Convergence of complex martingale for a branching random walk in an independent and identically dist

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We consider an Rd-valued discrete time branching random walk in an independent and identically distributed environment indexed by time n ∈ N.Let Wn(z) (z ∈ Cd) be the natural complex martingale of the process.We show necessary and sufficient conditions for the Lα-convergence of Wn(z) for α > 1,as well as its uniform convergence region.
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