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摘 要： 本文作者对新课标下高中的数学学习的特点和理论进行了阐述，提出有效学习数学的两种做法：形成良好的数学认知结构，增强数学迁移，并对新课标下的高中数学学习注意的问题进行了补充说明。
关键词： 新课标 数学学习 特点与理论 有效学习策略
2000年召开的第九届国际数学教育大会指出，上世纪80年代以前数学教育的研究主要围绕数学课程与教学方法进行，80年代以后对数学学习过程的研究开始兴起。长期以来，我国在中学数学对于学生学习的研究则十分薄弱。教育部关于《普通高中数学课程标准(实验)》的制定和新课程的逐步实施，使得我国的数学基础教育正大踏步地赶上世界数学教育发展的潮流，促使数学教育工作者加快对高中学生数学学习理论和实践的研究。
一、新课标下数学学习的特点与理论
学习是一种活动，是获得经验与行为变化的过程。也就是说，并非所有的行为变化都是学习，只有在积累知识经验基础上的行为变化才是学习，而且学习是一个不断渐进提高的过程。
高中数学学习是学生学习的一个重要组成部分，学生依据数学课程标准，按照一定的目的、内容、要求，系统地掌握数学知识与技能的过程。并在这一过程中，注重提高学生数学思维能力、发展学生的数学应用意识、养成良好的数学心理品质［１］。数学学习除了具有学生学习的一般特点外，还有以下三个显著特点：（一）是一种科学的公共语言学习；由数学符号，以及它们的各种有机组合所构成的数学，可以反映存在于现实世界中的一些关系和形式，因此，它是一种语言，且被广泛运用于各门科学。（二）学生学习数学必须具备较强的抽象概括能力。（三）最有利于学生推理能力的发展。数学是一门建立在公理体系基础上，一切结论都需加以严格的证明。数学证明所采用的逻辑形式最基本、最主要的就是三段论（大前提、小前提和结论的论证）。学生在高中新课程中的数学学习中，反复学习使用三段论来解答各种数学问题，这对于他们推理能力的发展无疑是极其有利的。
近代国外的数学学习理论发展较快，学术派别众多，主要有以下基本观点。
（一）当代著名的儿童心理学家或发生认识论专家瑞士心理学家皮亚杰（J.Piaget），提出关于智力发展的基本观点：图式，同化，顺应和平衡。在数学学习中，“学习要有准备”，理解的学习才是真正的学习。
（二）美国当代认知心理学的代表人物之一奥苏伯尔（D.P.Ausubel）提出有意义言语学习理论，又称认知同化理论。它的理论为数学学习提供了心理学依据，并提出数学概念学习中的三种同化模式：①下位学习模式（同化），例如复数→实数性质、法则、运用；②上位学习模式（顺应），例如函数→运算、关系、映射；③并列结合学习模式（联合），例如函数图像就是函数式与几何图形的并列结合；曲线方程就是几何与代数的并列结合。
（三）美国当代著名心理学家加涅（R.M.Gagne）提出累积学习的模式，学习任何一种新的知识技能，都是以已经习得的、从属于它们的知识技能为基础的。他提出数学学习的四对象：事实、技能、概念、原理；并把数学学习分成的四个阶段：理解、习得、存储、提取。
（四）美籍匈牙利人波利亚（G.Polya）提出数学学习的三原则：主动学习、最佳动机、阶段序进。他做的“怎样解题”表可以分成四个步骤来实施：弄清解题、拟定计划、实现计划、回顾，还提出“问题解决”是数学学习的心脏。
二、数学有效学习策略
如何才能在新课标下学好数学呢？我通过理论学习、教学实践和调查研究发现，以下两种做法对数学学习有很大的益处。
（一）形成良好的数学认知结构
