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摘要:本文从日常生活、学习和工作中常遇到的一些现象总结出“加/正”思维的概念,并利用此概念,通过两个例题讨论了重力场中静止流体压力问题的求解过程。分析结果表明,采用“加/正”思维的解题方法,思路清晰,步骤明确,有利于提高学习效率。
关键词:“加/正”思维;流体静力学;解题
作者简介:栾秀春(1975-),男,黑龙江鸡西人,哈尔滨工程大学核科学与技术学院,副教授,工学博士,主要研究方向:流体机械及流体控制;高璞珍(1968-),女,辽宁鞍山人,哈尔滨工程大学核科学与技术学院,教授,工学博士,主要研究方向:反应堆热工水力学。(黑龙江 哈尔滨 150001)
基金项目:本文系2009年黑龙江省高等学校教学改革工程项目“基于美国《国家科学教育标准》的探究式教学模式研究”(批准文号:黑高教处函[2009]7号)的研究成果。
我们先来看以下日常生活、学习和工作中常遇到的情况:
(1)小学生学习数学中的计算问题都是从加法开始。
(2)某人遇到朋友领着学龄前的孩子,为表示友好,会问孩子一道计算题,最常问的是加法计算题。
(3)数学中涉及正负的问题,总是先论及正,后论及负。
(4)建立一维坐标系,必须先确定正方向,并且优先在正方向上讨论问题。
(5)建立二维或三维直角坐标系,优先在第一象限或第一卦角内上讨论问题。
(6)某人有现金Y0元,花费了5笔,分别为x1元、x2元、x3元、x4元、x5元,计算还剩多少(Y1元),通常采用的计算式为:
(1)
而很少采用:
(2)
即,在进行大量的加减法运算时,尽量多算加法。
从以上情况,我们可以得出以下结论:在大多数人使用数学方法处理问题的思维习惯中,“加法”优先于“减法”,“正”优先于“负”。我们将这种思维习惯中的现象称为“加/正”思维,而“加”和“正”都采用“+”号表示,所以又可以称为“+”思维。人们遵从这一思维习惯来处理问题,通常能够提高工作效率、减少犯错误的可能性。对于很多人来数,这是没有被意识到的潜意识习惯。
下面,我们就利用“加/正”思维(“+”思维),来讨论重力场中静止流体的压力问题。
一、“加/正”思维在重力场中静止流体压力问题中的表现形式
重力场是最常见的势力场,在很多工程技术领域,流体基本上处于重力场中,因此讨论重力场中流体平衡规律具有普遍意义。
对于图1所示,均质流体ρ=常数,液体中距液面的垂直液体深度(淹深)为h的任一点,满足:
(3)
该式表示了液体在重力作用下压强的产生和分布规律,称为不可压缩均质流体的静压强基本公式。该式表明:[1]
(1)静压强由两部分组成,即液面压强p0和液体自重ρgh引起的压强。液面压强是外力施加于液体而引起的,可通过固体、气体或不同质量的液体对液面施加外力而产生。
(2)连通容器内同一种液体内与液面平行的面上具有相等的压强,这个面称为等压面。例如图2中的:
(4)
式(3)和(4)的代数运算表达都采用了加法的形式,这就是“加/正”思维(“+”思维)的表现形式。
二、重力场中静止流体压力问题的求解过程
参考文献[2]中有这样一道例题。
例1:图3所示为测压装置。假设容器A中水面上的计示压强pe=2.45×104 Pa,h=500mm,h1=200mm,h2=100 mm,h3=300mm,水的密度ρ1=1000kg/m3,酒精的密度ρ2=800kg/m3,水银的密度ρ3=13600kg/m3,试求容器B中气体的计示压强。
参考文献[2]中给出的解题过程先列如下。
解法一:标出如图3所示的1、2、3、4四个交界面,即四个等压面。在水中1点的计示压强为:
(5)
酒精中2点的计示压强比1点的计示压强小ρ3gh1,即:
(6)
酒精中3点的计示压强比2点的计示压强大ρ2gh2,即:
(7)
4点的计示压强比3点的计示压强小ρ3gh3,即:
(8)
由于气体密度小,故容器B中气体的计示压强PBe即为4点的计示压强,代入数值,得:
2.45×104+1000×9.807(0.5+0.2)+800×9.807
×0.1-13600×9.807(0.2+0.3)=-34538(Pa) (9)
容器中的计示压强为负值说明该容器处于真空状态。
