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[摘 要]排列组合是高中数学中的重要知识点,同时也是高考的重要内容.但是.不少学生很难掌握排列组合的相关知识.要破解排列组合问题学习难点,熟练掌握好相关的解题模型策略固然重要,但以“完成这件事”为目标建立数学模型才是关键.
[关键词]排列组合问题;高中数学;教学研究
[中图分类号] G633.6 [文献标识码] A [文章编号] 1674-6058(2018)26-0034-02
排列组合是高中数学内容的一个重要组成部分.由于排列组合极具抽象性,使之成为高中数学中“教”与“学”的难点.第一,教师没有详细和透彻讲解排列组合的原理,更多时候把重点放在解题方法上,忽略了原理的生成,导致学生在运用过程中出现遗漏、重复或者无法分类的情况;第二,教师在讲解排列组合时,更多的是运用解题“模型”,忽略了模型的来源,导致学生碰到“模型”以外的类型,就束手无策.笔者认为,排列组合中解题的常规“模型”的策略固然重要,但能够把实际问题转化为可操作的数学模型更重要,这也是排列组合的本质,也是我们高中数学课标的核心素养之一.首先介绍一下常见的解题模型策略.
1.特殊元素(位置)优先策略
对于存在特殊元素或特殊位置的排列组合问题,经常用“特殊”先入手,先满足特殊元素或位置,再去排其他元素或位置.
2.“组”“排”混合,先选后排
对于排列、组合的混合问题,特别是元素比较多的情况下,一般先选元素,再进行排列求解.
3.相邻问题,捆绑法求解
相邻问题是指有些元素有相邻位置要求的排列组合问题.这类题的策略是先把相邻的若干元素“捆绑”在一起成为一个大元素,再将其他元素进行排列,然后再排列那些“捆绑”中的元素.
4.不相邻问题,插空法求解
不相邻问题是指有些元素有位置不相邻的要求的排列组合问题,这类题的策略是先排余下没有位置要求的元素,然后把要求不相邻的元素插入上述元素之间的空隙或两端.
5.定序问题,除法处理
某些元素有位置顺序一定要求的排列组合问题,这类题的策略是先全排列,再除以要求定序的元素的全排列.
6.相同元素,隔板法处理
相同元素的分堆问题,可构造一个隔板模型,设计一个特殊模型解决问题.
7.正难则反,间接处理
对于某些排列组合问题的正面情况比较复杂,难以分类;而其反面比较简单,则可优先考虑无限制条件的排列,再减去反面情况的总数.因此,排列组合问题都有直接法和间接法两种思路.
以上方法是排列组合问题的几种常用“模型”策略.然而,我们碰到的问题可能是适合上述“模型”的一种,也可能是多种“模型”混合在一起.因此,需要我们熟练掌握好以上策略.但是,学生在实践过程中,碰到的排列组合题目似乎更多时候不符合上述“模型”.这有两方面原因.第一,学生不具备转化为上述模型的能力;第二,题目本身根本不属于上述模型范畴.要解决此类题目,只能建立另一种数学模型,这也是学生比较薄弱的方面.万变不离其宗,排列组合问题终究只是计算完成一件事的方法总数.因此,以“完成这件事”为目标建立数学模型才是解决排列组合问题的关键.
[例1]有甲、乙、丙等7个人排队拍照,若甲、乙相邻,丙与甲不相邻,有多少种排队方法?
分析:甲、乙相邻运用“捆绑”法,丙与甲不相邻运用“插空”法.
解:先将甲、乙捆绑成一个大元素,然后与丙之外的其他人先进行排列有[A55A22]种,然后把丙再插进去有[A15]种,所以总共的排法有[A55A22A15=1200](种).
点评:此题是相邻与不相邻的综合题,合理运用捆绑法与插空法即可解决问题.因此,需要我们熟练掌握好以上常用模型策略.
[例2]有甲、乙、丙、丁、戊等7个人排队拍照,甲、乙、丙不相邻,丁、戊也不相邻,有多少种不同的排队方法?
分析:根据题意,甲、乙、丙不相邻,丁、戊也不相邻,照理应该用典型的插空法处理,但实际操作时,插空法似乎比较困难,因此采用如下解法.
解法1:(直接法)第一类 丁、戊之间恰有甲、乙、丙中一人隔开,方法数为[A33A22C13A24],第二类 丁、戊之间不是仅有甲、乙、丙中一人隔开,方法数为[A22A23A35].总数为[A33A22C13A24 A22A23A35=1152](种).
解法2:(间接法)总数只管甲、乙、丙不相邻的方法数为[A44A35],甲、乙、丙不相邻,丁、戊相邻的方法数为[A33A22A34],则甲、乙、丙不相邻,丁、戊也不相邻的方法数为[A44A35-A33A22A34=1152](种).
[例3]将一个[4×4]正方形棋盘中的8个小正方形方格染成红色,使得每行、每列都恰有兩个红色方格,则有 种不同的染色方法.
分析:此题的模型并不适合常规“模型”,因此得根据题意建立数学模型,即根据“如何完成这件事”建立数学模型.
