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江苏如皋高等师范学校数学教研室 226500
摘要：本文以“余弦定理证明的教学设计”为例，说明以数学发展的历史为背景的探究不易失去“数学味”，更容易让教师理性地去思考教学内容，给学生留下一种文化的积淀，促进学生进一步探索.
关键词：HPM（数学史与数学教育）；探究
当我再次看到《数学通报》（2007年第8期）南京师范大学附属中学张跃红老师的“余弦定理”一课的教学设计时，我由衷地发出“返璞归真，自然而然”的感叹． 它让我觉得探究不再那么“高贵”，而是离我很近，离我的学生很近．
美国1991年出版的乔治.E.德博尔著的《科学教育思想史》指出：“在1950年后期开始的30年中，如果选择一个单词来描述科学教育的目的，那会是探究．”的确，在我国新课程改革中，探究也是被关注的焦点．
在实践中，一些探究过程复杂化，人为化，矫揉造作，让我们觉得望而生畏． 很多探究过程场面轰轰烈烈，所学知识的意义、来龙去脉却让学生感到费解，可谓关乎其形，忘乎其意． 深思这则教学设计，我发现借鉴数学史，深思数学学习的内容，认真研究数学史与数学教和学之间的关系，对我们认识、理解教学中探究过程的设计有着启发意义．
[⇩]以史为鉴 返璞归真
数学史的作用不仅体现在用数学家的故事和数学发展过程中的趣闻逸事、史料来吸引学生，而且数学发展过程中所展示的数学思维的连续性、完整性、思想性和本质性对于数学教育有着重要的启发作用．
从HPM视野看，追寻数学知识发展的历史足迹，让我们明确该如何引导学生开展探究，展现知识自然生成的过程，保证正确的探究方向．
一些余弦定理证明的教学，给我的感触最深．
方案1（详细过程可参见《数学通报》2007年第8期）
1. 在与实际生活的联系中提出问题，让学生借助已有知识（用勾股定理）解决问题.
2. 一般化，得出余弦定理（锐角），再讨论钝角和直角.
3. 统一角，寻求简单的证法（利用向量或坐标法等）. （注：教材上往往是直接给出向量法或坐标法的证明过程）
方案2
[A][D][C][B]
图1
第一层探索：
师生经过讨论，一致认为BC的长度与∠A的大小有关．
当∠A=90°，有a2=b2+c2（这是大家熟悉的勾股定理）；
当∠A>90°，有a2>b2+c2；
当∠A<90°，有a2 归纳上面三种情况，在△ABC中，必定有a2=b2+c2－k．
关于k，有两点需要探索.
1． k不是常数，它是关于α（∠A）的函数，可以写成k（α）.
2． 当α∈0
，时，k（α）>0；当α∈
，π时，k（α）<0.
第二层探索：
k（α）=？
当α=30°时，CD=b，DB=c－b.
所以a2=
2+
c－b2=b2+c2－bc.
同理可得，
当α=60°时，a2=b2+c2－bc；
当α=120°时，a2=b2+c2+bc；
当α=150°时，a2=b2+c2+bc.
观察后，大胆猜想得出余弦定理为a2=b2+c2－2bccosα.