以上解题过程利用了不可压缩均质流体的静压强基本公式,采用从等压面1到等压面4逐次递推的方法列写压强平衡方程。既用到“加”运算,也用到“减”运算;而且方程列写与公式变化交织在一起,进行压强平衡方程物理意义分析的同时,还要考虑公式代数变换。对于初学者来说,妨碍了迅速掌握知识要点。我们可以考虑采用“加/正”思维,列写压强平衡方程,而将方程列写与公式变化分开处理,解题过程如下。
解法二:标出如图所示的1、2、3、4四个交界面(即四个等压面)和计示压强pe的液面。分别列写等压面1与液面pe、等压面1与等压面2、等压面3与等压面2、等压面3与等压面4之间的关系:
(10)
(11)
(12)
(13)
由于气体密度小,故容器B中气体的计示压强pBe即为4点的计示压强,得:
(14)
解方程(10)、(11)、(12)、(13)、(14)构成的方程组,其中,ρ1、ρ2、ρ3、h、h1、h2、g、pe为已知量,pBe为欲求量,p1e、p2e、p3e、p4e为中间量。经过代数变换,消去中间量,得:
(15)
最后代入数值,得:
2.45×104+1000×9.807×(0.5+0.2)+800×
9.807×0.1-13600×9.807×(0.2+0.3)=-34538(Pa) (16)
容器中的计示压强为负值说明该容器处于真空状态。
在解法二中,解题过程分成三部分:式(10)-(14)为第一部分,根据不可压缩均质流体的静压强基本公式,列写具有明确物理意义的流体静力学平衡方程;式(15)为第二部分,由前面获得的5个方程组成方程组,经过简单的代数变换,消去中间变量,得出已知量与欲求量之间的关系;式(16)为第三部分,代入数值,进行计算,得出结果。
这样,将问题分析、公式变化、数值计算分开处理。第一部分体现了这部分知识学习的知识点,按照“加/正”思维列写的压强平衡方程,思路清晰,物理意义明确,对于帮助初学者快速掌握知识点大有裨益。第二部分,代数变换,属于纯粹的数学问题,不用再考虑物理意义,让学生自己处理就行了,可以充分利用学过的数学技巧。第三部分,数值计算,自不必多谈。
这样,一道复杂的流体静力学问题的求解,被划分为三个相对独立的部分,分别处理,同时又前后连贯,构成统一的整体。这样的解题过程,思路清晰,步骤明确。
下面我们再来看一道参考文献[1]中的一道习题。
例2:图4所示为一直煤气管,为求管中静止煤气的密度,在高度差H=20m的两个截面装U形管测压计,内装水。已知管外空气的密度ρair=1.28kg/m3,测压计读数h1=100mm,h2=115mm。与水相比,U形管中气柱的影响可以忽略。求管内煤气的密度ρgas。
解:设煤气管内位置1处的煤气的密度为p1gas,位置2处的煤气的密度为p2gas;对应位置1处的煤气管外空气的密度为p1air,对应位置2处的煤气管外空气的密度为p2air。由于h1和h2相对于H,数量级相差很大,因此,认为两段U形管测压计内水与煤气的自由液面之间的高度差等于H;同理,认为两段U形管测压计内水与空气的自由液面之间的高度差等于H。
根据流体静力学基本方程式的几何意义,列写具有明确物理意义的流体静力学平衡方程:
(17)
(18)
(19)
(20)
解方程(17)、(18)、(19)、(20)构成的方程组,其中,、ρair、H、h1、h2、g为已知量,ρgas为欲求量,p1air、p2air、p1gas、p2gas为中间量。经过代数变换,消去中间量,得:
(21)
最后代入数值,得:
(22)
三、结论
“加/正”思维(“+”思维)是人们在日常生活、学习和工作中经常遇到的现象,本文将这一现象加以总结,并应用于流体静力学问题的求解。通过上面的两个例题,可以看出,整个解题过程被划分为问题分析与列写方程、方程代数变换、数值计算三部分,将数学求解与物理问题分析分开,这样既突出了问题中的物理意义和概念,又能够充分利用数学求解的一些技巧,使得整个问题的求解前后连贯统一,各部分又自成体系。因此,采用“加/正”思维的解题方法,思路清晰,步骤明确,有利于初学者将精力集中于问题的物理意义分析上,从而迅速掌握知识要点,达到提高学习效率的目的。
参考文献:
[1]林建忠,阮晓东,陈邦国,王建平,周洁,任安禄.流体力学[M].北京:清华大学出版社,2005.