解: 第一行染两个红格,有[C24]种染法.第一行完成后,有如下三种情况.
(1)第二行染的红格均与第一行的红格同列,这时余行都只有一种染法;
(2)第二行染的红格与第一行的红格均不同列,这时第三行有[C24]种染法,第四行的染法随之确定;
(3)第二行染的红格恰有一个与第一行的红格同列,这样的染法有[C12C12]种,而在第一行、第二行这两行染好后,第三行染的红格必然有1个与上面红格均不同列(否则将存在一列有两个红格),这时第三行的染法有2种,第四行的染法随之确定.
因此,共有染法[C24(1 C24 C12C12×2)=90](种).
点评:此题在建模过程中,务必抓住以“完成这件事”为目标,合理建立模型.
[例4]工人在安装一个正六边形零件时,需要固定如右图所示的六个位置的螺丝.第一阶段,随意拧一个螺丝,接着拧它对角线上(距离它最远的,下同)的螺丝,再随意拧第三个螺丝,第四个也拧它对角线上的螺丝,第五个和第六个以此类推,但每个螺丝都不要拧死;第二阶段,将每个螺丝拧死,但不能连续拧相邻的2个螺丝.则不同的固定方式有 .
分析:以“如何完成这件事”建立数学模型.
解: 第一阶段,先随意拧一个螺丝,接着拧它对角线上的螺丝,有[C16]种方法,再随意拧第三个螺丝和其对角线上的螺丝,有[C14]种方法,然后随意拧第五个螺丝和其对角线上的螺丝,有[C12]种方法.
第二阶段,先随意拧一个螺丝,有[C16]种方法,完成上述过程分步进行;再随意拧不相邻的螺丝,若拧的是对角线上的螺丝,有[C14]种方法;若拧的是不相邻斜对角线上的螺丝,则有6种拧法,所以总共有[C16C14C12C16(C14 6)=2880](种)拧法.
综上所述,排列组合问题抽象,解法灵活,解题过程中极易出现“重复”和“遗漏”.因此,解题时需灵活运用常规“模型”.但能够以“完成这件事”为目标建立模型来解决实际问题更为关键.我们在教学时,更需要凸显数学的本质,只有这样才能达到水到渠成的教学效果,才能增强学生的学习能力,提高学生的综合素质,也才能体现新课标的理念.
[ 参 考 文 献 ]
[1] 李斑.高中数学排列组合问题的教学策略[J]. 数学学习与研究,2013(9):47.
[2] 周淑清.高中数学“排列组合”教学现状及优化策略[J]. 知识窗(教师版),2016(4):58.
[3] 夏佳星.排列组合中的解题策略及教学方法[J]. 中国校外教育,2009(S8):220 241.
(责任编辑 黄桂坚)
[关键词]排列组合问题;高中数学;教学研究
[中图分类号] G633.6 [文献标识码] A [文章编号] 1674-6058(2018)26-0034-02
排列组合是高中数学内容的一个重要组成部分.由于排列组合极具抽象性,使之成为高中数学中“教”与“学”的难点.第一,教师没有详细和透彻讲解排列组合的原理,更多时候把重点放在解题方法上,忽略了原理的生成,导致学生在运用过程中出现遗漏、重复或者无法分类的情况;第二,教师在讲解排列组合时,更多的是运用解题“模型”,忽略了模型的来源,导致学生碰到“模型”以外的类型,就束手无策.笔者认为,排列组合中解题的常规“模型”的策略固然重要,但能够把实际问题转化为可操作的数学模型更重要,这也是排列组合的本质,也是我们高中数学课标的核心素养之一.首先介绍一下常见的解题模型策略.
1.特殊元素(位置)优先策略
对于存在特殊元素或特殊位置的排列组合问题,经常用“特殊”先入手,先满足特殊元素或位置,再去排其他元素或位置.
2.“组”“排”混合,先选后排
对于排列、组合的混合问题,特别是元素比较多的情况下,一般先选元素,再进行排列求解.
3.相邻问题,捆绑法求解
相邻问题是指有些元素有相邻位置要求的排列组合问题.这类题的策略是先把相邻的若干元素“捆绑”在一起成为一个大元素,再将其他元素进行排列,然后再排列那些“捆绑”中的元素.
4.不相邻问题,插空法求解
不相邻问题是指有些元素有位置不相邻的要求的排列组合问题,这类题的策略是先排余下没有位置要求的元素,然后把要求不相邻的元素插入上述元素之间的空隙或两端.
5.定序问题,除法处理
某些元素有位置顺序一定要求的排列组合问题,这类题的策略是先全排列,再除以要求定序的元素的全排列.
6.相同元素,隔板法处理
相同元素的分堆问题,可构造一个隔板模型,设计一个特殊模型解决问题.
7.正难则反,间接处理
对于某些排列组合问题的正面情况比较复杂,难以分类;而其反面比较简单,则可优先考虑无限制条件的排列,再减去反面情况的总数.因此,排列组合问题都有直接法和间接法两种思路.
