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摘 要 “运算定律与简便计算”是人教版教材第八册的内容，主要包括加法交换律、加法结合律、乘法交换律、乘法结合律，乘法分配律，以及这些运算定律的简单运用。在教学中，笔者发现学生普遍出现“一学就会，一做就错”，“简便不简单”的现象。于是笔者重审教材，回望教学。下文笔者侧重以变化形式多，学生最难以掌握的乘法分配律教学为例，谈谈在教学中的一些思考与实践。
关键词 运算定律 简便计算 探索
中图分类号：G424 文献标识码：A
Teaching with Operation Laws, out of the Realm of the "Lost"
——Exploration and Re-thinking about "Operation law and simple calculation"
XIE Yongbo
(Ningbo Zhenhai Jiaochuan Central School, Ningbo, Zhejiang 315200)
Abstract "Operation law and the simple calculation" is PEP eighth volumes of the textbook content, including the addition commutative, associative law of addition, multiplication, commutative, associative law of multiplication, multiplication distributive law, and the simple use of the law of computing. In teaching, the author found that students were generally "To learn, one can do wrong" and "simple but not easy" phenomenon. So I retried the materials, look back to teaching. Below, the author focus on variations, the most difficult for students to grasp the distributive property of multiplication for example, talks about some of the thinking and practice in teaching.
Key words operation law; simple calculation; exploration
叩问一：教材整体如何编排——编者意图何在？
关键词1：新旧对比，集中灵活。
从上表中可看出该块内容在浙教版教材中是分散学习的,且对前几册学习过的四则运算知识进行较为系统的概括和总结。而人教版教材打破了以往的格局，安排了“四则运算”和“运算定律与简便运算”两个单元。这样集中编排有利于学生形成完整的知识体系。此外，教材中对计算题的要求由过去 “能简便的一定要简便计算”，转变为现在“计算下面各题，怎样简便怎样算。”学生可以自由灵活地选择合适方法进行计算。
关键词2：前后联系，承上启下。
学生在前面几册的学习中多次渗透了运算律的思想,接触过大量的例子，如加减法的验算、两位数乘两位数等，已经有了一些直观的体验和经验，尤其是对于加法、乘法的可交换性、可结合性，这些经验构成了本单元知识的认知基础。且本单元学习的五条运算定律，是进行运算的基础，不仅适用于整数的加法和乘法，也是今后学习小数、分数四则运算，甚至是初中有理数的四则混合运算、式的运算的基础。因此，这部分内容在整个义务教育阶段的数学教学中，占据着承上启下的重要地位。
叩问二：如何教学运算定律—— 熟练叙述是终极目标吗？
关键词：水到渠成，构建模型。
“意到”亦要“言到”，“言到”更要“意到”。学生只有真正理解规律内涵，才能用自己的语言准确描述，达到言到与意到的水乳交融。而大部分学生却缺失对规律的理解，不能清晰地用语言来描述规律。因而在探索运算律教学中，教师必须提供学生充分思考和交流的时间，让他们用自己的语言表达发现的规律，解释公式的含义，经历从感性到理性、从具体到抽象的数学建模过程，从而促使学生真正理解每一种运算定律。
策略1：扣经验，找起点。
