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二次函数是中考命题的必考内容之一,同学们在解答中常出现形式各样的错误,造成失分. 为了帮助同学们深刻掌握这部分知识,现将同学们在解答这方面的问题时,容易出现的错误类型归纳如下:
错之一:忽略二次函数的二次项系数不为0的条件
例1 如果y=(m 1)xm2-m-3x 1是二次函数,则m的值为_______.
【错解】∵y=(m 1)xm2-m-3x 1是二次函数,∴m2-m=2,解得m=2或m=-1.
【错因剖析】二次函数一般形式y=ax2 bx c中要求二次项系数a≠0,错解中注意到“二次项次数必须是2次”,却忽略“二次项的系数不能为0”这一条件,所以本题还要求m 1≠0,即m≠-1. 正确答案填:2.
【点评】题目给出的二次函数解析式中,如果二次项的系数含有字母,切记“二次项的系数不能为0” 这一条件.
错之二:误将函数读为二次函数
例2 如果函数y=mx2-6x 2的图像与x轴只有一个公共点,则m的值为_______.
【错解】∵y=mx2-6x 2的图像与x轴只有一个公共点,∴b2-4ac=0.
即(-6)2-4m×2=0,m=.
【错因剖析】审题不清,题目条件是函数,并没有明示或暗示是二次函数,所以它既可以是一次函数,也可以是二次函数. 解题时必须分类讨论:如果m=0,函数是一次函数,图像与x轴只有一个公共点,符合题意;如果m≠0,函数是二次函数,当b2-4ac=0时,顶点在x轴上(即图像与x轴只有一个公共点),此时m=. 正确答案填:0或.
【点评】遇到函数题,审题要仔细,一次二次要深思.
错之三:思维定势误认二次函数顶点纵坐标就是最值
例3 (2014·江苏南通)已知实数m,n满足m-n2=1,则代数式m2 2n2 4m-1的最小值等于_______.
【错解】∵m-n2=1,即n2=m-1,
∴m2 2n2 4m-1=m2 2m-2 4m-1=(m 3)2-12≥-12,
则代数式m2 2n2 4m-1的最小值为-12.
【错因剖析】消去n得到一个关于m的二次三项式,利用二次函数来求最小值,方法非常好,但忽视了自变量m的取值范围. 因为n2=m-1≥0,所以m≥1,结合函数图像(如图1),当m=1时,代数式m2 2n2 4m-1的最小值等于4. 正确答案填:4.
【点评】当利用函数来求最值问题时,一定要考虑自变量的取值范围,不能一味地认为顶点纵坐标一定是最大或最小值.
错之四:混淆图像平移的顺序
例4 把二次函数y=x2 bx c的图像沿y轴向下平移1个单位长度,再沿x轴向左平移5个单位长度后,所得的抛物线的顶点坐标是(-2,0),写出原抛物线所对应的函数关系式.
【错解】由题意设新抛物线解析式为y=(x 2)2,因为图像沿y轴向下平移1个单位长度,再沿x轴向左平移5个单位长度,所以原抛物线所对应的解析式为y=(x 2 5)2-1,即y=x2 14x 48.
【错因剖析】审题不清,题目要求由原抛物线沿y轴向下平移1个单位长度,再沿x轴向左平移5个单位长度,错解平移的方向全反了,变成了新抛物线平移得原抛物线. 本题的实质是由新抛物线原路返回得原抛物线,即沿y轴向上平移1个单位长度,再沿x轴向右平移5个单位长度. 所以已知新抛物线解析式为y=(x 2)2,则原抛物线所对应的解析式为y=(x 2-5)2 1,即y=x2-6x 10.
【点评】这一类的图像平移题通常有三种情形:(1) 已知原来的图像解析式以及平移路径,求后来的图像解析式;(2) 已知后来的图像解析式以及平移路径,求原来的图像解析式;(3) 已知原来的图像解析式以及后来的图像解析式,求平移路径. 本题属于第二种情形,所以要认真审题,分清情形,不能单纯地“左加右减”.
小试身手
1. 如果y=(m-2)xm2-2 3x-5是二次函数,则m的值为_______.
2. 已知函数y=(m 6)x2 2(m-1)x m 1的图像与x轴总有交点,则m的取值范围为_______.
3. 如果函数y=(a-1)x2-6x 5的图像经过平面直角坐标系的四个象限,那么a的取值范围是_______.
4. 抛物线y=x2 bx c的图像向右平移2个单位再向下平移3个单位,所得图像的解析式为y=x2-2x-3,则b、c的值为( ).
A. b=2,c=2 B. b=2,c=0
C. b=-2,c=-1 D. b=-3,c=2
5. 函数y=ax2-(a-2)x 的图像与x轴有且只有一个交点,求a的值及这个交点坐标.