历史上，伴随着航海学和地理学的发展，人们开始对球面三角进行研究．阿拉伯数学家阿尔·巴塔尼在进行球面三角研究的过程中，利用平面三角的知识来证明球面余弦定理，他的方法是通过作出斜三角形某一个边上的高之后，将问题转化为求直角三角形的解，只是当时他并不知道平面三角形的正弦定理和余弦定理，而研究出的余弦定理的结果可以应用到证明球面三角形的余弦定理．
从这一点来看，方案1顺应了历史上知识产生的过程，从一开始就深深扎下了探索之根，使得探索过程不是无源之水．
尽管我们不可能完全展现人类认识和创造知识的过程，但可以数学史为背景，把数学历史上知识的发生过程与课堂上知识的生成过程自然融合，揭示知识的源头和动态发展的过程，其探究过程返璞归真、自然朴实、源远流长．
[⇩]以史为鉴 自然而然
探究是一个知道什么，为什么知道以及怎样达到知道的过程． 所以“知道什么”是一个探究的源头． 《国家科学教育标准》中提到“探究”不仅包含从事探究的能力，还包含了进行探究所需要的基础概念． 探究过程中学生必须运用他们已建构的概念进行探究，在此基础上建构新（未知）的科学概念． 在第一点中我们寻求了探究对象（或内容）的源头，作为教师，我们还必须认识到探究过程的主体 “知道什么”，并以此作为开展探究的源头．
正如在生物学中，德国生物学家海克尔（1834—1919）提出“个体的发展重现种系发展”的重现法则一样，数学发展的历史也是个体数学知识不断发展的历史，个体的认知过程在一定程度上是人类认知发展的缩影，往往呈现历史的相似性． 数学教育家波利亚的数学教育思想有两个基点，其一是关于对数学学习的认识，他认为生物发生律（也称重演律）可以运用于数学教学与智力开发，他曾在1962年发表了《数学教学与生物发生律》一文， 1965年又在《数学的发现》一书中进一步强调了人类的后代学习数学应重走人类认识数学的重大几步． 因此恰当地借鉴数学发展的历史，可以作为我们了解学生认知规律的一条途径，改善我们的教学．
历史上，当人们认识了勾股定理后，提出了如下的问题，在任意的△ABC中，三边a，b，c又存在着什么样的关系？而人们认识这一问题，是将任意△ABC的三边关系问题转化为直角三角形三边的关系问题，转化过程中，自然引进了角，从而产生了余弦定理最初的探索途径． 这恰是一个分类讨论的问题，其分类标准是A角为锐角、直角、钝角． 在课堂教学实践中，我们发现能够解决问题的同学中，100％的同学采用了以上方法，不能解决问题的同学则认为案例1更容易为他们所接受，他们用了一句话“显的平易近人”来形容自己的感受． 那是因为无论是古人还是学生，探索发现都是建立在合情推理的基础之上的，这一点很重要． 如果没认识到这一点，那将会使我们的探索过程误入歧途．
在案例2中，由归纳的三种情况得到，在△ABC中，必定有：a2=b2+c2－k．
观察后，大胆猜想得出余弦定理：a2=b2+c2－2bccosα．
这些都不在学生最近认知可能发展的区域内，显得突然，让学生一下子失去探索的动力． 数学教学中，知识产生的过程展现不是把简单的问题复杂化，让学生在教师的牵引下硬着头皮“探呀探”．
在案例1中，不厌其烦地给出余弦定理的锐角、钝角和直角的讨论过程，可以让学生体验：（1）人们最初对余弦定理的认识过程； （2）这一认识过程是一个十分繁琐的证明过程；（3）我们现在的问题是能否化简上述论证过程．当我们还历史本来面目时，余弦定理的发生发展过程使我们感到赏心悦目，这必将引起学生学习的共鸣．
把余弦定理的历史浓缩到课堂上，从学生思维最近发展区的范围加以提炼和加工，从萌探索之芽到开探索之花，遵循学生的认知规律：从易到难，不断增强信心，激发学生创造新的意义． 实践证明：HPM视野下的探究过程以学生为本，探究过程因为源自于学生对事物的疑问和发现事物的愿望而成为一个活跃的动态过程，显得自然而然．
[⇩]结束语
《美国国家科学标准》的“科学作为探究标准”这一部分提出：“探究是一个超越‘科学作为一个过程’的步骤，……学生从事探究，目的是帮助他们发展．”学史可以使人明智，科学的本质在于探究，教育的本质在于发展．
通过设计历史上知识发生过程与学生的认知过程相吻合的教学材料，使得学生的学习成为了一个“再创造”的过程，这样的过程有利于学生深刻地理解了数学的本质，了解数学思想的由来与发展，从整体上把握数学． 探究过程是充实的，富有的．
以数学发展的历史为背景的探究不易失去“数学味”，更容易让教师理性地去思考教学内容，给学生留下一种文化的积淀，促进学生进一步探索，给学生留下了源源思维的“流”． 相信只要有“流”，只要学生探索，他们就有了自己的路子．
摘要：本文以“余弦定理证明的教学设计”为例，说明以数学发展的历史为背景的探究不易失去“数学味”，更容易让教师理性地去思考教学内容，给学生留下一种文化的积淀，促进学生进一步探索.
