互推测，做到合理类比
例5：已知[ab c]=[bc a]=[ca b]=[K]，求[K]的值。
解：由已知，可设直线[l1]：[ax] [by] [c]=0和直线[l2]：（[b] [c]）[x] （[c] [a]）[y] [a] [b] 0重合，从而（[a] [b] [c]）（[x] [y] [1]）=0
故当（[a] [b] [c]）=0时，[K]=-1；[a] [b] [c]≠0时，[K]=[12]。上述例题中，数与形相互类比，相得益彰，可以使问题迅速得到解决。
类比是数学发现和创造的一种思维方法，特别是在把已知事物的性质推广到类似事物方面有重大作用。在教学中，类比法是一把双刃剑，合理地运用类比法，对提高学生的学习兴趣，思维的发展及能力的提高有着非常大的作用。
（本文系江苏省教育科学“十三五”规划课题2016年度课题（课题立项号D/2016/02/07）“普通高中自主课堂的个性品质与文化境界”的研究成果。）
（作者单位：江苏省南通市通州区金沙中学）
类比法在学生中存在的主要问题
1.形式上的类比构成错误。如：在解分式不等式时，学生会把分式不等式类比为分式方程来解。
例1： 解不等式[2x 1x-2]>1
分析：分式問题整式化，不少同学会将不等式的两边同时乘以[x-2]，这样就导致结果错误，因为我们没有办法明确[x-2]的正负。若[x-2]是正的，不等号不发生改变；如果[x-2]是负的，不等号要发生改变。
解：∵[2x 1x-2]>1
∴[2x 1x-2]-1>0
∴[x 3x-2]>0
∴（[x 3]）（[x-2]）>0
解得：[x]>2或[x]<-3
故原不等式的解集为：{[x]|[x]>2或[x]<-3}
如果学生类比方程的解法来解分式不等式，那么就会得到错误的结果。
2.学生没有良好的认知结构，导致结论目标发生偏差。如：在平面中，我们有熟悉的结论——同一个平面内，一条直线与两条平行直线中的一条相交，则必与另一条直线相交。如果类比到空间中，则显然不成立。再如：在平面内，若两条直线同时与第三条直线垂直，则这两条直线平行。类比到空间中，则此结论亦错误。
3.类比法是一种猜想，仅简单地用类比的过程代替证明的过程，容易得到一个错误的结论。
例2：判断下列椭圆和圆的交点个数：
2[x]2 [y]2=8，（[x 2]）2 [y]2=15
错解：联立方程
[2x2 y2=8（x 2）2 y2=15]
两式相减消去y，得[x]2-4[x] 3=0
由△>0，得方程有两个不同的解，则椭圆与圆有两个交点。之所以会产生上述的错误，是因为学生在解题时“生搬硬套”，没有认真考虑本道题的特点，盲目类比直线与圆锥曲线的位置关系造成的。
4.消极的定势思维影响，引起负迁移效果，导致表面的类比错误。如许多学生会把求函数的“零点”与求函数与[x]轴“交点”坐标类比，从而导致结果错误。
类比法教学对策
数学家波利亚曾经说过，选出一个类似的、较容易的问题，去解决它，改造它的解法，以便它可以作为一个模型，之后，利用刚建立起来的模型，以达到原来问题的解决。如何有效解决数学中的类比问题，需要做到以下几点：
1.要有正确的类比思维过程
（1）平面中的性质正确地类比到空间中
在运用类比法解决问题中，平面几何与立体几何作类比是常见题型。如何正确地进行类比呢？
例3：（2009年江苏，8）在平面上，若两个正三角形的边长的比是1：2，则它们的面积比为1：4，类似地，在空间，若两个正四面体的棱长的比为1：2，则它们的体积比为 。
解：在空间，若两个正四面体的棱长比为1：2，则它们的底面积之比为1：4，又它们的高之比为1：2，所以它们的体积之比为1：8。
教学中理清平面与空间基本元素、基本量之间，基本图形之间的关系才能认识事物的性质与规律，注意善于运用类比的思想可以帮助学生复习旧知，巩固新知，从而建立良好的认知结构。
（2）在代数中要有缜密的类比推理
例4：定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫作等和数列，这个常数叫作数列的公和。已知数列[an]是等和数列，且[a]1=2，公和为5，那么[a]15的值为 ，这个数列的前n项和Sn的计算公式为 。
分析：本题以“等和数列”为载体，解决的关键是类比所学的等差数列的相关知识及其解题经验，突出创新能力的考察，根据事物之间共同的属性来解决问题。
2.数学思想、方法的类比要合理有效
（1）公式、概念、定理的教学
数学中，有许多公式，概念、定理性质的教学，它们中许多可以相互之间找到影子或者痕迹，所以在授课的时候，教师设计问题必须层层深入，环环相扣，引导学生由表及里深入思考，让学生类比猜出所学新知识的内容，使学生由被动学习变主动学习。如在学习等比数列相关知识的时候，可以类比等差数列学习过程，通过公式的结构相似来记忆等比数列中的公式。再如学习柱体体积公式，可以类比推导锥体体积公式，再如椭圆与双曲线的教学等。
（2）运用生活中的事物或现象进行类比教学
在讲分式不等式的性质“若[a]>[b]>0，[b ca c]>[ba]”时，我们用学生比较熟知的生活常识“糖水加糖甜又甜”来做类比，非常形象生动，学生也易理解，且记得住。但运用类比这种方法时，要正确掌握概念和性质的本质，有区别地认识他们的某种相似，如果上述题目中，把条件“[a]>[b]>0”去掉，就是一个错误的结论。
（3）“数”与“形”相互推测，做到合理类比
例5：已知[ab c]=[bc a]=[ca b]=[K]，求[K]的值。
解：由已知，可设直线[l1]：[ax] [by] [c]=0和直线[l2]：（[b] [c]）[x] （[c] [a]）[y] [a] [b] 0重合，从而（[a] [b] [c]）（[x] [y] [1]）=0
故当（[a] [b] [c]）=0时，[K]=-1；[a] [b] [c]≠0时，[K]=[12]。上述例题中，数与形相互类比，相得益彰，可以使问题迅速得到解决。
类比是数学发现和创造的一种思维方法，特别是在把已知事物的性质推广到类似事物方面有重大作用。在教学中，类比法是一把双刃剑，合理地运用类比法，对提高学生的学习兴趣，思维的发展及能力的提高有着非常大的作用。
（本文系江苏省教育科学“十三五”规划课题2016年度课题（课题立项号D/2016/02/07）“普通高中自主课堂的个性品质与文化境界”的研究成果。）
（作者单位：江苏省南通市通州区金沙中学）