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摘 要：本文从数学发展史的三次数学危机说起，就如何提高学生学习《高等数学》的兴趣设计了一堂课的高等数学绪论教案。
关键词：三次数学危机；悖论
从牙牙学语起，我们就同数学打交道。有的人喜欢数学，有的人却视若畏途；有的人从数学学习中获益良多，有的人却说学了十几的数学没看出它有多大用处。这就涉及到两个问题：我们学数学，究竟要学什么，以及怎样学。
进入大学学习阶段，你很快就会发现，过去在中学需要讲一个小时的内容现在也许十分钟就结束了。很多同学一开始会很不适应，有的同学甚至会抱怨大学的教师没有中学的老师讲得好，有点象终于要自己面对碗、筷的孩子，很怀念爷爷、奶奶喂饭的美好时光一样。大学四年究竟要达到一个什么目的？说白了就是一个自学能力，一个凭借自身的努力在知识的海洋中畅游的能力。这就需要养成一个良好的学习习惯和找到一个适合自己的学习方法。
学习方法千变万化，但就数学课程而言，其核心不外乎下列三个环节：
(1) 预习。上课之前先熟悉一下内容，但不是要你看懂所有的东西，而是把不易理解的地方划出来，上课时重点听教员讲这一部分，做到有的放矢。
(2) 消化。课后先对课堂内容做一番梳理，弄清楚本节课所讲的基本概念、基本定理和基本方法，然后再开始做题。
(3) 总结。华罗庚说过，读书就是要把书越读越薄，其本质就是在消化书本内容的基础上把核心内容提炼出来。总结可以围绕上述的“三基”来进行。
有的同学会说，这些过程太慢，学数学有没有好的捷径？如果说学数学还有什么捷径的话，那就不外乎两条路，一是多问，一是善于从错误中学习。现在有个很坏的东西，就是各种常用教材都配上了习题答案，有的同学为了卷面的好看，作业即使想不通也按标准答案写，往往掩盖了自己的错误想法而不能得到及时的纠正。因此，要求大家在做习题时把你的真实的解题思路写下来，即使这个思路是错误的，这样才能看出你对课堂内容究竟有没有真正掌握，以后才能不犯同样的错误。
在基础课程中，数学和外语是两大支柱。如果说外语的功用在于她沟通外部世界的能力的话，那么数学就在于她开发内心世界的能力。下面，我们就从数学史上的几次重大危机入手，来看一看数学家是如何面对历史的挑战，人类是如何不断地在“混沌”中发现“有序”，并逐步把握一把从“自然王国”到“自由王国”的钥匙的。
1．第一次数学危机
作为演绎系统的纯粹数学，来源于古希腊的毕达哥拉斯学派。毕达哥拉斯（Pythagoras，公元前572~公元前497）是西方理论数学的创始人，他所创立的毕达哥拉斯学派是一个政治、宗教、学术合一的秘密团体，他们把几何、算术、天文、音乐称为“四艺” ，并提出了“万物皆数”的著名论断，认为数是宇宙的本原。他们在数学上的一项重大贡献是证明了勾股定理，这一定理虽然早已被中国人和古巴比伦人所熟知，但在西方仍被称为毕达哥拉斯定理。
在毕达哥拉斯眼中，宇宙间的一切现象都可以归结为整数或整数之比（即有理数）， 然而对整数这种尊崇地位的挑战，恰恰就来自于勾股定理，而揭露这一惊天大秘密的，也是来自于毕达哥拉斯学派的希帕索斯（Hippasus）。
让我们来看一个边长为1的正方形，按照勾股定理，它的对角线的长度r应满足r2=2，我们现在知道r= 是一个无理数，它不能表示为整数与整数之比。这一事实的证明用到了数学上一个经典的方法，当我们无法从正面推翻一个结论的话，我们就先假设它是对的，然后从它出发推出矛盾，将其归谬，这就是所谓反证法。
假设存在两个互质的整数a、b，使得（a/b）2=2。由a2=2b2，知a是一个偶数，从而可设a=2m，代入上式，可得b2=2m2，知b也是一个偶数，从而a、b有公因子2，这与a、b互质矛盾，故假设不成立。