所谓“数学认知结构”，就是学生头脑里的数学知识按照自己的理解深度、广度，结合着自己的感觉、直觉、记忆、思维、联想等认知特点，组成的一个具有内部规律的整体结构。简单地讲，就是学生头脑里获得的数学知识结构，是一种经过学生主观改造后的知识结构。认知心理学家认为，学习的实质是形成认知结构，数学学习也一样。
良好的数学认知结构具备的条件是：（1）理解数学元认知（Metacognition）。数学元认知其实质是对数学认知活动的自我意识和自我调节。具体地说，是关于个人自己认知过程的数学知识和调节这些过程的能力：对思维和学习活动的知识和控制。（2）应具有丰富的数学基础知识，丰富的数学知识储备量能保证在应用时有足够的知识可提取。比如说，要解决有虚根的方程，必须对数集的扩充必须有充分的了解。从数字的发展来看：（为了计数的需要）引进自然数集，（表示有相反意义的量的需要）引进整数集，（为了测量的需要）引进有理数集，（表示量与量的比值）引进无理数集，（由于解方程的需要）数学家才不得不引入了缺乏现实背景的虚数集，实数集和虚数的组合而形成复数集，其被广泛认可，以及其几何意义的确立，表明了直观性的几何对代数的促进作用。（3）数学知识的贮备要具有层次性、条理性，形成层次网络结构。诸如，高中数学学习三角函数关键是掌握诱导公式、两角和与差的余弦公式；圆锥曲线关键是“曲线上一点到定点的距离与到定直线的距离比的值的变化”，即离心率的变化；立体几何学习，关键是掌握点、线、面的相互关系和应用，等等。
（二）增强数学迁移能力
迁移通常理解为“把在一个情境中学到的东西迁移到新情境中的能力”。研究发现，学习经验与迁移能力并不是正相关的，有些学习经验会导致强记忆弱迁移和强记忆负迁移，而另外一些却能诱发强记忆强迁移和强记忆正迁移［２］。迁移实质上是一个要求学习者积极参与与选择和评估策略、思考资源和接受反馈的过程，就是把迁移看成一个动态的过程。而静态迁移就是认为初始学习后学生即具有解决迁移问题的能力。如何做到动态数学迁移呢？应从以下几个方面入手。
1.注重数学理解
初始学习不达到一定的理解水平，迁移是不会发生的。刚学完某个新知识就急于做难题，就属于这个范畴。这对教学而言非常重要，这正是高中数学普遍存在的问题。学生难题解决不了，就用强行记忆来弥补，强记忆弱迁移和强记忆负迁移在所难免。在数学新知识的学习过程中，其意义的建构和获得还没有真正完成，新旧数学知识之间的联系有一个继续同化的过程，只有对数学意义深化、贯通，并且数学知识联系达到一定程度的巩固、强化，数学知识迁移才可能开始。比如说，计算机芯片中最基本的逻辑电路只有3种：或门、与门和非门。这三个其实是数学中集合的并、交、补3种运算，也就是说，芯片的设计，在本质上用到的是数学中的集合运算。
2.利用数学变式
适当安排一些恰当的反例、辨析题、变式题不仅可以用于知觉学习，而且可以用于概念学习。数学是由两个大类即证明和反例组成的，数学发现主要是提出证明和构造反例。从科学性来讲，反例就是推翻错误命题的有效手段。反例能丰富和加深学生对抽象数学理论的理解，对数学概念、性质、定理有比较清晰的认识。通过反例能加强学生的感知印象，有利于学生将所学知识内化。比如说，不可能事件的概率必为零，反之却未必成立；当考虑的概型为古典概型时，概型为零的事件一定是不可能事件；当考虑的概型是几何概型时，概型为零的事件未必是一个不可能事件。辨析题、变式题能帮助学生把原先所没有注意到的非本质属性和本质属性的区别加以澄清，提高解题学习中的迁移能力。
3.突破原有经验影响迁移