知识经验：教学应注重学生已有的知识经验，找到知识的起点，经过同化和顺应，构建认知的结构。如教学乘法分配律时，学生已有的知识经验是“几个几”,这也是乘法分配律的核心所在。学生在二年级时已经学习了乘法的意义，在后继教材中也都有所孕伏、渗透。因此教师可以把这个知识经验作为学习乘法分配律的知识生长点，从伊始，就可引导学生用这种经验来解释“等式左右两边为什么会相等？”如：（4 + 2）€?5 = 4€?5 + 2€?5，左边共有6个25，右边4个25加2个25也是6个25。逆向说也成立。教学只有植根于定律的意义理解，对算式结构特点的把握才能水到渠成。
生活经验：借助生活经验来帮助学生理解乘法分配律。如果一件上衣120元，一条裤子80元，5套衣服需要多少钱？学生列出算式：120€? + 80€?和（120 + 80）€?”。教师依托“一件上衣和一条裤子称为一套衣服，5件上衣和5条裤子可以组成5套衣服”帮助学生理解 （120 + 80）€?=120€?＋80€?这一乘法分配律最基本的模式。
策略2：抓本质，建模型。
小学生的直观形象思维占优势，对知识的认识往往是先从表象开始，再逐步由表及里地去认识知识本质的。教学中可引导学生先从算式外形结构入手，再逐步认识本质，构建运算律的模型。如教学乘法分配律时，得到等式（120 + 80）€? = 120€? + 80€?，教师应引导学生比较左右两个算式有何异同？如生只说出“左边算式是先算括号里的加法，再算乘法；右边算式是先算两个乘法，再加起来。因为这点不同只是从外形上，还应继续引导学生认识到左边是两个数的和€滓桓鍪挥冶呤橇交蠛汀Ｒ簿褪撬担骸昂蛝滓桓鍪?两积求和。”这才是构建乘法分配律的关键，我们可以由此基础继续讨论让学生总结出乘法分配律。这样才是真正理清运算律的本质内涵，才能建立起相对清晰的运算律的模式。
叩问三：如何熟练运用运算律—— 模式运用是精髓吗？
关键词1：多管齐下，理解模型。
学生只有充分理解运算律，才能灵活准确地应用。因此教师应将教学的侧重点放在如何让学生深入理解运算律的意义上，而不是放在如何让学生尽快应用模型，达到它的计算功能上。只有多管齐下，理解模型，才能避免盲目模仿。
策略①： 数形结合，突破难点。
“数缺形时少直观，形少数时难入微。”单凭讲解来理解运算律算理比较抽象。教师可借助“数形结合”思想解决难点。如针对学生在运用乘法分配律时中常“漏乘”的现象：25€?40 + 4) = 25€?0 + 4，可借助图形帮助学生分析，求出的不是大长方形的面积，而是左边长方形的面积加上1条宽的长度，无意义。这样借助图形帮助学生思考数与数之间的关系，有助于发展学生的形象思维，有效避免类似的错误再次发生。
策略②： 建立联系，迁移贯通。
引导学生回忆以前学习的知识，它与乘法分配律有什么联系。如乘法竖式的计算过程如图：
这个过程用模型解释即54€?3 = 54€祝?0 + 3） = 54€?0 +54 €?。通过知识的正迁移使学生更深刻地理解分配律，从而突出数学知识之间的逻辑联系以及数学原理的应用价值。在后续学习中还要将整数范围的运算律迁移到小数、分数的运算中，以检验模型的适应性，培养学生合情推理的能力。整个过程学生处于探究之中，不是纯粹的数与数之间的运算游戏，而是将算式与实际问题相联结，使运算律教学更有意义。
关键词2：融汇贯通，巩固模型。
策略① ：培养数感，提高感知。
数感是指对数的含义、计数技能、数的顺序大小、数的多种表达方法、模式、数运算及结果的准确感知和理解等。数感是有效地进行计算等数学活动的基础，因此培养数感，能提高简便计算中的习题感悟能力。针对这一内容，最直接的方法是引导学生在理解的基础上熟记一些常见的数据，如“25€? = 100”，“125€? = 1000”，“5与任何偶数可以凑整”等。又如看到99想到100-1，同样看到101想到100+1，这些数据特征鲜明，标志清晰，掌握这些特殊数据既能提高学生发现简算条件的能力，又能提高简算的运算速度与准确性，同时当然也要加强口算的熟练度。
策略②： 题组对比，加强辨析。
适当将同类或类似的内容安排一起，通过相似计算的算法比较分析，理解本质意义，掌握知识间的联系与区别，从而有效地排除计算中的负迁移。
如图这类题目借助对比，旨让学生重寻意义本源，进一步深化定律内涵，同时举一反三，融会贯通，重组认知结构。如教师以乘法分配律的基本公式为基础，进行变式，并将一些易混淆的题目组成题组，通过对比让学生掌握本质。如“42€?01”表示101个2是多少，可以先算100 个42是4200，再加上1个42 ；“42€?9”表示42个99是多少，可以先算100个42是4200，再减去1个42。这样既进行了算式意义上的区分，又在内涵上架起了原式与乘法分配律的内在联系。教学“42€?9 + 42和42€?0142同样如此，这样意义上的理解远胜与形式上的模仿。又如在教学连除的简便算法，可将连减和连除联系起来对比学习，更能发挥学生的知识迁徙能力。
