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创新题要求考生“针对新颖的信息、情境和设问，选择有效的方法和手段，灵活地应用所学的数学知识、思想方法，进行独立的思考、探索和研究，提出解决问题的思路，创造性地解决问题”. 创新题只是将以前的问题稍加“化妆”，以一个崭新的面目出现在我们的面前，使其乍看脱俗超群. 只要把握创新题的命制规律，便可旧知新解.
方向一 定义“新概念”或“新运算”型
新信息题通过给出一个新概念、或约定一种新运算、或给出几个新的模型等创设一种全新的问题情境，考查考生独立提取信息、加工信息的能力，要求考生在阅读理解的基础上，紧扣条件，抓住关键的信息，实现信息的转化，达到灵活解题的目的.
例1 为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息.设定原信息为[a0a1a2，ai][∈{0，1}]（[i=0，1，2]），传输信息为[h0a0a1a2h1]，其中[h0=a0⊕a1，h1=h0⊕a2]，[⊕]运算规则为：[0⊕0=0]，[0⊕1=1]，[1⊕0=1]，[1⊕1=0]，例如原信息为111，则传输信息为01111.传输信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列接收信息一定有误的是（ ）
A.11010 B.01100
C.10111 D.00011
分析 按题中新定义的新运算法则将给出数据信息进行转化.
解 C选项的原信息为011，则[h0=0⊕1=1]，[h1=h0⊕a2=1⊕1=0]，所以应该接收信息10110.
答案 C
点拨 在给出新定义或新运算问题中要摒弃原有的运算法则，以避免造成运算的紊乱.此类问题虽然给出的条件信息比较多，而其实质却很简单，只需用简单的数学知识即可解决.
方向二 类比型
给出几个在结构上类似的等式或不等式，通过其相似性把信息从一个对象转移到另一个对象，获得对有关问题的结论或在其性质上有相同或相似的一种推理形式，实现信息的转化，达到求解的目的.
例2 先阅读下列不等式的证法，再解决后面的问题：已知[a1， a2∈R]，[a1+a2=1]，求证：[a21+a22≥12].
证明：构造函数[f（x）=（x-a1）2+（x-a2）2]，
[f（x）=2x2-2（a1+a2）x+a12+a22=2x2-2x+a12+a22].
因为对一切[x∈R]，恒有[f（x）]≥[0]，
所以[Δ=4-8（a21+a22）]≤[0]，
从而得[a21+a22≥12].
（1）若[a1， a2， …， an∈R]，[a1+a2+…+an=1]，请写出上述结论的推广式；
（2）参考上述解法，对你推广的结论加以证明.
分析 这是类比问题的推广，所以只需依照条件中给出的结论的结构特征及证明方法就可得到推广结论及其证明.
解 （1）若[a1， a2， …， an∈R]，[a1+a2+…+an=1]，
求证：[a21+a22+…+a2n≥1n].
（2）构造函数[f（x）=（x-a1）2+（x-a2）2+…+（x-an）2]
[=nx2-2（a1+a2+…+an）x+a21+a22+…+a2n]
[=nx2-2x+a21+a22+…+a2n].
因为对一切[x∈R]，都有[f（x）]≥[0]，
所以[Δ=4-4n（a21+a22+…+a2n）]≤[0]，
从而证得：[a21+a22+…+a2n≥1n].
点拨 对于某些不等式证明题，我们若能根据其条件和结论，结合判别式的结构特征，通过构造二项平方和函数：[f（x）=（a1x-b1）2+（a2x-b2）2+…+（anx-bn）2]，由[f（x）]≥[0]得，[Δ]≤[0]，就可以使一些用一般方法处理较繁的问题，获得简捷、明快的证明.构造法解题的最大特点是调整思维视角，在更广阔的背景下分析问题中所涉及的代数、几何元素及其相互关系.应用构造法解题的关键有：（1）要有明确的方向，即为何构造；（2）要弄清条件的本质特点，以便进行逻辑组合.