“所有的学习都涉及到原有经验的迁移”，这一原理对包括数学学习在内的所有数学教育实践意义都具有重要意义。由于学习涉及到先前经验的迁移，所有现有知识也能成为学习新信息的障碍，因此在学习中要善于发现，就是人们运用自己的智慧去获得前人从未获得过的知识的过程。数学学习中的发现，是学生对自己头脑中已有的数学信息（事实、概念、原理等）进行操作、组织和转化，从而亲自获得新信息所进行的学习，其过程是：掌握学习课题，提出猜想、验证。诸如数学史上许多数学家提出的猜想，高中数学课本上出现的欧拉定理（Euler Theorem）简单多面体f(p)=V F-E=2，还有其他的如哥德巴赫（Goldbach）猜想、希尔伯特（Hilbert）的23个问题和庞加莱（Poincaré）猜想……这些猜想都是突破原有经验影响而发现的，并有待证明。
三、新课程下的高中数学学习需要注意的问题
粗略地按自然现象将数学划分为确定性数学、或然性数学、模糊数学和突变理论，这已经显示出对不同的数学课程需要有不同的学习方法［３］。对新课标下高中数学学习来说也有不同的方法，运用系统论的观点方法，以及现代认知心理学的学习理论，从学习者自身因素、环境因素等方面，注意数学学习的一般过程和特殊过程；注意认知因素（认知结构、思维发展水平、能力等）和非认知因素（学习动机、兴趣、情感、态度等）及家庭、学校、社会对数学学习的影响；注重现代信息技术和网络技术在数学中的应用，注重数学实验和数学文化，增强数学学习中的动手能力和实践能力，力图自己建立数学模型。从经验看，在数学学习中注意形与数的结合是比较容易的，但要使高中学生认识序、结构、算法等在数学中的地位和作用，则是比较困难的。所以，按照新课标要求，学生一定要从整体出发，探索数学学习观、数学学习的基本原则和基本方法，从中揭示数学学习的特点和规律，从而达到学习的理想效果。
参考文献：
［1］中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准(实验).人民教育出版社，2009.
［2］涂荣豹，王光明，宁连华.新编数学教学论.华东师范大学出版社，2006.
［3］张国杰.“数学学习论”三题.曲阜师范大学学报（自然科学版），1994.
关键词： 新课标 数学学习 特点与理论 有效学习策略
2000年召开的第九届国际数学教育大会指出，上世纪80年代以前数学教育的研究主要围绕数学课程与教学方法进行，80年代以后对数学学习过程的研究开始兴起。长期以来，我国在中学数学对于学生学习的研究则十分薄弱。教育部关于《普通高中数学课程标准(实验)》的制定和新课程的逐步实施，使得我国的数学基础教育正大踏步地赶上世界数学教育发展的潮流，促使数学教育工作者加快对高中学生数学学习理论和实践的研究。
一、新课标下数学学习的特点与理论
学习是一种活动，是获得经验与行为变化的过程。也就是说，并非所有的行为变化都是学习，只有在积累知识经验基础上的行为变化才是学习，而且学习是一个不断渐进提高的过程。
高中数学学习是学生学习的一个重要组成部分，学生依据数学课程标准，按照一定的目的、内容、要求，系统地掌握数学知识与技能的过程。并在这一过程中，注重提高学生数学思维能力、发展学生的数学应用意识、养成良好的数学心理品质［１］。数学学习除了具有学生学习的一般特点外，还有以下三个显著特点：（一）是一种科学的公共语言学习；由数学符号，以及它们的各种有机组合所构成的数学，可以反映存在于现实世界中的一些关系和形式，因此，它是一种语言，且被广泛运用于各门科学。（二）学生学习数学必须具备较强的抽象概括能力。（三）最有利于学生推理能力的发展。数学是一门建立在公理体系基础上，一切结论都需加以严格的证明。数学证明所采用的逻辑形式最基本、最主要的就是三段论（大前提、小前提和结论的论证）。学生在高中新课程中的数学学习中，反复学习使用三段论来解答各种数学问题，这对于他们推理能力的发展无疑是极其有利的。