以上方法是排列组合问题的几种常用“模型”策略.然而,我们碰到的问题可能是适合上述“模型”的一种,也可能是多种“模型”混合在一起.因此,需要我们熟练掌握好以上策略.但是,学生在实践过程中,碰到的排列组合题目似乎更多时候不符合上述“模型”.这有两方面原因.第一,学生不具备转化为上述模型的能力;第二,题目本身根本不属于上述模型范畴.要解决此类题目,只能建立另一种数学模型,这也是学生比较薄弱的方面.万变不离其宗,排列组合问题终究只是计算完成一件事的方法总数.因此,以“完成这件事”为目标建立数学模型才是解决排列组合问题的关键.
[例1]有甲、乙、丙等7个人排队拍照,若甲、乙相邻,丙与甲不相邻,有多少种排队方法?
分析:甲、乙相邻运用“捆绑”法,丙与甲不相邻运用“插空”法.
解:先将甲、乙捆绑成一个大元素,然后与丙之外的其他人先进行排列有[A55A22]种,然后把丙再插进去有[A15]种,所以总共的排法有[A55A22A15=1200](种).
点评:此题是相邻与不相邻的综合题,合理运用捆绑法与插空法即可解决问题.因此,需要我们熟练掌握好以上常用模型策略.
[例2]有甲、乙、丙、丁、戊等7个人排队拍照,甲、乙、丙不相邻,丁、戊也不相邻,有多少种不同的排队方法?
分析:根据题意,甲、乙、丙不相邻,丁、戊也不相邻,照理应该用典型的插空法处理,但实际操作时,插空法似乎比较困难,因此采用如下解法.
解法1:(直接法)第一类 丁、戊之间恰有甲、乙、丙中一人隔开,方法数为[A33A22C13A24],第二类 丁、戊之间不是仅有甲、乙、丙中一人隔开,方法数为[A22A23A35].总数为[A33A22C13A24 A22A23A35=1152](种).
解法2:(间接法)总数只管甲、乙、丙不相邻的方法数为[A44A35],甲、乙、丙不相邻,丁、戊相邻的方法数为[A33A22A34],则甲、乙、丙不相邻,丁、戊也不相邻的方法数为[A44A35-A33A22A34=1152](种).
[例3]将一个[4×4]正方形棋盘中的8个小正方形方格染成红色,使得每行、每列都恰有兩个红色方格,则有 种不同的染色方法.
分析:此题的模型并不适合常规“模型”,因此得根据题意建立数学模型,即根据“如何完成这件事”建立数学模型.
解: 第一行染两个红格,有[C24]种染法.第一行完成后,有如下三种情况.
(1)第二行染的红格均与第一行的红格同列,这时余行都只有一种染法;
(2)第二行染的红格与第一行的红格均不同列,这时第三行有[C24]种染法,第四行的染法随之确定;
(3)第二行染的红格恰有一个与第一行的红格同列,这样的染法有[C12C12]种,而在第一行、第二行这两行染好后,第三行染的红格必然有1个与上面红格均不同列(否则将存在一列有两个红格),这时第三行的染法有2种,第四行的染法随之确定.
因此,共有染法[C24(1 C24 C12C12×2)=90](种).
点评:此题在建模过程中,务必抓住以“完成这件事”为目标,合理建立模型.
[例4]工人在安装一个正六边形零件时,需要固定如右图所示的六个位置的螺丝.第一阶段,随意拧一个螺丝,接着拧它对角线上(距离它最远的,下同)的螺丝,再随意拧第三个螺丝,第四个也拧它对角线上的螺丝,第五个和第六个以此类推,但每个螺丝都不要拧死;第二阶段,将每个螺丝拧死,但不能连续拧相邻的2个螺丝.则不同的固定方式有 .
分析:以“如何完成这件事”建立数学模型.
解: 第一阶段,先随意拧一个螺丝,接着拧它对角线上的螺丝,有[C16]种方法,再随意拧第三个螺丝和其对角线上的螺丝,有[C14]种方法,然后随意拧第五个螺丝和其对角线上的螺丝,有[C12]种方法.
第二阶段,先随意拧一个螺丝,有[C16]种方法,完成上述过程分步进行;再随意拧不相邻的螺丝,若拧的是对角线上的螺丝,有[C14]种方法;若拧的是不相邻斜对角线上的螺丝,则有6种拧法,所以总共有[C16C14C12C16(C14 6)=2880](种)拧法.
综上所述,排列组合问题抽象,解法灵活,解题过程中极易出现“重复”和“遗漏”.因此,解题时需灵活运用常规“模型”.但能够以“完成这件事”为目标建立模型来解决实际问题更为关键.我们在教学时,更需要凸显数学的本质,只有这样才能达到水到渠成的教学效果,才能增强学生的学习能力,提高学生的综合素质,也才能体现新课标的理念.
[ 参 考 文 献 ]
[1] 李斑.高中数学排列组合问题的教学策略[J]. 数学学习与研究,2013(9):47.
[2] 周淑清.高中数学“排列组合”教学现状及优化策略[J]. 知识窗(教师版),2016(4):58.
[3] 夏佳星.排列组合中的解题策略及教学方法[J]. 中国校外教育,2009(S8):220 241.
(责任编辑 黄桂坚)