关键词：HPM（数学史与数学教育）；探究
当我再次看到《数学通报》（2007年第8期）南京师范大学附属中学张跃红老师的“余弦定理”一课的教学设计时，我由衷地发出“返璞归真，自然而然”的感叹． 它让我觉得探究不再那么“高贵”，而是离我很近，离我的学生很近．
美国1991年出版的乔治.E.德博尔著的《科学教育思想史》指出：“在1950年后期开始的30年中，如果选择一个单词来描述科学教育的目的，那会是探究．”的确，在我国新课程改革中，探究也是被关注的焦点．
在实践中，一些探究过程复杂化，人为化，矫揉造作，让我们觉得望而生畏． 很多探究过程场面轰轰烈烈，所学知识的意义、来龙去脉却让学生感到费解，可谓关乎其形，忘乎其意． 深思这则教学设计，我发现借鉴数学史，深思数学学习的内容，认真研究数学史与数学教和学之间的关系，对我们认识、理解教学中探究过程的设计有着启发意义．
[⇩]以史为鉴 返璞归真
数学史的作用不仅体现在用数学家的故事和数学发展过程中的趣闻逸事、史料来吸引学生，而且数学发展过程中所展示的数学思维的连续性、完整性、思想性和本质性对于数学教育有着重要的启发作用．
从HPM视野看，追寻数学知识发展的历史足迹，让我们明确该如何引导学生开展探究，展现知识自然生成的过程，保证正确的探究方向．
一些余弦定理证明的教学，给我的感触最深．
方案1（详细过程可参见《数学通报》2007年第8期）
1. 在与实际生活的联系中提出问题，让学生借助已有知识（用勾股定理）解决问题.
2. 一般化，得出余弦定理（锐角），再讨论钝角和直角.
3. 统一角，寻求简单的证法（利用向量或坐标法等）. （注：教材上往往是直接给出向量法或坐标法的证明过程）
方案2
图1
第一层探索：
师生经过讨论，一致认为BC的长度与∠A的大小有关．
当∠A=90°，有a2=b2+c2（这是大家熟悉的勾股定理）；
当∠A>90°，有a2>b2+c2；
当∠A<90°，有a2
关于k，有两点需要探索.
1． k不是常数，它是关于α（∠A）的函数，可以写成k（α）.
2． 当α∈0
，时，k（α）>0；当α∈
，π时，k（α）<0.
第二层探索：
k（α）=？
当α=30°时，CD=b，DB=c－b.
所以a2=
2+
c－b2=b2+c2－bc.
同理可得，
当α=60°时，a2=b2+c2－bc；
当α=120°时，a2=b2+c2+bc；
当α=150°时，a2=b2+c2+bc.
观察后，大胆猜想得出余弦定理为a2=b2+c2－2bccosα.