而第二组题目借助对比，既可澄清各种运算定律之间的区别，引导学生认清运算定律的本质；又可培养学生先观察后动笔的学习习惯，灵活运用运算定律进行计算。 如学生总是对乘法结合律和乘法分配律的运用分不清，我利用第一组题目先让学生观察这两题的异同处，并计算结果。最后擦去两个括号，再计算出结果。通过两次计算对比，学生发现前者连乘的括号去掉不改变算式的结果，而后者另不然。这样学生对各知识间本质的联系与区别有了更清醒的认识，减少错误率。
策略③：扫描错误，寻求突破。
错误是学生思想经验的最真实的暴露，错误是一种教学资源，教师要善用错误资源，让学生在经历“出错”和“纠错”的过程中，形成正确的算法，防止负迁移。因此在教学中我要求学生在订正作业时进行自我反思。
划：划出做错的地方。唯有找到错处，才会对问题有新认识。 （下转第254页）（上接第145页）
思：找到错误的直接原因后，进行自我分析反思。
记：记录错题在《错题本》中。让学生发现自己的不足，对症下药，及时改正学习方法，同时增强对同类错误的免疫力。下面我收集整理的常见而易错题型：
策略④：合理拓展，深化教材。
分析乘法分配律的“错误集群”，重审教材，发现教材中对于乘法分配律教学内容编排的不足，概念表述的局限性，如下图：
一是概念表述只有“乘加”类型的体现，“乘减”类型只有在后面的习题中少量呈现，如“265€?05265€?”；二是概念中只呈现了两个数和一个数相乘，而在实际运用中也会出现多个数与一个数相乘的分配现象。这样的概念表述会让经验不足或者没有认真研究教材的教师存在教学空白，对乘法分配律的理解有限而导致错误发生。因此，教师在教学中应通过不同类型的引导学习让学生理解、归纳出完整的乘法分配律的概念：几个数的和或差与一个数相乘，可以把这几个数分别与这个数相乘，再相加或者相减，结果不变。
任何教学都应促进学生的发展。教学时，我们不应忽略运算律的探索过程，而满足于让学生记住一些形式化的结论；我们不应热衷于技巧的指导与训练，而忘记将计算教学与解决实际问题相结合。我们应孜孜不倦追寻运算定律的真正价值，让运算定律学习成为学生进一步学习的支撑，让运算定律运用成为培养学生思维灵活性和拥有优化解决问题策略的基石，让运算定律教学发挥它独特的魅力。
关键词 运算定律 简便计算 探索
中图分类号：G424 文献标识码：A
Teaching with Operation Laws, out of the Realm of the "Lost"
——Exploration and Re-thinking about "Operation law and simple calculation"
XIE Yongbo
(Ningbo Zhenhai Jiaochuan Central School, Ningbo, Zhejiang 315200)
Abstract "Operation law and the simple calculation" is PEP eighth volumes of the textbook content, including the addition commutative, associative law of addition, multiplication, commutative, associative law of multiplication, multiplication distributive law, and the simple use of the law of computing. In teaching, the author found that students were generally "To learn, one can do wrong" and "simple but not easy" phenomenon. So I retried the materials, look back to teaching. Below, the author focus on variations, the most difficult for students to grasp the distributive property of multiplication for example, talks about some of the thinking and practice in teaching.