6. 已知:x1,x2是关于x的方程·x2-(m 1)x m2 m=0的两实数根,设S=x2 1 x2 2,当m为何值时S有最小值,最小值是多少?
错之一:忽略二次函数的二次项系数不为0的条件
例1 如果y=(m 1)xm2-m-3x 1是二次函数,则m的值为_______.
【错解】∵y=(m 1)xm2-m-3x 1是二次函数,∴m2-m=2,解得m=2或m=-1.
【错因剖析】二次函数一般形式y=ax2 bx c中要求二次项系数a≠0,错解中注意到“二次项次数必须是2次”,却忽略“二次项的系数不能为0”这一条件,所以本题还要求m 1≠0,即m≠-1. 正确答案填:2.
【点评】题目给出的二次函数解析式中,如果二次项的系数含有字母,切记“二次项的系数不能为0” 这一条件.
错之二:误将函数读为二次函数
例2 如果函数y=mx2-6x 2的图像与x轴只有一个公共点,则m的值为_______.
【错解】∵y=mx2-6x 2的图像与x轴只有一个公共点,∴b2-4ac=0.
即(-6)2-4m×2=0,m=.
【错因剖析】审题不清,题目条件是函数,并没有明示或暗示是二次函数,所以它既可以是一次函数,也可以是二次函数. 解题时必须分类讨论:如果m=0,函数是一次函数,图像与x轴只有一个公共点,符合题意;如果m≠0,函数是二次函数,当b2-4ac=0时,顶点在x轴上(即图像与x轴只有一个公共点),此时m=. 正确答案填:0或.
【点评】遇到函数题,审题要仔细,一次二次要深思.
错之三:思维定势误认二次函数顶点纵坐标就是最值
例3 (2014·江苏南通)已知实数m,n满足m-n2=1,则代数式m2 2n2 4m-1的最小值等于_______.
【错解】∵m-n2=1,即n2=m-1,
∴m2 2n2 4m-1=m2 2m-2 4m-1=(m 3)2-12≥-12,
则代数式m2 2n2 4m-1的最小值为-12.
【错因剖析】消去n得到一个关于m的二次三项式,利用二次函数来求最小值,方法非常好,但忽视了自变量m的取值范围. 因为n2=m-1≥0,所以m≥1,结合函数图像(如图1),当m=1时,代数式m2 2n2 4m-1的最小值等于4. 正确答案填:4.
【点评】当利用函数来求最值问题时,一定要考虑自变量的取值范围,不能一味地认为顶点纵坐标一定是最大或最小值.
错之四:混淆图像平移的顺序
例4 把二次函数y=x2 bx c的图像沿y轴向下平移1个单位长度,再沿x轴向左平移5个单位长度后,所得的抛物线的顶点坐标是(-2,0),写出原抛物线所对应的函数关系式.
【错解】由题意设新抛物线解析式为y=(x 2)2,因为图像沿y轴向下平移1个单位长度,再沿x轴向左平移5个单位长度,所以原抛物线所对应的解析式为y=(x 2 5)2-1,即y=x2 14x 48.
【错因剖析】审题不清,题目要求由原抛物线沿y轴向下平移1个单位长度,再沿x轴向左平移5个单位长度,错解平移的方向全反了,变成了新抛物线平移得原抛物线. 本题的实质是由新抛物线原路返回得原抛物线,即沿y轴向上平移1个单位长度,再沿x轴向右平移5个单位长度. 所以已知新抛物线解析式为y=(x 2)2,则原抛物线所对应的解析式为y=(x 2-5)2 1,即y=x2-6x 10.
【点评】这一类的图像平移题通常有三种情形:(1) 已知原来的图像解析式以及平移路径,求后来的图像解析式;(2) 已知后来的图像解析式以及平移路径,求原来的图像解析式;(3) 已知原来的图像解析式以及后来的图像解析式,求平移路径. 本题属于第二种情形,所以要认真审题,分清情形,不能单纯地“左加右减”.
小试身手
1. 如果y=(m-2)xm2-2 3x-5是二次函数,则m的值为_______.
2. 已知函数y=(m 6)x2 2(m-1)x m 1的图像与x轴总有交点,则m的取值范围为_______.
3. 如果函数y=(a-1)x2-6x 5的图像经过平面直角坐标系的四个象限,那么a的取值范围是_______.
4. 抛物线y=x2 bx c的图像向右平移2个单位再向下平移3个单位,所得图像的解析式为y=x2-2x-3,则b、c的值为( ).
A. b=2,c=2 B. b=2,c=0
C. b=-2,c=-1 D. b=-3,c=2
5. 函数y=ax2-(a-2)x 的图像与x轴有且只有一个交点,求a的值及这个交点坐标.
6. 已知:x1,x2是关于x的方程·x2-(m 1)x m2 m=0的两实数根,设S=x2 1 x2 2,当m为何值时S有最小值,最小值是多少?