历史上，伴随着航海学和地理学的发展，人们开始对球面三角进行研究．阿拉伯数学家阿尔·巴塔尼在进行球面三角研究的过程中，利用平面三角的知识来证明球面余弦定理，他的方法是通过作出斜三角形某一个边上的高之后，将问题转化为求直角三角形的解，只是当时他并不知道平面三角形的正弦定理和余弦定理，而研究出的余弦定理的结果可以应用到证明球面三角形的余弦定理．
从这一点来看，方案1顺应了历史上知识产生的过程，从一开始就深深扎下了探索之根，使得探索过程不是无源之水．
尽管我们不可能完全展现人类认识和创造知识的过程，但可以数学史为背景，把数学历史上知识的发生过程与课堂上知识的生成过程自然融合，揭示知识的源头和动态发展的过程，其探究过程返璞归真、自然朴实、源远流长．
[⇩]以史为鉴 自然而然
探究是一个知道什么，为什么知道以及怎样达到知道的过程． 所以“知道什么”是一个探究的源头． 《国家科学教育标准》中提到“探究”不仅包含从事探究的能力，还包含了进行探究所需要的基础概念． 探究过程中学生必须运用他们已建构的概念进行探究，在此基础上建构新（未知）的科学概念． 在第一点中我们寻求了探究对象（或内容）的源头，作为教师，我们还必须认识到探究过程的主体 “知道什么”，并以此作为开展探究的源头．
正如在生物学中，德国生物学家海克尔（1834—1919）提出“个体的发展重现种系发展”的重现法则一样，数学发展的历史也是个体数学知识不断发展的历史，个体的认知过程在一定程度上是人类认知发展的缩影，往往呈现历史的相似性． 数学教育家波利亚的数学教育思想有两个基点，其一是关于对数学学习的认识，他认为生物发生律（也称重演律）可以运用于数学教学与智力开发，他曾在1962年发表了《数学教学与生物发生律》一文， 1965年又在《数学的发现》一书中进一步强调了人类的后代学习数学应重走人类认识数学的重大几步． 因此恰当地借鉴数学发展的历史，可以作为我们了解学生认知规律的一条途径，改善我们的教学．
历史上，当人们认识了勾股定理后，提出了如下的问题，在任意的△ABC中，三边a，b，c又存在着什么样的关系？而人们认识这一问题，是将任意△ABC的三边关系问题转化为直角三角形三边的关系问题，转化过程中，自然引进了角，从而产生了余弦定理最初的探索途径． 这恰是一个分类讨论的问题，其分类标准是A角为锐角、直角、钝角． 在课堂教学实践中，我们发现能够解决问题的同学中，100％的同学采用了以上方法，不能解决问题的同学则认为案例1更容易为他们所接受，他们用了一句话“显的平易近人”来形容自己的感受． 那是因为无论是古人还是学生，探索发现都是建立在合情推理的基础之上的，这一点很重要． 如果没认识到这一点，那将会使我们的探索过程误入歧途．
在案例2中，由归纳的三种情况得到，在△ABC中，必定有：a2=b2+c2－k．
观察后，大胆猜想得出余弦定理：a2=b2+c2－2bccosα．
这些都不在学生最近认知可能发展的区域内，显得突然，让学生一下子失去探索的动力． 数学教学中，知识产生的过程展现不是把简单的问题复杂化，让学生在教师的牵引下硬着头皮“探呀探”．
在案例1中，不厌其烦地给出余弦定理的锐角、钝角和直角的讨论过程，可以让学生体验：（1）人们最初对余弦定理的认识过程； （2）这一认识过程是一个十分繁琐的证明过程；（3）我们现在的问题是能否化简上述论证过程．当我们还历史本来面目时，余弦定理的发生发展过程使我们感到赏心悦目，这必将引起学生学习的共鸣．
把余弦定理的历史浓缩到课堂上，从学生思维最近发展区的范围加以提炼和加工，从萌探索之芽到开探索之花，遵循学生的认知规律：从易到难，不断增强信心，激发学生创造新的意义． 实践证明：HPM视野下的探究过程以学生为本，探究过程因为源自于学生对事物的疑问和发现事物的愿望而成为一个活跃的动态过程，显得自然而然．
[⇩]结束语
《美国国家科学标准》的“科学作为探究标准”这一部分提出：“探究是一个超越‘科学作为一个过程’的步骤，……学生从事探究，目的是帮助他们发展．”学史可以使人明智，科学的本质在于探究，教育的本质在于发展．
通过设计历史上知识发生过程与学生的认知过程相吻合的教学材料，使得学生的学习成为了一个“再创造”的过程，这样的过程有利于学生深刻地理解了数学的本质，了解数学思想的由来与发展，从整体上把握数学． 探究过程是充实的，富有的．
以数学发展的历史为背景的探究不易失去“数学味”，更容易让教师理性地去思考教学内容，给学生留下一种文化的积淀，促进学生进一步探索，给学生留下了源源思维的“流”． 相信只要有“流”，只要学生探索，他们就有了自己的路子．