无理数的发现，对当时的数学界是一个震惊，这从人们给这类数的命名（irrational number）就可见一斑。为此，希帕索斯被他的同伴扔进了大海。不过有一种说法认为毕达哥拉斯早已知道这一事实，只是为了维护自己的尊严而不肯承认罢了，希帕索斯则是因为泄密而被处死。
2．非欧几何的诞生
第一次数学危机以承认无理数的合法性而结束，同时也导致了数学思想上的一次巨大革命，这就是欧氏几何学的诞生。欧几里得（Euclid，前330~前275）的《几何原本》， 总结了以往希腊人的几何知识，以全新的数学构想创建了一个标准化的演绎体系，其对数学至乃哲学、自然科学的影响一直延续到19世纪，在西方成为仅次于《圣经》而流传最广的书籍。
欧几里得的平面几何学由5个公理、5个公设组成，这些公理、公设大多简单明了，惟独第五公设例外，这就是所谓平行公设。在《几何原本》中，它是被这样描述的：如果两条直线与另一条直线相交，所成的同侧内角的和小于两直角，那么这两条直线在这一侧必相交。
由于这条罗里罗嗦的公设更象是一条定理，人们有理由认为它可以由其他公理和公设推出，两千年来有很多学者试图证明这点，但都失败了。直到19世纪，终于有人开始醒悟，也许这条公设根本就不是一条普遍结论，从而也就无法从其他公理和公设来导出。这些人中，包括著名的德国数学家高斯（Gauss，1777~1855）、俄国数学家罗巴切夫斯基（Lobacevskii，1793~1856）等。
让我们来看一下球面上的几何系统，首先我们需要定义球面上的直线。直线的本质是什么？它是连接其上任意两点间的最短路径。在球面上，所有圆心在球心的大圆都可看作球面上的直线，例如赤道以及过两极的经线等。由于任意两条经线都与赤道垂直，按理它们应该是平行的，然而这两条“平行线”却在北极相交，这与平行公设矛盾。此外，我们还可以看到一些有趣的现象，例如赤道与两条经线所围成的三角形的三个内角之和大于180°等，而这一切却并不影响其他公理与公设的成立。
非欧几何学的创立，打破了两千多年传统空间观念对数学的束缚，导致了几何学新公理化运动的发展，并带动了数学其他学科的公理化浪潮的兴起。
3．第二次数学危机
我们现在所要学的高等数学，本质上就是微积分，而伴随着它的诞生而产生的激烈争论，被称为第二次数学危机。这次危机的萌芽出现在大约公元前450年，古希腊数学家芝诺（Zeno）注意到由于对无限性的理解问题而产生的矛盾，提出了关于时空的有限与无限的4个悖论。
芝诺的第一个悖论是关于跑步人的悖论，人在跑到终点之前必须经过中点，而到达中点之前又必须经过中点的中点，这些中点是没有止境的，所以根本不可能到达终点。第二个悖论是关于阿基里斯的悖论，这位勇士要捉住跑在他前面的
一只海龟。当阿基里斯跑到海龟原来所在的位置时，海龟已向前跑出了一段，当他跑到海龟刚才所在的位置时，海龟又向前跑出了一段，于是阿基里斯永远追不上海龟。第三个悖论是关于飞矢的悖论，由于在每一时刻，飞矢都在空间某个确定的位置，因而“飞矢不动”。第四个悖论的内容与第三个大体相当。
芝诺的悖论在数学王国中激起了一场轩然大波，它说明了希腊人已经看到“无穷小”与“很小很小”的矛盾，但他们无法解决这些矛盾。其后果是：希腊证明几何中从此就排除了无穷小。
到了17世纪下半叶，英国科学家牛顿（Newton，1642~1727）和德国科学家莱布尼兹（Leibniz ,1646~1716）分别从运动学和几何学的角度把各种有关无穷小问题的解法统一成微分法和积分法，形成了无穷小的分析学──微积分这门学科。由于他们建立微积分的出发点是直观的无穷小量，理论基础是不牢固的。以求速度为例，瞬时速度是当△t→0时的值。△t是零，是很小的量，还是别的什么东西？微积分的基础仿佛建在沙滩之上，这引发了数学界乃至哲学界长达一个半世纪的争论，造成了第二次动摇数学理论基础的危机。