方向三 信息迁移型
信息迁移题是指以已有的知识为基础，再设置一个新的数学情境；或把已有的知识进一步引申，设置一个简单而又熟悉的物理情境或生活情境或定义新的数学内容.
例4 如图是集合[P={（x，y）|（x-cosθ）2+（y-sinθ）2=4，][0≤θ≤π}]中的点在平面上运动时留下的阴影，中间形如“水滴”部分的平面面积为（ ）
A. [π+3] B. [73π-3]
C. [116π-3] D. [π+2]
分析 圆[（x-cosθ）2+（y-sinθ）2=4]的半径为[2]，圆心在半圆[x2+y2=1（y≥0）]上，“水滴”由图中的三部分组成，其中[S1]，[S2]的面积都为半径为[2]、圆心角为[π3]的扇形面积减去一个直角三角形的面积，[S3]为半径为[1]的半圆的面积.
解 图中的“水滴”面积共由三部分组成，即[S1]，[S2]，[S3]，其中[S1=S2]，而[S1=16π×22-12×1×3][=23π-32]，[S3=12π×12=π2]，所以“水滴”部分的平面面积为[S1+S2+S3=23π-32+23π-32+π2][=11π6][-3].
答案 C
点拨 此题背景比较新颖、别致，问题设计耐人寻味，但用的知识却很传统，所以只要细心剖析题意，用所学知识便不难获解.
方向四 探索探究型 高考中的探索性问题主要考查考生探索解题途径，解决非传统完备问题的能力，是命题者根据学科特点，将数学知识有机融合，并赋予新的情境创设而成的.要求考生观察分析，创造性地运用所学知识和方法解决问题.
例5 歌德巴赫曾研究过“所有形如[1（n+1）m+1]（[m]，[n]为正整数）的分数之和”问题.为了便于表述，引入记号：[n=1∞m=1∞1（n+1）m+1]=[（122+123+124+???）]+ [（132+133+134+???）+…]+[（1（n+1）2+1（n+1）3+1（n+1）4+…）][+…]写出你对此问题的研究结论： （用数学符号表示）.
分析 [n=1∞m=1∞1（n+1）m+1]可以分解成无数个无穷递缩等比数列组成，所以只需利用无穷递缩等比数列求和公式求解，然后利用裂项相消法便可得出相关结论.
解 [n=1∞m=1∞1（n+1）m+1]
[=1221-12+1321-13+…+1（n+1）21-1（n+1）+…]
[=11×2+12×3+…+1n（n+1）+…]
[=1-12+12-13+…+1n-1n+1+…]
[=1].
所以[n=1∞m=1∞1（n+1）m+1=1].
点拨 本题给出背景看似深奥，其实只需透过表面看其本质，便将“不可能”的问题转化为非常熟悉的问题进行求解.
方向五 知识迁移型
知识迁移是以数学为依托，联系、综合其他学科知识和方法考查考生的综合素质. 这种联系和综合必须与中学生的年龄特征、社会阅历相吻合，学科特征要较明显，试题材料要较简单，容易从中提取有效的信息进行分析，在有关学科知识、方法之间的迁移比较自然.
例6 根据空气质量指数API（为整数）的不同，可将空气质量分级如下表：
[API＼&0～50＼&51～100＼&101～150＼&151～200＼&201～250＼&251～300＼&>300＼&级别＼&Ⅰ＼&Ⅱ＼&Ⅲ1＼&Ⅲ2＼&Ⅳ1＼&Ⅳ2＼&Ⅴ＼&状况＼&优＼&良＼&轻微污染＼&轻度污染＼&中度污染＼&中度重污染＼&重度污染＼&]
对某城市一年（365天）的空气质量进行监测，获得的API数据按照区间[0，50]，（50，100]，（100，150]，（150，200]，（200，250]，（250，300）进行分组，得到频率分布直方图如图.
[频率
组距][50 100 150 200 250 300]
（1）求直方图中[x]的值；
（2）计算一年中空气质量分别为良和轻微污染的天数；
（3）求该城市某一周至少有2天的空气质量为良或轻微污染的概率.
