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摘要：动点问题指的是坐标系或平面几何图形中的一个点进行变化的问题，一般是应用题的最后一问，属于比较难的题目，而近年来动点问题有越来越基础化的趋势，开始出现在填空题和选择题中，所以教师在动点问题教学中一定要格外重视，让每一名学生了解解题原理，明确解题思路，用“以静制动”的思路来解决此类问题。本文从三种题型角度进行举例和阐述，以求各位教师能够更加高效地进行教学，望给予教师参考。
关键词：以静制动;初中数学;动点问题;举例
引言：“以静制动”指的是以理论知识为基础，举一些实际的、简单易懂的例子，让学生初步理解定义，然后教师再将题目代入，以便学生能够更好地理解。在动点问题教学过程中，我们教师要抓住题目思路的基本点，即点在运动中达到的特殊位置，从而让学生能够顺利展开空间想象能力，进而有思考和分析的过程，有了关键的解题点，动点问题将迎刃而解。
一、动点问题的题型和解题注意事项
动点问题的归根到底是几何问题，学生必须要理解几何图形的基本性质，并且能够很好地运用起来，才能进行进一步的探讨[1]。动点问题涉及的图形一般是四边形和三角形，常见的运用到题目中的图形有平行四边形、菱形、矩形、正方形。动点问题的解题要注意以下几点：①设出未知数，动点问题可能求点运动的时间，也有可能求点运动的长度，学生要根据未知量设置相应的未知数，以便进行接下来的计算;②找等量关系，等量关系一般指的是边长相同、速度×时间=距离、中点平分线段等，在解题过程中学生要善于挖掘这些信息，多运用方程解决问题;③分类讨论，因为一些题目不会直接说出点的运动方向，所以需要分类讨论点的运动情况，很多学生会掉进题目的陷阱，只考虑了一种运动情况，教师在教学过程中要格外注意[2]。
二、动点问题的举例和分析
1. 平行四边形的动点问题
【例】四边形ABCD是菱形，P是边AD上的点，点P从点A出发，沿射线AD运动，速度是1厘米/秒，Q是边BC上的点，点Q从点B出发，沿射线BC运动，速度是2厘米/秒，BC的长度是5厘米.
（1）已知∠B是60°，连接PQ，设点G是BD的中点，当PQ经过点G时，求证：△DGP≌△BGQ;
（2）设两个动点P，Q的运动时间是t，当四边形ACFE是平行四边形时，求出t的值.
【分析】第（1）问是比较基础的平行和全等三角形问题，根据BG=DG、AD∥BC、∠DPG=∠BQG，运用“角角边”定则就可以得出两个三角形是全等三角形。第（2）问就涉及到上文提到的分类讨论，因为Q的运动方向没有明确给出，所以Q可能在C的左侧，也有可能在C的右侧，当图形是平行四边形时，AP=CQ，根据这个等式列方程，最后求出答案。解第（2）问时运用了平行四边形的对边相等的特征。
2. 菱形的动点问题
【例】如图，在等边△ABC中，∠B是直角，∠A=60°，边CA长60厘米，点M是边CA上的一个动点，它从点C出发，沿CA方向以6厘米/秒的速度匀速向点A運动，与此同时，点P是边AB上的一个动点，它从点A出发，沿AB方向以3厘米/秒的速度匀速向点B运动，两个动点若有其中任意一个点停下，那么另一个点也立即终止运动.过点M作MQ⊥BC于点Q，连接MP，PQ.
（1）设两个动点P，M的运动时间是t，并且t小于等于10秒，求出t的值，使四边形AMQP成为菱形;
（2）求出t的值，使△MPQ为直角三角形.
【分析】第（1）问涉及到平行四边形的证明、菱形的特征，若四边形APQD是菱形，那么AP=AM，可以列出方程60-6t=3t，解方程回答问题。第（2）问涉及到分类讨论，三角形分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，当P点运动到某一个位置时，△MPQ是特殊的直角三角形，三个顶点都有可能是直角点，需要分类说明，这道题考查了直角三角形的性质，用方程可以得出最后的结果。
3. 矩形的动点问题
【例】如图，在矩形ABCD中，AB= 2cm BC= 4cm点P从点D出发向点A运动，运动到点A即停止;同时点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P，Q的速度都是1cm/s，连接PQ、AQ、CP.设点P、Q运动的时间为ts.
（1）当t为何值时，四边形ABQP是矩形;
（2）当t为何值时，四边形AQCP是菱形.
【分析】这道题涉及到矩形和菱形的特征，即矩形的对边相等，菱形的四条边相等，对角线互相垂直，所以第（1）问可得方程t=4-t，解方程回答问题，第（2）问可根据勾股定理，列方程√2?+t?=4-t，解方程回答问题。
结束语：虽然动点问题有一个固定的思考方向，但是具体的解题思路还是各有不同，所以教师要督促学生们将新的动点问题题型记录下来，经常拿出来练习，这样才能用灵活的思路面对有可能出现的各种题型。我们教师教给学生对不是题目的答案，而是数学的思维方式，只有培养出学生的数学思维，才能提高他们的数学素质，让他们用更加完善的思维面对今后的学习。
参考文献：
[1].何华萍. 画图 转化 讨论——例谈初中数学"动点问题"的解题指导策略[J]. 数学教学通讯，2020（5）：87-88.
