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在八年级时，我们学习过“一次函数、一元一次方程与一元一次不等式”，同学们知道这三者虽然形式上有所差异，但却存在一定的关系。尤其是借助一次函数的图像来解决一元一次方程和一元一次不等式的某些问题时，我们会感叹借助“形”来解决“数”的问题是那么直观便捷。沿袭类似的研究思路，我们自然想到是不是借助二次函数的图像也可以为解决一元二次方程和不等式的问题同样提供直观便捷的解决方法。下面通过同一个二次函数图像的不同例子，给大家展示它有哪些妙用。
例1 已知二次函数y=-x2+2x+m的部分图像如图1所示，则关于x的一元二次方程-x2+2x+m=0的另一解为x= 。
图1
【分析】同学们看到求方程的解的第一反应往往都是解方程，但是这个方程中有一个字母m，下面就会集中“火力”去利用函数的图像去求二次函数的解析式，想把m求出來。费了九牛二虎之力后发现m求不出来，思维就此中断。
咱不妨换个思路，只看图像，看图像能告诉我们什么？通过观察我们发现，这个二次函数图像的对称轴是过点（1，0）且与y轴平行的一条直线，函数图像与x轴的一个交点坐标为（3，0）。因此根据图像的轴对称性可推断出图像与x轴的另一个交点坐标必为（-1，0）。这两个交点的横坐标对应的就是一元二次方程-x2+2x+m=0的两个根，因此另一解为x=-1。
变式1 二次函数y=-x2+2x+m的图像如图2所示，那么关于x的一元二次方程-x2+2x+m+2=0的根的情况是（ ）。
图2
A.有两个同号的实数根
B.有两个异号的实数根
C.有两个相等的实数根
D.没有实数根
【分析】同学们看到题目中要对一元二次方程的根的情况进行判断，总会条件反射地去请根的判别式“b2-4ac”来帮忙，照着此路一路向前，最后一定会发现这是一条死胡同。
换个思路，咱们从图像入手。我们可以利用例1中的结论将二次函数y=-x2+2x+m的图像补全，并且在同一个平面直角坐标系中作出整个图像沿着y轴向上平移2个单位后的图像（图3中最上方的图像即为y=-x2+2x+m+2的图像）。通过观察，我们得到图像此时与x轴有两个交点，并且这两个交点的横坐标是异号。因此对应着一元二次方程-x2+2x+m+2=0也有两个异号的实数根。
图3
变式2 函数y=-x2+2x+m的部分图像如图4所示，则关于x的不等式-x2+2x+m<0的解集为 。
图4
【分析】这个关于x的且含有字母m的不等式，我们没有学过它的解法，因此欲解此题就需另辟蹊径——观察图像。
首先还是由例1中的图像对称性出发，先把函数的图像补全（图5-2），然后将这个不等式y<0求解集问题转化为二次函数图像中当点的纵坐标小于0时，直接写出此时点的横坐标x的范围问题。下面请同学们观察图5-2，可得当点的纵坐标小于0时，符合条件的函数图像在x轴的下方，即如图5-3中的两段实线部分，这两段实线部分的所有点的纵坐标都满足小于0，而这些点的横坐标满足的条件是x<-1或x>3。
图5-1 图5-2 图5-3
变式3 求关于x的不等式-x2+2x+3>0的解集。
【分析】同学们不能被此题的提问形式吓倒，它的本质就是一只“纸老虎”。戳破这层纸，你会发现其实就是上面的变式2摈弃了图像的另一种问法而已。此题仍然借助二次函数图像来解决，将求y>0时对应的x的取值范围转化为：图像上所有点的纵坐标都大于0时，此时点的横坐标满足什么条件。我们可以发现符合条件的所有点在图5-3中间虚线部分的图像上，这些点的横坐标满足的条件为-1 变式4 已知直线y=mx+n（m≠0）与抛物线y=-x2+2x+m交于A（-0.5，p），B（2，q）两点，则关于x的不等式mx+n>-x2+2x+m的解集为 。
图6
【分析】这种不等式直接去求解集肯定是没办法解的。因此我们仍然要借助函数图像，将mx+n>-x2+2x+m的问题转化为一次函数在二次函数上方时所有点的横坐标需满足什么条件。我们结合图像，通过A、B两点向x轴作垂线，将图像划分为3个区域，如图7，可见3个区域中只有①和③区域中的图像满足一次函数在二次函数上方的要求。下面只要写出①和③两个区域中所有点的横坐标满足的条件即可，横坐标满足的条件对应着不等式中x的取值范围。
图7
二次函数图像与一元二次方程
二次函数的表达式为y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0），因此当y=0时，得到ax2+bx+c=0（a，b，c为常数，a≠0），这正是一元二次方程的一般式。反映到函数图像上，当y=0时，意味着点的纵坐标为0，这个点会落在x轴上。当二次函数的图像与x轴有两个交点（x1，0）、（x2，0）时，对应着ax2+bx+c=0（a，b，c为常数，a≠0）会有两个不相等的实数根;当二次函数的图像与x轴有一个交点时，对应着ax2+bx+c=0（a≠0）会有两个相等的实数根;当二次函数的图像与x轴没有交点时，对应着ax2+bx+c=0（a≠0）没有实数根。
二次函数图像与不等式
二次函数的表达式为y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0），其图像的“形”为一条抛物线。通过变式2、变式3、变式4，我们可以看出：当y>m（m为常数），求x的取值范围，对应到函数图像上可理解为：当一个点的纵坐标满足一定的条件时，去求符合条件的所有的点的横坐标需要满足什么条件。因此横坐标满足的条件与x的取值范围是相互对应的。