（结果用分数表示.已知[57=78125]，[27=128]，[31825+2365+71825+31825+89125=1239125]，[365=73×5]）
分析 本题的实质是统计与概率问题，要能从频率分布直方图提取有效信息点，转化为熟知的问题解决.
解 （1）由图可知，[50x=1-（31825+2365+71825+][31825+89125）×50=1-1239125×50]，
解得，[x=11918250].
（2）[365×（11918250×50+2365×50）=219].
（3）该城市一年中每天空气质量为良或轻微污染的概率为[11918250×50+2365×50=219365=35]，则空气质量不为良且不为轻微污染的概率为[1-35=25]，一周至少有两天空气质量为良或轻微污染的概率为[1-C77（25）7（35）0-C67（25）6（35）1=7665378125].
点拨 本题以世界上最关注的空气质量的衡量标准“空气质量指数”为背景设计的一个统计与概率问题，该题的背景新颖，以热门的焦点问题为载体考查了统计与概率.此题的背景都为学生所熟悉，所以解决该题只需将问题归结为统计与概率问题，便不难使问题获解.
1. 设[A]是整数集的一个非空子集，对于[k∈A]，如果[k-1?A]且[k+1?A]，那么[k]是[A]的一个“孤立元”，给定[S={1，2，3，4，5，6，7，8，}]，由[S]的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有 个.
2.设等差数列[{an}]的前[n]项和为[Sn]，则[S4]，[S8-S4，S12-S8，S16-S12]成等差数列.类比以上结论有：设等比数列[{bn}]的前[n]项积为[Tn]，则[T4]， ， ，[T16T12]成等比数列.
3. 规定密码把英文的明文（真实文）按分母分解，其中英文[a，b，c，…，z]的[26]个字母（不论大小写）依次对应[1，2，3，…，26]这[26]个正整数，见表格：
并给你一个变换公式：
[x=x+12（x∈N，1≤x≤26，x为奇数），x2+13（x∈N，1≤x≤26，x为偶数）.]
将明文转换成密文，若[8]→[82+13=17]，则[h]变为[q]；[25]→[25+12=13]，则[y]变成[m]，按上述规定，若将某明文译成的密文是[shxc]，你能否得出原来的明文？
方向一 定义“新概念”或“新运算”型
新信息题通过给出一个新概念、或约定一种新运算、或给出几个新的模型等创设一种全新的问题情境，考查考生独立提取信息、加工信息的能力，要求考生在阅读理解的基础上，紧扣条件，抓住关键的信息，实现信息的转化，达到灵活解题的目的.
例1 为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息.设定原信息为[a0a1a2，ai][∈{0，1}]（[i=0，1，2]），传输信息为[h0a0a1a2h1]，其中[h0=a0⊕a1，h1=h0⊕a2]，[⊕]运算规则为：[0⊕0=0]，[0⊕1=1]，[1⊕0=1]，[1⊕1=0]，例如原信息为111，则传输信息为01111.传输信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列接收信息一定有误的是（ ）
A.11010 B.01100
C.10111 D.00011
分析 按题中新定义的新运算法则将给出数据信息进行转化.
解 C选项的原信息为011，则[h0=0⊕1=1]，[h1=h0⊕a2=1⊕1=0]，所以应该接收信息10110.
答案 C
点拨 在给出新定义或新运算问题中要摒弃原有的运算法则，以避免造成运算的紊乱.此类问题虽然给出的条件信息比较多，而其实质却很简单，只需用简单的数学知识即可解决.
方向二 类比型
给出几个在结构上类似的等式或不等式，通过其相似性把信息从一个对象转移到另一个对象，获得对有关问题的结论或在其性质上有相同或相似的一种推理形式，实现信息的转化，达到求解的目的.
例2 先阅读下列不等式的证法，再解决后面的问题：已知[a1， a2∈R]，[a1+a2=1]，求证：[a21+a22≥12].
证明：构造函数[f（x）=（x-a1）2+（x-a2）2]，
[f（x）=2x2-2（a1+a2）x+a12+a22=2x2-2x+a12+a22].