无穷小量究竟是不是零？两种答案都会导致矛盾。牛顿曾对它作过三种不同解释：1669年说它是一种常量；1671年又说它是一个趋于零的变量；1676年又说流数（倒数）是“两个正在消逝的量的最终比”。莱布尼兹试图用和无穷小量成比例的有限量的差分来代替无穷小量，但他也没有找到从有限量过渡到无穷小量的桥梁。
英国大主教贝克莱（Berkeley，1685~1753）对当时的微积分发动了猛烈的攻击，他撰文指出：“无穷小既等于零又不等于零，召之即来，挥之即去”，“是消失了的量的鬼魂”。尽管他有自己的宗教目的，但他正确地指出了当时数学家对自己进行的归纳推理的每一步既没有逻辑依据，也没有说明理由。就连当时的一些大数学家如法国的罗尔（Rolle，1652~1719）等也曾批评到：“微积分是巧妙的谬论的汇集。”
这是一个勇于创造的时代，在科学中、逻辑中发生这样那样的问题是难免的，只是数学家们把这种随心所欲发挥到了极至。莱布尼兹在研究级数时，也认为和式1-1+1-1+…=1/2是正确的，并解释说，这就象一件东西，今天放在这个人处，明天放在那个人处，于是相当一人一半。现在稍具数学知识的人都会知道，上述级数是不存在和值的。
直到19世纪20年代，一些数学家才开始关注于微积分的严格基础。柯西（Cauchy，1789~1857）在1821年的《代数分析教程》中从定义变量出发，抓住极限的概念，指出无穷小量和无穷大量都不是固定的量而是变量，无穷小量是以零为极限的变量；阿贝尔（Abel，1802~1829）指出要严格限制滥用级数展开及求和；狄利克雷（Dirichlet，1805~1859）给出了函数的现代定义；维尔斯特拉斯（Weirstrass，1815~1897）给出了现在通用的极限的ε-δ定义、连续的定义，并把导数、积分严格地建立在极限的基础上。
到了19世纪70年代，戴德金（Dedekink，1831~1916）、康托尔（Cantor，1845~1918）建立了实数理论，为数学分析奠定了坚实的基础。从柯西等人的工作开始，到康托尔等人的工作结束，中间经历了半个多世纪，从而有效地克服了危机和矛盾，并导致了集合论的诞生和数学基础问题研究的兴起。
4．第三次数学危机
19世纪末及20世纪初，是数学空前兴旺发达的时期。首先是逻辑的数学化促使了数理逻辑的诞生，而建立在数理逻辑基础上的集合论则奠定了现代数学的基础。一些陈腐的数学哲学观念已被一扫而空，一切不严密的数学概念正在被严格的公理化系统所取代，整个数学界对新世纪充满了乐观的气氛。1900年在巴黎举行的国际数学家大会上，法国数学家庞加莱（Poincare，1854~1912）就曾乐观地宣布，“对于数学而言，一个绝对严格的时代已经来临。”
1903，英国人罗素（Russell，1872~1970）却给所有人泼了一盆冷水。在《数学的原理》一书中，他提出了一个关于集合的著名的悖论，后来他用一个生动的“理发师悖论”来形象地说明这一切。一个乡村理发师在招牌上写着：我给且只给所有自己不给自己刮脸的人刮脸。现在问题来了，他给不给自己刮脸？如果他给自己刮脸，按照他的招牌，他是不给这类人刮脸的，所以他不应该给自己刮脸；如果他不给自己刮脸，按照他的招牌，他必须给这类人刮脸的，所以他又应该给自己刮脸。如果让计算机来处理这一问题的话，就会得到一串不断重复的yes、no，最后只能死机了。