[2]孔珑.工程流体力学(第三版)[M].北京:中国电力出版社,2007.
(责任编辑:刘辉)
关键词:“加/正”思维;流体静力学;解题
作者简介:栾秀春(1975-),男,黑龙江鸡西人,哈尔滨工程大学核科学与技术学院,副教授,工学博士,主要研究方向:流体机械及流体控制;高璞珍(1968-),女,辽宁鞍山人,哈尔滨工程大学核科学与技术学院,教授,工学博士,主要研究方向:反应堆热工水力学。(黑龙江 哈尔滨 150001)
基金项目:本文系2009年黑龙江省高等学校教学改革工程项目“基于美国《国家科学教育标准》的探究式教学模式研究”(批准文号:黑高教处函[2009]7号)的研究成果。
我们先来看以下日常生活、学习和工作中常遇到的情况:
(1)小学生学习数学中的计算问题都是从加法开始。
(2)某人遇到朋友领着学龄前的孩子,为表示友好,会问孩子一道计算题,最常问的是加法计算题。
(3)数学中涉及正负的问题,总是先论及正,后论及负。
(4)建立一维坐标系,必须先确定正方向,并且优先在正方向上讨论问题。
(5)建立二维或三维直角坐标系,优先在第一象限或第一卦角内上讨论问题。
(6)某人有现金Y0元,花费了5笔,分别为x1元、x2元、x3元、x4元、x5元,计算还剩多少(Y1元),通常采用的计算式为:
(1)
而很少采用:
(2)
即,在进行大量的加减法运算时,尽量多算加法。
从以上情况,我们可以得出以下结论:在大多数人使用数学方法处理问题的思维习惯中,“加法”优先于“减法”,“正”优先于“负”。我们将这种思维习惯中的现象称为“加/正”思维,而“加”和“正”都采用“+”号表示,所以又可以称为“+”思维。人们遵从这一思维习惯来处理问题,通常能够提高工作效率、减少犯错误的可能性。对于很多人来数,这是没有被意识到的潜意识习惯。
下面,我们就利用“加/正”思维(“+”思维),来讨论重力场中静止流体的压力问题。
一、“加/正”思维在重力场中静止流体压力问题中的表现形式
重力场是最常见的势力场,在很多工程技术领域,流体基本上处于重力场中,因此讨论重力场中流体平衡规律具有普遍意义。
对于图1所示,均质流体ρ=常数,液体中距液面的垂直液体深度(淹深)为h的任一点,满足:
(3)
该式表示了液体在重力作用下压强的产生和分布规律,称为不可压缩均质流体的静压强基本公式。该式表明:[1]
(1)静压强由两部分组成,即液面压强p0和液体自重ρgh引起的压强。液面压强是外力施加于液体而引起的,可通过固体、气体或不同质量的液体对液面施加外力而产生。
(2)连通容器内同一种液体内与液面平行的面上具有相等的压强,这个面称为等压面。例如图2中的:
(4)
式(3)和(4)的代数运算表达都采用了加法的形式,这就是“加/正”思维(“+”思维)的表现形式。
二、重力场中静止流体压力问题的求解过程
参考文献[2]中有这样一道例题。
例1:图3所示为测压装置。假设容器A中水面上的计示压强pe=2.45×104 Pa,h=500mm,h1=200mm,h2=100 mm,h3=300mm,水的密度ρ1=1000kg/m3,酒精的密度ρ2=800kg/m3,水银的密度ρ3=13600kg/m3,试求容器B中气体的计示压强。
参考文献[2]中给出的解题过程先列如下。
解法一:标出如图3所示的1、2、3、4四个交界面,即四个等压面。在水中1点的计示压强为:
(5)
酒精中2点的计示压强比1点的计示压强小ρ3gh1,即:
(6)
酒精中3点的计示压强比2点的计示压强大ρ2gh2,即:
(7)
4点的计示压强比3点的计示压强小ρ3gh3,即:
(8)
由于气体密度小,故容器B中气体的计示压强PBe即为4点的计示压强,代入数值,得:
2.45×104+1000×9.807(0.5+0.2)+800×9.807
×0.1-13600×9.807(0.2+0.3)=-34538(Pa) (9)
容器中的计示压强为负值说明该容器处于真空状态。
以上解题过程利用了不可压缩均质流体的静压强基本公式,采用从等压面1到等压面4逐次递推的方法列写压强平衡方程。既用到“加”运算,也用到“减”运算;而且方程列写与公式变化交织在一起,进行压强平衡方程物理意义分析的同时,还要考虑公式代数变换。对于初学者来说,妨碍了迅速掌握知识要点。我们可以考虑采用“加/正”思维,列写压强平衡方程,而将方程列写与公式变化分开处理,解题过程如下。