因为对一切[x∈R]，恒有[f（x）]≥[0]，
所以[Δ=4-8（a21+a22）]≤[0]，
从而得[a21+a22≥12].
（1）若[a1， a2， …， an∈R]，[a1+a2+…+an=1]，请写出上述结论的推广式；
（2）参考上述解法，对你推广的结论加以证明.
分析 这是类比问题的推广，所以只需依照条件中给出的结论的结构特征及证明方法就可得到推广结论及其证明.
解 （1）若[a1， a2， …， an∈R]，[a1+a2+…+an=1]，
求证：[a21+a22+…+a2n≥1n].
（2）构造函数[f（x）=（x-a1）2+（x-a2）2+…+（x-an）2]
[=nx2-2（a1+a2+…+an）x+a21+a22+…+a2n]
[=nx2-2x+a21+a22+…+a2n].
因为对一切[x∈R]，都有[f（x）]≥[0]，
所以[Δ=4-4n（a21+a22+…+a2n）]≤[0]，
从而证得：[a21+a22+…+a2n≥1n].
点拨 对于某些不等式证明题，我们若能根据其条件和结论，结合判别式的结构特征，通过构造二项平方和函数：[f（x）=（a1x-b1）2+（a2x-b2）2+…+（anx-bn）2]，由[f（x）]≥[0]得，[Δ]≤[0]，就可以使一些用一般方法处理较繁的问题，获得简捷、明快的证明.构造法解题的最大特点是调整思维视角，在更广阔的背景下分析问题中所涉及的代数、几何元素及其相互关系.应用构造法解题的关键有：（1）要有明确的方向，即为何构造；（2）要弄清条件的本质特点，以便进行逻辑组合.
方向三 信息迁移型
信息迁移题是指以已有的知识为基础，再设置一个新的数学情境；或把已有的知识进一步引申，设置一个简单而又熟悉的物理情境或生活情境或定义新的数学内容.
例4 如图是集合[P={（x，y）|（x-cosθ）2+（y-sinθ）2=4，][0≤θ≤π}]中的点在平面上运动时留下的阴影，中间形如“水滴”部分的平面面积为（ ）
A. [π+3] B. [73π-3]
C. [116π-3] D. [π+2]
分析 圆[（x-cosθ）2+（y-sinθ）2=4]的半径为[2]，圆心在半圆[x2+y2=1（y≥0）]上，“水滴”由图中的三部分组成，其中[S1]，[S2]的面积都为半径为[2]、圆心角为[π3]的扇形面积减去一个直角三角形的面积，[S3]为半径为[1]的半圆的面积.
解 图中的“水滴”面积共由三部分组成，即[S1]，[S2]，[S3]，其中[S1=S2]，而[S1=16π×22-12×1×3][=23π-32]，[S3=12π×12=π2]，所以“水滴”部分的平面面积为[S1+S2+S3=23π-32+23π-32+π2][=11π6][-3].
答案 C
点拨 此题背景比较新颖、别致，问题设计耐人寻味，但用的知识却很传统，所以只要细心剖析题意，用所学知识便不难获解.
方向四 探索探究型 高考中的探索性问题主要考查考生探索解题途径，解决非传统完备问题的能力，是命题者根据学科特点，将数学知识有机融合，并赋予新的情境创设而成的.要求考生观察分析，创造性地运用所学知识和方法解决问题.
例5 歌德巴赫曾研究过“所有形如[1（n+1）m+1]（[m]，[n]为正整数）的分数之和”问题.为了便于表述，引入记号：[n=1∞m=1∞1（n+1）m+1]=[（122+123+124+???）]+ [（132+133+134+???）+…]+[（1（n+1）2+1（n+1）3+1（n+1）4+…）][+…]写出你对此问题的研究结论： （用数学符号表示）.
分析 [n=1∞m=1∞1（n+1）m+1]可以分解成无数个无穷递缩等比数列组成，所以只需利用无穷递缩等比数列求和公式求解，然后利用裂项相消法便可得出相关结论.