如果用集合的语言来描述，可设R为一切不含自身作为元素的集合所组成的集合，这样的集合在朴素集合论中是合法的，例如一个单点集在当时就被认为是自己属于自己的。现在的问题是，R是否属于R？若R∈R，则R含自身作为元素，故由定义R?埸R；若R?埸R，则R不含自身作为元素，故由定义，R∈R，所以R∈R?圳R?埸R。
罗素悖论是如此的简单明了，动摇了整个数学大厦。德国逻辑学家弗雷格（Frege，1848~1925）在他的巨著《算术的基本定律》第2卷付印的时候，却收到了罗素的来信，只好在书末加上这样一段附言：“一个科学家所遇到的最尴尬的事，莫过于在他的工作行将完成的时候被告之他的基础已经垮掉了。下面是罗素先生的来信……”
数学界在震惊之余，立即开展了大规模的补救活动，其中最常见的就是借助公理化的方法，将造成悖论的集合排斥在集合概念之外，这就有点象要说所有人都是好人，就不承认坏人是人一样，多少有点自欺欺人的味道。
到了1930年，朴素集合论已被公理集合论所代替，悖论所引起的危机被暂时回避，将整个数学理论表现为仅由符号、公式和公理组成的相容的形式系统的计划正在有条不紊地进行，人们又开始相信数学终将会有一个既广阔又严格的基础。在哥尼斯堡会议上，希尔伯特（Hilbert，1832~1943）乐观地说：“我们必须知道，我们将会知道。”然而就在这次会议上，奥地利小伙子哥德尔（Godel，1906~1978）使希尔伯特的这一梦想彻底破灭了。
哥德尔在其有划时代意义的论文中指出：一个包括初等数论的形式系统，如果是相容的则它是不完全的（即在本系统中必存在既无法证明为真，也无法证明为伪的命题），且系统的相容性在本系统内不可能得到证明。哥德尔的不完全性定理结束了由第三次数学危机所带来的关于数学基础的争论，从此数学家认识到，任何旨在建立天衣无缝的形式体系的努力都是徒劳的。
二战爆发后哥德尔辗转来到了美国的普林斯顿高等研究院工作，但由于有人阻扰直到1953年才成为该所教授。1978年他在普林斯顿医院候诊的时候平静地死去，享年72岁。哥德尔死后，美国符号逻辑协会在整理他的遗作时，才发现他在逻辑方面发表的论著，不过20余篇，大都很简短，但却改变了整个数学发展的历程。诚如计算机之父冯·诺伊曼所言，“哥德尔在现代逻辑中的成就是非凡的、不朽的，它是一个里程碑，一个在可以望见的地方和可以望见的未来中永远存在的里程碑。”
磨刀不误砍柴功。一个好的开头，对教育理念的顺利贯彻有着举足轻重的作用，对后继课程的顺利进行起着事半功倍的效果。
数学作为基础科学的领头羊，在素质教育中的作用是不言而喻的。然而，由于受传统教学模式的影响，长期以来我们的基础教育追求知识灌输的大包大揽，使得生动的、充满辩证思维的数学教学被淹没在大量枯燥的公式推导与理论证明之中，束缚了学生独立思考能力和创造性思维的发展。
为了改变这一现状，使学习成为思维的而不再是一种负担，我们在课程的引入方面做了一些有益的尝试，其中最重要的一环就是上好绪论课，使学员及早接受科学精神的熏陶，引发学生的学习兴趣，调动学生的学习潜能。
《高等数学》的绪论课，通过对数学史上的三次重大危机的介绍，使学生了解数学家是如何揭示和解决危机的，在追寻前人如何创造性地分析问题和解决问题的过程中，接受科学的数学思维和数学方法的熏陶，同时还可以在轻松的气氛中很自然地引入高等数学中一些常见的概念（如集合）和方法（如反证法），并通过对微积分学产生过程中矛盾与冲突的描述，为后继课程中函数、极限和导数的科学定义的引入埋下伏笔。
此外，通过对前辈们实事求是的科学态度（如弗雷格对罗素来信的处理），淡泊名利的价值观念（如哥德尔对职称和论文的态度），在如何做学问和如何做人上都给学生以有益的启示。