近代国外的数学学习理论发展较快，学术派别众多，主要有以下基本观点。
（一）当代著名的儿童心理学家或发生认识论专家瑞士心理学家皮亚杰（J.Piaget），提出关于智力发展的基本观点：图式，同化，顺应和平衡。在数学学习中，“学习要有准备”，理解的学习才是真正的学习。
（二）美国当代认知心理学的代表人物之一奥苏伯尔（D.P.Ausubel）提出有意义言语学习理论，又称认知同化理论。它的理论为数学学习提供了心理学依据，并提出数学概念学习中的三种同化模式：①下位学习模式（同化），例如复数→实数性质、法则、运用；②上位学习模式（顺应），例如函数→运算、关系、映射；③并列结合学习模式（联合），例如函数图像就是函数式与几何图形的并列结合；曲线方程就是几何与代数的并列结合。
（三）美国当代著名心理学家加涅（R.M.Gagne）提出累积学习的模式，学习任何一种新的知识技能，都是以已经习得的、从属于它们的知识技能为基础的。他提出数学学习的四对象：事实、技能、概念、原理；并把数学学习分成的四个阶段：理解、习得、存储、提取。
（四）美籍匈牙利人波利亚（G.Polya）提出数学学习的三原则：主动学习、最佳动机、阶段序进。他做的“怎样解题”表可以分成四个步骤来实施：弄清解题、拟定计划、实现计划、回顾，还提出“问题解决”是数学学习的心脏。
二、数学有效学习策略
如何才能在新课标下学好数学呢？我通过理论学习、教学实践和调查研究发现，以下两种做法对数学学习有很大的益处。
（一）形成良好的数学认知结构
所谓“数学认知结构”，就是学生头脑里的数学知识按照自己的理解深度、广度，结合着自己的感觉、直觉、记忆、思维、联想等认知特点，组成的一个具有内部规律的整体结构。简单地讲，就是学生头脑里获得的数学知识结构，是一种经过学生主观改造后的知识结构。认知心理学家认为，学习的实质是形成认知结构，数学学习也一样。
良好的数学认知结构具备的条件是：（1）理解数学元认知（Metacognition）。数学元认知其实质是对数学认知活动的自我意识和自我调节。具体地说，是关于个人自己认知过程的数学知识和调节这些过程的能力：对思维和学习活动的知识和控制。（2）应具有丰富的数学基础知识，丰富的数学知识储备量能保证在应用时有足够的知识可提取。比如说，要解决有虚根的方程，必须对数集的扩充必须有充分的了解。从数字的发展来看：（为了计数的需要）引进自然数集，（表示有相反意义的量的需要）引进整数集，（为了测量的需要）引进有理数集，（表示量与量的比值）引进无理数集，（由于解方程的需要）数学家才不得不引入了缺乏现实背景的虚数集，实数集和虚数的组合而形成复数集，其被广泛认可，以及其几何意义的确立，表明了直观性的几何对代数的促进作用。（3）数学知识的贮备要具有层次性、条理性，形成层次网络结构。诸如，高中数学学习三角函数关键是掌握诱导公式、两角和与差的余弦公式；圆锥曲线关键是“曲线上一点到定点的距离与到定直线的距离比的值的变化”，即离心率的变化；立体几何学习，关键是掌握点、线、面的相互关系和应用，等等。
（二）增强数学迁移能力
迁移通常理解为“把在一个情境中学到的东西迁移到新情境中的能力”。研究发现，学习经验与迁移能力并不是正相关的，有些学习经验会导致强记忆弱迁移和强记忆负迁移，而另外一些却能诱发强记忆强迁移和强记忆正迁移［２］。迁移实质上是一个要求学习者积极参与与选择和评估策略、思考资源和接受反馈的过程，就是把迁移看成一个动态的过程。而静态迁移就是认为初始学习后学生即具有解决迁移问题的能力。如何做到动态数学迁移呢？应从以下几个方面入手。
1.注重数学理解