[2].系艳清. 探索一类动点轨迹问题的解决方法[J]. 数学通讯，2020（3）：15-18.
重庆市涪陵第十四中学校 重庆市涪陵 408000
关键词：以静制动;初中数学;动点问题;举例
引言：“以静制动”指的是以理论知识为基础，举一些实际的、简单易懂的例子，让学生初步理解定义，然后教师再将题目代入，以便学生能够更好地理解。在动点问题教学过程中，我们教师要抓住题目思路的基本点，即点在运动中达到的特殊位置，从而让学生能够顺利展开空间想象能力，进而有思考和分析的过程，有了关键的解题点，动点问题将迎刃而解。
一、动点问题的题型和解题注意事项
动点问题的归根到底是几何问题，学生必须要理解几何图形的基本性质，并且能够很好地运用起来，才能进行进一步的探讨[1]。动点问题涉及的图形一般是四边形和三角形，常见的运用到题目中的图形有平行四边形、菱形、矩形、正方形。动点问题的解题要注意以下几点：①设出未知数，动点问题可能求点运动的时间，也有可能求点运动的长度，学生要根据未知量设置相应的未知数，以便进行接下来的计算;②找等量关系，等量关系一般指的是边长相同、速度×时间=距离、中点平分线段等，在解题过程中学生要善于挖掘这些信息，多运用方程解决问题;③分类讨论，因为一些题目不会直接说出点的运动方向，所以需要分类讨论点的运动情况，很多学生会掉进题目的陷阱，只考虑了一种运动情况，教师在教学过程中要格外注意[2]。
二、动点问题的举例和分析
1. 平行四边形的动点问题
【例】四边形ABCD是菱形，P是边AD上的点，点P从点A出发，沿射线AD运动，速度是1厘米/秒，Q是边BC上的点，点Q从点B出发，沿射线BC运动，速度是2厘米/秒，BC的长度是5厘米.
（1）已知∠B是60°，连接PQ，设点G是BD的中点，当PQ经过点G时，求证：△DGP≌△BGQ;
（2）设两个动点P，Q的运动时间是t，当四边形ACFE是平行四边形时，求出t的值.
【分析】第（1）问是比较基础的平行和全等三角形问题，根据BG=DG、AD∥BC、∠DPG=∠BQG，运用“角角边”定则就可以得出两个三角形是全等三角形。第（2）问就涉及到上文提到的分类讨论，因为Q的运动方向没有明确给出，所以Q可能在C的左侧，也有可能在C的右侧，当图形是平行四边形时，AP=CQ，根据这个等式列方程，最后求出答案。解第（2）问时运用了平行四边形的对边相等的特征。
2. 菱形的动点问题
【例】如图，在等边△ABC中，∠B是直角，∠A=60°，边CA长60厘米，点M是边CA上的一个动点，它从点C出发，沿CA方向以6厘米/秒的速度匀速向点A運动，与此同时，点P是边AB上的一个动点，它从点A出发，沿AB方向以3厘米/秒的速度匀速向点B运动，两个动点若有其中任意一个点停下，那么另一个点也立即终止运动.过点M作MQ⊥BC于点Q，连接MP，PQ.
（1）设两个动点P，M的运动时间是t，并且t小于等于10秒，求出t的值，使四边形AMQP成为菱形;
（2）求出t的值，使△MPQ为直角三角形.
【分析】第（1）问涉及到平行四边形的证明、菱形的特征，若四边形APQD是菱形，那么AP=AM，可以列出方程60-6t=3t，解方程回答问题。第（2）问涉及到分类讨论，三角形分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，当P点运动到某一个位置时，△MPQ是特殊的直角三角形，三个顶点都有可能是直角点，需要分类说明，这道题考查了直角三角形的性质，用方程可以得出最后的结果。
3. 矩形的动点问题
【例】如图，在矩形ABCD中，AB= 2cm BC= 4cm点P从点D出发向点A运动，运动到点A即停止;同时点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P，Q的速度都是1cm/s，连接PQ、AQ、CP.设点P、Q运动的时间为ts.
（1）当t为何值时，四边形ABQP是矩形;
（2）当t为何值时，四边形AQCP是菱形.
【分析】这道题涉及到矩形和菱形的特征，即矩形的对边相等，菱形的四条边相等，对角线互相垂直，所以第（1）问可得方程t=4-t，解方程回答问题，第（2）问可根据勾股定理，列方程√2?+t?=4-t，解方程回答问题。
结束语：虽然动点问题有一个固定的思考方向，但是具体的解题思路还是各有不同，所以教师要督促学生们将新的动点问题题型记录下来，经常拿出来练习，这样才能用灵活的思路面对有可能出现的各种题型。我们教师教给学生对不是题目的答案，而是数学的思维方式，只有培养出学生的数学思维，才能提高他们的数学素质，让他们用更加完善的思维面对今后的学习。
参考文献：
[1].何华萍. 画图 转化 讨论——例谈初中数学"动点问题"的解题指导策略[J]. 数学教学通讯，2020（5）：87-88.
[2].系艳清. 探索一类动点轨迹问题的解决方法[J]. 数学通讯，2020（3）：15-18.
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