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关键词：三次数学危机；悖论
从牙牙学语起，我们就同数学打交道。有的人喜欢数学，有的人却视若畏途；有的人从数学学习中获益良多，有的人却说学了十几的数学没看出它有多大用处。这就涉及到两个问题：我们学数学，究竟要学什么，以及怎样学。
进入大学学习阶段，你很快就会发现，过去在中学需要讲一个小时的内容现在也许十分钟就结束了。很多同学一开始会很不适应，有的同学甚至会抱怨大学的教师没有中学的老师讲得好，有点象终于要自己面对碗、筷的孩子，很怀念爷爷、奶奶喂饭的美好时光一样。大学四年究竟要达到一个什么目的？说白了就是一个自学能力，一个凭借自身的努力在知识的海洋中畅游的能力。这就需要养成一个良好的学习习惯和找到一个适合自己的学习方法。
学习方法千变万化，但就数学课程而言，其核心不外乎下列三个环节：
(1) 预习。上课之前先熟悉一下内容，但不是要你看懂所有的东西，而是把不易理解的地方划出来，上课时重点听教员讲这一部分，做到有的放矢。
(2) 消化。课后先对课堂内容做一番梳理，弄清楚本节课所讲的基本概念、基本定理和基本方法，然后再开始做题。
(3) 总结。华罗庚说过，读书就是要把书越读越薄，其本质就是在消化书本内容的基础上把核心内容提炼出来。总结可以围绕上述的“三基”来进行。
有的同学会说，这些过程太慢，学数学有没有好的捷径？如果说学数学还有什么捷径的话，那就不外乎两条路，一是多问，一是善于从错误中学习。现在有个很坏的东西，就是各种常用教材都配上了习题答案，有的同学为了卷面的好看，作业即使想不通也按标准答案写，往往掩盖了自己的错误想法而不能得到及时的纠正。因此，要求大家在做习题时把你的真实的解题思路写下来，即使这个思路是错误的，这样才能看出你对课堂内容究竟有没有真正掌握，以后才能不犯同样的错误。
在基础课程中，数学和外语是两大支柱。如果说外语的功用在于她沟通外部世界的能力的话，那么数学就在于她开发内心世界的能力。下面，我们就从数学史上的几次重大危机入手，来看一看数学家是如何面对历史的挑战，人类是如何不断地在“混沌”中发现“有序”，并逐步把握一把从“自然王国”到“自由王国”的钥匙的。
1．第一次数学危机
作为演绎系统的纯粹数学，来源于古希腊的毕达哥拉斯学派。毕达哥拉斯（Pythagoras，公元前572~公元前497）是西方理论数学的创始人，他所创立的毕达哥拉斯学派是一个政治、宗教、学术合一的秘密团体，他们把几何、算术、天文、音乐称为“四艺” ，并提出了“万物皆数”的著名论断，认为数是宇宙的本原。他们在数学上的一项重大贡献是证明了勾股定理，这一定理虽然早已被中国人和古巴比伦人所熟知，但在西方仍被称为毕达哥拉斯定理。
在毕达哥拉斯眼中，宇宙间的一切现象都可以归结为整数或整数之比（即有理数）， 然而对整数这种尊崇地位的挑战，恰恰就来自于勾股定理，而揭露这一惊天大秘密的，也是来自于毕达哥拉斯学派的希帕索斯（Hippasus）。
让我们来看一个边长为1的正方形，按照勾股定理，它的对角线的长度r应满足r2=2，我们现在知道r= 是一个无理数，它不能表示为整数与整数之比。这一事实的证明用到了数学上一个经典的方法，当我们无法从正面推翻一个结论的话，我们就先假设它是对的，然后从它出发推出矛盾，将其归谬，这就是所谓反证法。
假设存在两个互质的整数a、b，使得（a/b）2=2。由a2=2b2，知a是一个偶数，从而可设a=2m，代入上式，可得b2=2m2，知b也是一个偶数，从而a、b有公因子2，这与a、b互质矛盾，故假设不成立。