解法二:标出如图所示的1、2、3、4四个交界面(即四个等压面)和计示压强pe的液面。分别列写等压面1与液面pe、等压面1与等压面2、等压面3与等压面2、等压面3与等压面4之间的关系:
(10)
(11)
(12)
(13)
由于气体密度小,故容器B中气体的计示压强pBe即为4点的计示压强,得:
(14)
解方程(10)、(11)、(12)、(13)、(14)构成的方程组,其中,ρ1、ρ2、ρ3、h、h1、h2、g、pe为已知量,pBe为欲求量,p1e、p2e、p3e、p4e为中间量。经过代数变换,消去中间量,得:
(15)
最后代入数值,得:
2.45×104+1000×9.807×(0.5+0.2)+800×
9.807×0.1-13600×9.807×(0.2+0.3)=-34538(Pa) (16)
容器中的计示压强为负值说明该容器处于真空状态。
在解法二中,解题过程分成三部分:式(10)-(14)为第一部分,根据不可压缩均质流体的静压强基本公式,列写具有明确物理意义的流体静力学平衡方程;式(15)为第二部分,由前面获得的5个方程组成方程组,经过简单的代数变换,消去中间变量,得出已知量与欲求量之间的关系;式(16)为第三部分,代入数值,进行计算,得出结果。
这样,将问题分析、公式变化、数值计算分开处理。第一部分体现了这部分知识学习的知识点,按照“加/正”思维列写的压强平衡方程,思路清晰,物理意义明确,对于帮助初学者快速掌握知识点大有裨益。第二部分,代数变换,属于纯粹的数学问题,不用再考虑物理意义,让学生自己处理就行了,可以充分利用学过的数学技巧。第三部分,数值计算,自不必多谈。
这样,一道复杂的流体静力学问题的求解,被划分为三个相对独立的部分,分别处理,同时又前后连贯,构成统一的整体。这样的解题过程,思路清晰,步骤明确。
下面我们再来看一道参考文献[1]中的一道习题。
例2:图4所示为一直煤气管,为求管中静止煤气的密度,在高度差H=20m的两个截面装U形管测压计,内装水。已知管外空气的密度ρair=1.28kg/m3,测压计读数h1=100mm,h2=115mm。与水相比,U形管中气柱的影响可以忽略。求管内煤气的密度ρgas。
解:设煤气管内位置1处的煤气的密度为p1gas,位置2处的煤气的密度为p2gas;对应位置1处的煤气管外空气的密度为p1air,对应位置2处的煤气管外空气的密度为p2air。由于h1和h2相对于H,数量级相差很大,因此,认为两段U形管测压计内水与煤气的自由液面之间的高度差等于H;同理,认为两段U形管测压计内水与空气的自由液面之间的高度差等于H。
根据流体静力学基本方程式的几何意义,列写具有明确物理意义的流体静力学平衡方程:
(17)
(18)
(19)
(20)
解方程(17)、(18)、(19)、(20)构成的方程组,其中,、ρair、H、h1、h2、g为已知量,ρgas为欲求量,p1air、p2air、p1gas、p2gas为中间量。经过代数变换,消去中间量,得:
(21)
最后代入数值,得:
(22)
三、结论
“加/正”思维(“+”思维)是人们在日常生活、学习和工作中经常遇到的现象,本文将这一现象加以总结,并应用于流体静力学问题的求解。通过上面的两个例题,可以看出,整个解题过程被划分为问题分析与列写方程、方程代数变换、数值计算三部分,将数学求解与物理问题分析分开,这样既突出了问题中的物理意义和概念,又能够充分利用数学求解的一些技巧,使得整个问题的求解前后连贯统一,各部分又自成体系。因此,采用“加/正”思维的解题方法,思路清晰,步骤明确,有利于初学者将精力集中于问题的物理意义分析上,从而迅速掌握知识要点,达到提高学习效率的目的。
参考文献:
[1]林建忠,阮晓东,陈邦国,王建平,周洁,任安禄.流体力学[M].北京:清华大学出版社,2005.
[2]孔珑.工程流体力学(第三版)[M].北京:中国电力出版社,2007.
(责任编辑:刘辉)