Key words operation law; simple calculation; exploration
叩问一：教材整体如何编排——编者意图何在？
关键词1：新旧对比，集中灵活。
从上表中可看出该块内容在浙教版教材中是分散学习的,且对前几册学习过的四则运算知识进行较为系统的概括和总结。而人教版教材打破了以往的格局，安排了“四则运算”和“运算定律与简便运算”两个单元。这样集中编排有利于学生形成完整的知识体系。此外，教材中对计算题的要求由过去 “能简便的一定要简便计算”，转变为现在“计算下面各题，怎样简便怎样算。”学生可以自由灵活地选择合适方法进行计算。
关键词2：前后联系，承上启下。
学生在前面几册的学习中多次渗透了运算律的思想,接触过大量的例子，如加减法的验算、两位数乘两位数等，已经有了一些直观的体验和经验，尤其是对于加法、乘法的可交换性、可结合性，这些经验构成了本单元知识的认知基础。且本单元学习的五条运算定律，是进行运算的基础，不仅适用于整数的加法和乘法，也是今后学习小数、分数四则运算，甚至是初中有理数的四则混合运算、式的运算的基础。因此，这部分内容在整个义务教育阶段的数学教学中，占据着承上启下的重要地位。
叩问二：如何教学运算定律—— 熟练叙述是终极目标吗？
关键词：水到渠成，构建模型。
“意到”亦要“言到”，“言到”更要“意到”。学生只有真正理解规律内涵，才能用自己的语言准确描述，达到言到与意到的水乳交融。而大部分学生却缺失对规律的理解，不能清晰地用语言来描述规律。因而在探索运算律教学中，教师必须提供学生充分思考和交流的时间，让他们用自己的语言表达发现的规律，解释公式的含义，经历从感性到理性、从具体到抽象的数学建模过程，从而促使学生真正理解每一种运算定律。
策略1：扣经验，找起点。
知识经验：教学应注重学生已有的知识经验，找到知识的起点，经过同化和顺应，构建认知的结构。如教学乘法分配律时，学生已有的知识经验是“几个几”,这也是乘法分配律的核心所在。学生在二年级时已经学习了乘法的意义，在后继教材中也都有所孕伏、渗透。因此教师可以把这个知识经验作为学习乘法分配律的知识生长点，从伊始，就可引导学生用这种经验来解释“等式左右两边为什么会相等？”如：（4 + 2）€?5 = 4€?5 + 2€?5，左边共有6个25，右边4个25加2个25也是6个25。逆向说也成立。教学只有植根于定律的意义理解，对算式结构特点的把握才能水到渠成。
生活经验：借助生活经验来帮助学生理解乘法分配律。如果一件上衣120元，一条裤子80元，5套衣服需要多少钱？学生列出算式：120€? + 80€?和（120 + 80）€?”。教师依托“一件上衣和一条裤子称为一套衣服，5件上衣和5条裤子可以组成5套衣服”帮助学生理解 （120 + 80）€?=120€?＋80€?这一乘法分配律最基本的模式。
策略2：抓本质，建模型。
小学生的直观形象思维占优势，对知识的认识往往是先从表象开始，再逐步由表及里地去认识知识本质的。教学中可引导学生先从算式外形结构入手，再逐步认识本质，构建运算律的模型。如教学乘法分配律时，得到等式（120 + 80）€? = 120€? + 80€?，教师应引导学生比较左右两个算式有何异同？如生只说出“左边算式是先算括号里的加法，再算乘法；右边算式是先算两个乘法，再加起来。因为这点不同只是从外形上，还应继续引导学生认识到左边是两个数的和€滓桓鍪挥冶呤橇交蠛汀Ｒ簿褪撬担骸昂蛝滓桓鍪?两积求和。”这才是构建乘法分配律的关键，我们可以由此基础继续讨论让学生总结出乘法分配律。这样才是真正理清运算律的本质内涵，才能建立起相对清晰的运算律的模式。
叩问三：如何熟练运用运算律—— 模式运用是精髓吗？
关键词1：多管齐下，理解模型。
学生只有充分理解运算律，才能灵活准确地应用。因此教师应将教学的侧重点放在如何让学生深入理解运算律的意义上，而不是放在如何让学生尽快应用模型，达到它的计算功能上。只有多管齐下，理解模型，才能避免盲目模仿。
策略①： 数形结合，突破难点。
“数缺形时少直观，形少数时难入微。”单凭讲解来理解运算律算理比较抽象。教师可借助“数形结合”思想解决难点。如针对学生在运用乘法分配律时中常“漏乘”的现象：25€?40 + 4) = 25€?0 + 4，可借助图形帮助学生分析，求出的不是大长方形的面积，而是左边长方形的面积加上1条宽的长度，无意义。这样借助图形帮助学生思考数与数之间的关系，有助于发展学生的形象思维，有效避免类似的错误再次发生。