无理数的发现，对当时的数学界是一个震惊，这从人们给这类数的命名（irrational number）就可见一斑。为此，希帕索斯被他的同伴扔进了大海。不过有一种说法认为毕达哥拉斯早已知道这一事实，只是为了维护自己的尊严而不肯承认罢了，希帕索斯则是因为泄密而被处死。
2．非欧几何的诞生
第一次数学危机以承认无理数的合法性而结束，同时也导致了数学思想上的一次巨大革命，这就是欧氏几何学的诞生。欧几里得（Euclid，前330~前275）的《几何原本》， 总结了以往希腊人的几何知识，以全新的数学构想创建了一个标准化的演绎体系，其对数学至乃哲学、自然科学的影响一直延续到19世纪，在西方成为仅次于《圣经》而流传最广的书籍。
欧几里得的平面几何学由5个公理、5个公设组成，这些公理、公设大多简单明了，惟独第五公设例外，这就是所谓平行公设。在《几何原本》中，它是被这样描述的：如果两条直线与另一条直线相交，所成的同侧内角的和小于两直角，那么这两条直线在这一侧必相交。
由于这条罗里罗嗦的公设更象是一条定理，人们有理由认为它可以由其他公理和公设推出，两千年来有很多学者试图证明这点，但都失败了。直到19世纪，终于有人开始醒悟，也许这条公设根本就不是一条普遍结论，从而也就无法从其他公理和公设来导出。这些人中，包括著名的德国数学家高斯（Gauss，1777~1855）、俄国数学家罗巴切夫斯基（Lobacevskii，1793~1856）等。
让我们来看一下球面上的几何系统，首先我们需要定义球面上的直线。直线的本质是什么？它是连接其上任意两点间的最短路径。在球面上，所有圆心在球心的大圆都可看作球面上的直线，例如赤道以及过两极的经线等。由于任意两条经线都与赤道垂直，按理它们应该是平行的，然而这两条“平行线”却在北极相交，这与平行公设矛盾。此外，我们还可以看到一些有趣的现象，例如赤道与两条经线所围成的三角形的三个内角之和大于180°等，而这一切却并不影响其他公理与公设的成立。
非欧几何学的创立，打破了两千多年传统空间观念对数学的束缚，导致了几何学新公理化运动的发展，并带动了数学其他学科的公理化浪潮的兴起。
3．第二次数学危机
我们现在所要学的高等数学，本质上就是微积分，而伴随着它的诞生而产生的激烈争论，被称为第二次数学危机。这次危机的萌芽出现在大约公元前450年，古希腊数学家芝诺（Zeno）注意到由于对无限性的理解问题而产生的矛盾，提出了关于时空的有限与无限的4个悖论。
芝诺的第一个悖论是关于跑步人的悖论，人在跑到终点之前必须经过中点，而到达中点之前又必须经过中点的中点，这些中点是没有止境的，所以根本不可能到达终点。第二个悖论是关于阿基里斯的悖论，这位勇士要捉住跑在他前面的
一只海龟。当阿基里斯跑到海龟原来所在的位置时，海龟已向前跑出了一段，当他跑到海龟刚才所在的位置时，海龟又向前跑出了一段，于是阿基里斯永远追不上海龟。第三个悖论是关于飞矢的悖论，由于在每一时刻，飞矢都在空间某个确定的位置，因而“飞矢不动”。第四个悖论的内容与第三个大体相当。
芝诺的悖论在数学王国中激起了一场轩然大波，它说明了希腊人已经看到“无穷小”与“很小很小”的矛盾，但他们无法解决这些矛盾。其后果是：希腊证明几何中从此就排除了无穷小。
到了17世纪下半叶，英国科学家牛顿（Newton，1642~1727）和德国科学家莱布尼兹（Leibniz ,1646~1716）分别从运动学和几何学的角度把各种有关无穷小问题的解法统一成微分法和积分法，形成了无穷小的分析学──微积分这门学科。由于他们建立微积分的出发点是直观的无穷小量，理论基础是不牢固的。以求速度为例，瞬时速度是当△t→0时的值。△t是零，是很小的量，还是别的什么东西？微积分的基础仿佛建在沙滩之上，这引发了数学界乃至哲学界长达一个半世纪的争论，造成了第二次动摇数学理论基础的危机。