通过对二次函数的图像与一元二次方程、不等式的点滴探索，我们可以发现二次函数的图像是解决相关问题的有效手段，它直观、便捷，可化繁为简。通过例题的展示，我们对它们之间的关系有了更深入的了解，同时也为日后高中的学习打下坚实的基础，提供了类似的研究方法。
（作者单位：江苏省南京市江宁区淳化初级中学）
例1 已知二次函数y=-x2+2x+m的部分图像如图1所示，则关于x的一元二次方程-x2+2x+m=0的另一解为x= 。
图1
【分析】同学们看到求方程的解的第一反应往往都是解方程，但是这个方程中有一个字母m，下面就会集中“火力”去利用函数的图像去求二次函数的解析式，想把m求出來。费了九牛二虎之力后发现m求不出来，思维就此中断。
咱不妨换个思路，只看图像，看图像能告诉我们什么？通过观察我们发现，这个二次函数图像的对称轴是过点（1，0）且与y轴平行的一条直线，函数图像与x轴的一个交点坐标为（3，0）。因此根据图像的轴对称性可推断出图像与x轴的另一个交点坐标必为（-1，0）。这两个交点的横坐标对应的就是一元二次方程-x2+2x+m=0的两个根，因此另一解为x=-1。
变式1 二次函数y=-x2+2x+m的图像如图2所示，那么关于x的一元二次方程-x2+2x+m+2=0的根的情况是（ ）。
图2
A.有两个同号的实数根
B.有两个异号的实数根
C.有两个相等的实数根
D.没有实数根
【分析】同学们看到题目中要对一元二次方程的根的情况进行判断，总会条件反射地去请根的判别式“b2-4ac”来帮忙，照着此路一路向前，最后一定会发现这是一条死胡同。
换个思路，咱们从图像入手。我们可以利用例1中的结论将二次函数y=-x2+2x+m的图像补全，并且在同一个平面直角坐标系中作出整个图像沿着y轴向上平移2个单位后的图像（图3中最上方的图像即为y=-x2+2x+m+2的图像）。通过观察，我们得到图像此时与x轴有两个交点，并且这两个交点的横坐标是异号。因此对应着一元二次方程-x2+2x+m+2=0也有两个异号的实数根。
图3
变式2 函数y=-x2+2x+m的部分图像如图4所示，则关于x的不等式-x2+2x+m<0的解集为 。
图4
【分析】这个关于x的且含有字母m的不等式，我们没有学过它的解法，因此欲解此题就需另辟蹊径——观察图像。
首先还是由例1中的图像对称性出发，先把函数的图像补全（图5-2），然后将这个不等式y<0求解集问题转化为二次函数图像中当点的纵坐标小于0时，直接写出此时点的横坐标x的范围问题。下面请同学们观察图5-2，可得当点的纵坐标小于0时，符合条件的函数图像在x轴的下方，即如图5-3中的两段实线部分，这两段实线部分的所有点的纵坐标都满足小于0，而这些点的横坐标满足的条件是x<-1或x>3。
图5-1 图5-2 图5-3
变式3 求关于x的不等式-x2+2x+3>0的解集。
【分析】同学们不能被此题的提问形式吓倒，它的本质就是一只“纸老虎”。戳破这层纸，你会发现其实就是上面的变式2摈弃了图像的另一种问法而已。此题仍然借助二次函数图像来解决，将求y>0时对应的x的取值范围转化为：图像上所有点的纵坐标都大于0时，此时点的横坐标满足什么条件。我们可以发现符合条件的所有点在图5-3中间虚线部分的图像上，这些点的横坐标满足的条件为-1
图6
【分析】这种不等式直接去求解集肯定是没办法解的。因此我们仍然要借助函数图像，将mx+n>-x2+2x+m的问题转化为一次函数在二次函数上方时所有点的横坐标需满足什么条件。我们结合图像，通过A、B两点向x轴作垂线，将图像划分为3个区域，如图7，可见3个区域中只有①和③区域中的图像满足一次函数在二次函数上方的要求。下面只要写出①和③两个区域中所有点的横坐标满足的条件即可，横坐标满足的条件对应着不等式中x的取值范围。
图7
二次函数图像与一元二次方程
二次函数的表达式为y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0），因此当y=0时，得到ax2+bx+c=0（a，b，c为常数，a≠0），这正是一元二次方程的一般式。反映到函数图像上，当y=0时，意味着点的纵坐标为0，这个点会落在x轴上。当二次函数的图像与x轴有两个交点（x1，0）、（x2，0）时，对应着ax2+bx+c=0（a，b，c为常数，a≠0）会有两个不相等的实数根;当二次函数的图像与x轴有一个交点时，对应着ax2+bx+c=0（a≠0）会有两个相等的实数根;当二次函数的图像与x轴没有交点时，对应着ax2+bx+c=0（a≠0）没有实数根。
二次函数图像与不等式
二次函数的表达式为y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0），其图像的“形”为一条抛物线。通过变式2、变式3、变式4，我们可以看出：当y>m（m为常数），求x的取值范围，对应到函数图像上可理解为：当一个点的纵坐标满足一定的条件时，去求符合条件的所有的点的横坐标需要满足什么条件。因此横坐标满足的条件与x的取值范围是相互对应的。
通过对二次函数的图像与一元二次方程、不等式的点滴探索，我们可以发现二次函数的图像是解决相关问题的有效手段，它直观、便捷，可化繁为简。通过例题的展示，我们对它们之间的关系有了更深入的了解，同时也为日后高中的学习打下坚实的基础，提供了类似的研究方法。
（作者单位：江苏省南京市江宁区淳化初级中学）