初始学习不达到一定的理解水平，迁移是不会发生的。刚学完某个新知识就急于做难题，就属于这个范畴。这对教学而言非常重要，这正是高中数学普遍存在的问题。学生难题解决不了，就用强行记忆来弥补，强记忆弱迁移和强记忆负迁移在所难免。在数学新知识的学习过程中，其意义的建构和获得还没有真正完成，新旧数学知识之间的联系有一个继续同化的过程，只有对数学意义深化、贯通，并且数学知识联系达到一定程度的巩固、强化，数学知识迁移才可能开始。比如说，计算机芯片中最基本的逻辑电路只有3种：或门、与门和非门。这三个其实是数学中集合的并、交、补3种运算，也就是说，芯片的设计，在本质上用到的是数学中的集合运算。
2.利用数学变式
适当安排一些恰当的反例、辨析题、变式题不仅可以用于知觉学习，而且可以用于概念学习。数学是由两个大类即证明和反例组成的，数学发现主要是提出证明和构造反例。从科学性来讲，反例就是推翻错误命题的有效手段。反例能丰富和加深学生对抽象数学理论的理解，对数学概念、性质、定理有比较清晰的认识。通过反例能加强学生的感知印象，有利于学生将所学知识内化。比如说，不可能事件的概率必为零，反之却未必成立；当考虑的概型为古典概型时，概型为零的事件一定是不可能事件；当考虑的概型是几何概型时，概型为零的事件未必是一个不可能事件。辨析题、变式题能帮助学生把原先所没有注意到的非本质属性和本质属性的区别加以澄清，提高解题学习中的迁移能力。
3.突破原有经验影响迁移
“所有的学习都涉及到原有经验的迁移”，这一原理对包括数学学习在内的所有数学教育实践意义都具有重要意义。由于学习涉及到先前经验的迁移，所有现有知识也能成为学习新信息的障碍，因此在学习中要善于发现，就是人们运用自己的智慧去获得前人从未获得过的知识的过程。数学学习中的发现，是学生对自己头脑中已有的数学信息（事实、概念、原理等）进行操作、组织和转化，从而亲自获得新信息所进行的学习，其过程是：掌握学习课题，提出猜想、验证。诸如数学史上许多数学家提出的猜想，高中数学课本上出现的欧拉定理（Euler Theorem）简单多面体f(p)=V F-E=2，还有其他的如哥德巴赫（Goldbach）猜想、希尔伯特（Hilbert）的23个问题和庞加莱（Poincaré）猜想……这些猜想都是突破原有经验影响而发现的，并有待证明。
三、新课程下的高中数学学习需要注意的问题
粗略地按自然现象将数学划分为确定性数学、或然性数学、模糊数学和突变理论，这已经显示出对不同的数学课程需要有不同的学习方法［３］。对新课标下高中数学学习来说也有不同的方法，运用系统论的观点方法，以及现代认知心理学的学习理论，从学习者自身因素、环境因素等方面，注意数学学习的一般过程和特殊过程；注意认知因素（认知结构、思维发展水平、能力等）和非认知因素（学习动机、兴趣、情感、态度等）及家庭、学校、社会对数学学习的影响；注重现代信息技术和网络技术在数学中的应用，注重数学实验和数学文化，增强数学学习中的动手能力和实践能力，力图自己建立数学模型。从经验看，在数学学习中注意形与数的结合是比较容易的，但要使高中学生认识序、结构、算法等在数学中的地位和作用，则是比较困难的。所以，按照新课标要求，学生一定要从整体出发，探索数学学习观、数学学习的基本原则和基本方法，从中揭示数学学习的特点和规律，从而达到学习的理想效果。
参考文献：
［1］中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准(实验).人民教育出版社，2009.
［2］涂荣豹，王光明，宁连华.新编数学教学论.华东师范大学出版社，2006.
［3］张国杰.“数学学习论”三题.曲阜师范大学学报（自然科学版），1994.