无穷小量究竟是不是零？两种答案都会导致矛盾。牛顿曾对它作过三种不同解释：1669年说它是一种常量；1671年又说它是一个趋于零的变量；1676年又说流数（倒数）是“两个正在消逝的量的最终比”。莱布尼兹试图用和无穷小量成比例的有限量的差分来代替无穷小量，但他也没有找到从有限量过渡到无穷小量的桥梁。
英国大主教贝克莱（Berkeley，1685~1753）对当时的微积分发动了猛烈的攻击，他撰文指出：“无穷小既等于零又不等于零，召之即来，挥之即去”，“是消失了的量的鬼魂”。尽管他有自己的宗教目的，但他正确地指出了当时数学家对自己进行的归纳推理的每一步既没有逻辑依据，也没有说明理由。就连当时的一些大数学家如法国的罗尔（Rolle，1652~1719）等也曾批评到：“微积分是巧妙的谬论的汇集。”
这是一个勇于创造的时代，在科学中、逻辑中发生这样那样的问题是难免的，只是数学家们把这种随心所欲发挥到了极至。莱布尼兹在研究级数时，也认为和式1-1+1-1+…=1/2是正确的，并解释说，这就象一件东西，今天放在这个人处，明天放在那个人处，于是相当一人一半。现在稍具数学知识的人都会知道，上述级数是不存在和值的。
直到19世纪20年代，一些数学家才开始关注于微积分的严格基础。柯西（Cauchy，1789~1857）在1821年的《代数分析教程》中从定义变量出发，抓住极限的概念，指出无穷小量和无穷大量都不是固定的量而是变量，无穷小量是以零为极限的变量；阿贝尔（Abel，1802~1829）指出要严格限制滥用级数展开及求和；狄利克雷（Dirichlet，1805~1859）给出了函数的现代定义；维尔斯特拉斯（Weirstrass，1815~1897）给出了现在通用的极限的ε-δ定义、连续的定义，并把导数、积分严格地建立在极限的基础上。
到了19世纪70年代，戴德金（Dedekink，1831~1916）、康托尔（Cantor，1845~1918）建立了实数理论，为数学分析奠定了坚实的基础。从柯西等人的工作开始，到康托尔等人的工作结束，中间经历了半个多世纪，从而有效地克服了危机和矛盾，并导致了集合论的诞生和数学基础问题研究的兴起。
4．第三次数学危机
19世纪末及20世纪初，是数学空前兴旺发达的时期。首先是逻辑的数学化促使了数理逻辑的诞生，而建立在数理逻辑基础上的集合论则奠定了现代数学的基础。一些陈腐的数学哲学观念已被一扫而空，一切不严密的数学概念正在被严格的公理化系统所取代，整个数学界对新世纪充满了乐观的气氛。1900年在巴黎举行的国际数学家大会上，法国数学家庞加莱（Poincare，1854~1912）就曾乐观地宣布，“对于数学而言，一个绝对严格的时代已经来临。”
1903，英国人罗素（Russell，1872~1970）却给所有人泼了一盆冷水。在《数学的原理》一书中，他提出了一个关于集合的著名的悖论，后来他用一个生动的“理发师悖论”来形象地说明这一切。一个乡村理发师在招牌上写着：我给且只给所有自己不给自己刮脸的人刮脸。现在问题来了，他给不给自己刮脸？如果他给自己刮脸，按照他的招牌，他是不给这类人刮脸的，所以他不应该给自己刮脸；如果他不给自己刮脸，按照他的招牌，他必须给这类人刮脸的，所以他又应该给自己刮脸。如果让计算机来处理这一问题的话，就会得到一串不断重复的yes、no，最后只能死机了。