解 [n=1∞m=1∞1（n+1）m+1]
[=1221-12+1321-13+…+1（n+1）21-1（n+1）+…]
[=11×2+12×3+…+1n（n+1）+…]
[=1-12+12-13+…+1n-1n+1+…]
[=1].
所以[n=1∞m=1∞1（n+1）m+1=1].
点拨 本题给出背景看似深奥，其实只需透过表面看其本质，便将“不可能”的问题转化为非常熟悉的问题进行求解.
方向五 知识迁移型
知识迁移是以数学为依托，联系、综合其他学科知识和方法考查考生的综合素质. 这种联系和综合必须与中学生的年龄特征、社会阅历相吻合，学科特征要较明显，试题材料要较简单，容易从中提取有效的信息进行分析，在有关学科知识、方法之间的迁移比较自然.
例6 根据空气质量指数API（为整数）的不同，可将空气质量分级如下表：
[API＼&0～50＼&51～100＼&101～150＼&151～200＼&201～250＼&251～300＼&>300＼&级别＼&Ⅰ＼&Ⅱ＼&Ⅲ1＼&Ⅲ2＼&Ⅳ1＼&Ⅳ2＼&Ⅴ＼&状况＼&优＼&良＼&轻微污染＼&轻度污染＼&中度污染＼&中度重污染＼&重度污染＼&]
对某城市一年（365天）的空气质量进行监测，获得的API数据按照区间[0，50]，（50，100]，（100，150]，（150，200]，（200，250]，（250，300）进行分组，得到频率分布直方图如图.
[频率
组距][50 100 150 200 250 300]
（1）求直方图中[x]的值；
（2）计算一年中空气质量分别为良和轻微污染的天数；
（3）求该城市某一周至少有2天的空气质量为良或轻微污染的概率.
（结果用分数表示.已知[57=78125]，[27=128]，[31825+2365+71825+31825+89125=1239125]，[365=73×5]）
分析 本题的实质是统计与概率问题，要能从频率分布直方图提取有效信息点，转化为熟知的问题解决.
解 （1）由图可知，[50x=1-（31825+2365+71825+][31825+89125）×50=1-1239125×50]，
解得，[x=11918250].
（2）[365×（11918250×50+2365×50）=219].
（3）该城市一年中每天空气质量为良或轻微污染的概率为[11918250×50+2365×50=219365=35]，则空气质量不为良且不为轻微污染的概率为[1-35=25]，一周至少有两天空气质量为良或轻微污染的概率为[1-C77（25）7（35）0-C67（25）6（35）1=7665378125].
点拨 本题以世界上最关注的空气质量的衡量标准“空气质量指数”为背景设计的一个统计与概率问题，该题的背景新颖，以热门的焦点问题为载体考查了统计与概率.此题的背景都为学生所熟悉，所以解决该题只需将问题归结为统计与概率问题，便不难使问题获解.
1. 设[A]是整数集的一个非空子集，对于[k∈A]，如果[k-1?A]且[k+1?A]，那么[k]是[A]的一个“孤立元”，给定[S={1，2，3，4，5，6，7，8，}]，由[S]的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有 个.
2.设等差数列[{an}]的前[n]项和为[Sn]，则[S4]，[S8-S4，S12-S8，S16-S12]成等差数列.类比以上结论有：设等比数列[{bn}]的前[n]项积为[Tn]，则[T4]， ， ，[T16T12]成等比数列.
3. 规定密码把英文的明文（真实文）按分母分解，其中英文[a，b，c，…，z]的[26]个字母（不论大小写）依次对应[1，2，3，…，26]这[26]个正整数，见表格：
并给你一个变换公式：
[x=x+12（x∈N，1≤x≤26，x为奇数），x2+13（x∈N，1≤x≤26，x为偶数）.]
将明文转换成密文，若[8]→[82+13=17]，则[h]变为[q]；[25]→[25+12=13]，则[y]变成[m]，按上述规定，若将某明文译成的密文是[shxc]，你能否得出原来的明文？