策略②： 建立联系，迁移贯通。
引导学生回忆以前学习的知识，它与乘法分配律有什么联系。如乘法竖式的计算过程如图：
这个过程用模型解释即54€?3 = 54€祝?0 + 3） = 54€?0 +54 €?。通过知识的正迁移使学生更深刻地理解分配律，从而突出数学知识之间的逻辑联系以及数学原理的应用价值。在后续学习中还要将整数范围的运算律迁移到小数、分数的运算中，以检验模型的适应性，培养学生合情推理的能力。整个过程学生处于探究之中，不是纯粹的数与数之间的运算游戏，而是将算式与实际问题相联结，使运算律教学更有意义。
关键词2：融汇贯通，巩固模型。
策略① ：培养数感，提高感知。
数感是指对数的含义、计数技能、数的顺序大小、数的多种表达方法、模式、数运算及结果的准确感知和理解等。数感是有效地进行计算等数学活动的基础，因此培养数感，能提高简便计算中的习题感悟能力。针对这一内容，最直接的方法是引导学生在理解的基础上熟记一些常见的数据，如“25€? = 100”，“125€? = 1000”，“5与任何偶数可以凑整”等。又如看到99想到100-1，同样看到101想到100+1，这些数据特征鲜明，标志清晰，掌握这些特殊数据既能提高学生发现简算条件的能力，又能提高简算的运算速度与准确性，同时当然也要加强口算的熟练度。
策略②： 题组对比，加强辨析。
适当将同类或类似的内容安排一起，通过相似计算的算法比较分析，理解本质意义，掌握知识间的联系与区别，从而有效地排除计算中的负迁移。
如图这类题目借助对比，旨让学生重寻意义本源，进一步深化定律内涵，同时举一反三，融会贯通，重组认知结构。如教师以乘法分配律的基本公式为基础，进行变式，并将一些易混淆的题目组成题组，通过对比让学生掌握本质。如“42€?01”表示101个2是多少，可以先算100 个42是4200，再加上1个42 ；“42€?9”表示42个99是多少，可以先算100个42是4200，再减去1个42。这样既进行了算式意义上的区分，又在内涵上架起了原式与乘法分配律的内在联系。教学“42€?9 + 42和42€?0142同样如此，这样意义上的理解远胜与形式上的模仿。又如在教学连除的简便算法，可将连减和连除联系起来对比学习，更能发挥学生的知识迁徙能力。
而第二组题目借助对比，既可澄清各种运算定律之间的区别，引导学生认清运算定律的本质；又可培养学生先观察后动笔的学习习惯，灵活运用运算定律进行计算。 如学生总是对乘法结合律和乘法分配律的运用分不清，我利用第一组题目先让学生观察这两题的异同处，并计算结果。最后擦去两个括号，再计算出结果。通过两次计算对比，学生发现前者连乘的括号去掉不改变算式的结果，而后者另不然。这样学生对各知识间本质的联系与区别有了更清醒的认识，减少错误率。
策略③：扫描错误，寻求突破。
错误是学生思想经验的最真实的暴露，错误是一种教学资源，教师要善用错误资源，让学生在经历“出错”和“纠错”的过程中，形成正确的算法，防止负迁移。因此在教学中我要求学生在订正作业时进行自我反思。
划：划出做错的地方。唯有找到错处，才会对问题有新认识。 （下转第254页）（上接第145页）
思：找到错误的直接原因后，进行自我分析反思。
记：记录错题在《错题本》中。让学生发现自己的不足，对症下药，及时改正学习方法，同时增强对同类错误的免疫力。下面我收集整理的常见而易错题型：
策略④：合理拓展，深化教材。
分析乘法分配律的“错误集群”，重审教材，发现教材中对于乘法分配律教学内容编排的不足，概念表述的局限性，如下图：
一是概念表述只有“乘加”类型的体现，“乘减”类型只有在后面的习题中少量呈现，如“265€?05265€?”；二是概念中只呈现了两个数和一个数相乘，而在实际运用中也会出现多个数与一个数相乘的分配现象。这样的概念表述会让经验不足或者没有认真研究教材的教师存在教学空白，对乘法分配律的理解有限而导致错误发生。因此，教师在教学中应通过不同类型的引导学习让学生理解、归纳出完整的乘法分配律的概念：几个数的和或差与一个数相乘，可以把这几个数分别与这个数相乘，再相加或者相减，结果不变。
任何教学都应促进学生的发展。教学时，我们不应忽略运算律的探索过程，而满足于让学生记住一些形式化的结论；我们不应热衷于技巧的指导与训练，而忘记将计算教学与解决实际问题相结合。我们应孜孜不倦追寻运算定律的真正价值，让运算定律学习成为学生进一步学习的支撑，让运算定律运用成为培养学生思维灵活性和拥有优化解决问题策略的基石，让运算定律教学发挥它独特的魅力。