如果用集合的语言来描述，可设R为一切不含自身作为元素的集合所组成的集合，这样的集合在朴素集合论中是合法的，例如一个单点集在当时就被认为是自己属于自己的。现在的问题是，R是否属于R？若R∈R，则R含自身作为元素，故由定义R?埸R；若R?埸R，则R不含自身作为元素，故由定义，R∈R，所以R∈R?圳R?埸R。
罗素悖论是如此的简单明了，动摇了整个数学大厦。德国逻辑学家弗雷格（Frege，1848~1925）在他的巨著《算术的基本定律》第2卷付印的时候，却收到了罗素的来信，只好在书末加上这样一段附言：“一个科学家所遇到的最尴尬的事，莫过于在他的工作行将完成的时候被告之他的基础已经垮掉了。下面是罗素先生的来信……”
数学界在震惊之余，立即开展了大规模的补救活动，其中最常见的就是借助公理化的方法，将造成悖论的集合排斥在集合概念之外，这就有点象要说所有人都是好人，就不承认坏人是人一样，多少有点自欺欺人的味道。
到了1930年，朴素集合论已被公理集合论所代替，悖论所引起的危机被暂时回避，将整个数学理论表现为仅由符号、公式和公理组成的相容的形式系统的计划正在有条不紊地进行，人们又开始相信数学终将会有一个既广阔又严格的基础。在哥尼斯堡会议上，希尔伯特（Hilbert，1832~1943）乐观地说：“我们必须知道，我们将会知道。”然而就在这次会议上，奥地利小伙子哥德尔（Godel，1906~1978）使希尔伯特的这一梦想彻底破灭了。
哥德尔在其有划时代意义的论文中指出：一个包括初等数论的形式系统，如果是相容的则它是不完全的（即在本系统中必存在既无法证明为真，也无法证明为伪的命题），且系统的相容性在本系统内不可能得到证明。哥德尔的不完全性定理结束了由第三次数学危机所带来的关于数学基础的争论，从此数学家认识到，任何旨在建立天衣无缝的形式体系的努力都是徒劳的。
二战爆发后哥德尔辗转来到了美国的普林斯顿高等研究院工作，但由于有人阻扰直到1953年才成为该所教授。1978年他在普林斯顿医院候诊的时候平静地死去，享年72岁。哥德尔死后，美国符号逻辑协会在整理他的遗作时，才发现他在逻辑方面发表的论著，不过20余篇，大都很简短，但却改变了整个数学发展的历程。诚如计算机之父冯·诺伊曼所言，“哥德尔在现代逻辑中的成就是非凡的、不朽的，它是一个里程碑，一个在可以望见的地方和可以望见的未来中永远存在的里程碑。”
磨刀不误砍柴功。一个好的开头，对教育理念的顺利贯彻有着举足轻重的作用，对后继课程的顺利进行起着事半功倍的效果。
数学作为基础科学的领头羊，在素质教育中的作用是不言而喻的。然而，由于受传统教学模式的影响，长期以来我们的基础教育追求知识灌输的大包大揽，使得生动的、充满辩证思维的数学教学被淹没在大量枯燥的公式推导与理论证明之中，束缚了学生独立思考能力和创造性思维的发展。
为了改变这一现状，使学习成为思维的而不再是一种负担，我们在课程的引入方面做了一些有益的尝试，其中最重要的一环就是上好绪论课，使学员及早接受科学精神的熏陶，引发学生的学习兴趣，调动学生的学习潜能。
《高等数学》的绪论课，通过对数学史上的三次重大危机的介绍，使学生了解数学家是如何揭示和解决危机的，在追寻前人如何创造性地分析问题和解决问题的过程中，接受科学的数学思维和数学方法的熏陶，同时还可以在轻松的气氛中很自然地引入高等数学中一些常见的概念（如集合）和方法（如反证法），并通过对微积分学产生过程中矛盾与冲突的描述，为后继课程中函数、极限和导数的科学定义的引入埋下伏笔。
此外，通过对前辈们实事求是的科学态度（如弗雷格对罗素来信的处理），淡泊名利的价值观念（如哥德尔对职称和论文的态度），在如何做学问和如何做人上都给学生以有益的启示。
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