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周期性变化和运动问题是物理学中一类典型的问题，从考试命题来说，联系周期性变化和运动的问题出现的频度非常高。本文几道例题的共同点或者是题中已知条件提供的图象或者是题中研究对象相关物理量间的关系图象呈现为锯齿波形状，看看如何正确构建物理图景。
1．速度—位移锯齿图象
例1 如图1所示，间距为 的两条足够长的平行金属导轨与水平面的夹角为θ，导轨光滑且电阻忽略不计．场强为B的条形匀强磁场方向与导轨平面垂直，磁场区域的宽度为d1，间距为d2．两根质量均为m、有效电阻均为R的导体棒a和b放在导轨上，并与导轨垂直，设重力加速度为g。若a进入第2个磁场区域时，b恰好离开第1个磁场区域；此后a离开第2个磁场区域时，b 又恰好进入第2个磁场区域．且a、b在任意一个磁场区域或无磁场区域的运动时间均相等．求a穿出第k个磁场区域时的速率v．
解析：本题从电路结构来说，两根棒与轨道组成闭合电路，在磁场中的棒切割磁感应线产生感应电动势，相当于电源，在磁场外的棒作为外电阻。由于两根棒始终是一根棒在磁场中，一根棒在磁场外，因此，可以作这样的简化：如图2所示，导体b与两条轨道相连接（b固定不动），导体棒a以速度v1离开磁场区域1，以速度v2进入磁场区域2，然后又以速度v1离开磁场区域2，再以速度v1进入磁场区域3，……， 导体棒a在无磁场区和有磁场区运动时间相同。
导体棒a在无场区，以初速度v1作加速度为 的匀加速运动，位移为d2；导体棒a在磁场区，以初速度v2作加速度为 的变速运动，速度逐渐减小，加速度亦逐渐减小，位移为d1；以磁场区1的下边界为记录位移的起点，沿导轨向下为x正方向，导体棒的速度v随位移x变化的规律如图3所示。
现根据题给条件计算速度v1和v2。
将导体棒a在磁场外和磁场内的运动时间均记为T，在无磁场区域有： ，
在有磁场区域，对a棒由牛顿第二定律： ， 其中 ，则有：
解得：
解以上各式可得：
2．速度—时间锯齿图象
例2 如图4所示，两平行的光滑金属导轨安装在一光滑绝缘斜面上，导轨间距为 、足够长且电阻忽略不计，导轨平面的倾角为 ，条形匀强磁场的宽度为b，磁感应强度大小为B、方向与导轨平面垂直。长度为2b的绝缘杆将导体棒和正方形的单匝线框连接在一起组成“ ”型装置，总质量为m，置于导轨上。导体棒中通以大小恒为I的电流（由外接恒流源产生，图中未画出）。线框的边长为b（b < ），电阻为R，下边与磁场区域上边界重合。将装置由静止释放，导体棒恰好运动到磁场区域下边界处返回，导体棒在整个运动过程中始终与导轨垂直。重力加速度为g。
求：经过足够长时间后，线框上边与磁场区域下边界的最大距离A。
解析：本题中“ ”形装置(以下简称连接体)由静止释放后将沿着轨道上下振动，开始的一段时间振动幅度越来越小，最后作等幅振动。
取刚释放时线框的下边界所对应的斜面上的点为坐标原点（以下涉及的坐标均指线框下边界），沿导轨向下为x轴正方向。
第一个周期，连接体下行过程：
①坐标x=0到x=2b=s1，连接体向下作变加速运动，速度由零增加到v1，
②从坐标x=2b到x=3b，连接体向下作匀加速运动，加速度 ，速度由v1增加到u1。
③从坐标x=3b到x=4b，位移为 ，连接体作匀减速运动，加速度 ，速度由u1减小到零。
连接体上行过程：
④从坐标x=4b到x=3b，连接体向上作初速度为零加速度为a3的匀加速运动，速度由零增加到u1。
⑤从坐标x=3b到x=2b，连接体向上作初速度为u1加速度为a2的匀减速运动，速度由u1减到v1。
⑥从坐标x=2b到x=2b-s2，连接体向上作初速度为v1变减速运动，速度由v1减到零。
连接体运动的v¬¬¬－t图象如图5。从图5很容易看出 ，比较过程①速度由零变到v1与过程⑥速度速度由v1变到零，因加速度a与v 的函数关系的不同，图线弯曲方向相反，因而v-t图与坐标轴间围成的面积（位移）不同。
第一个周期，连接体下行距离s1+b+ 1 ，上行距离 1+b+ s2，因 ，故上行距离小于下行距离。即经一个周期，连接体整体向下平移了一段距离。
对第二个周期可作类似讨论，v-t图的变化情况与第一个周期相似，但图象的纵横向幅度都比第一个周期小，线框整体又向下平移了一段距离。
当n趋于无穷大时， ， ，最终线框上边界达到的最高点为磁场的下边界（即线框最终不再进入磁场区域），此后连接体作等幅振动。线框的（下边界）坐标在x=2b至x=2b+A之间变化。
下面来计算经过足够长时间后，线框上边与磁场区域下边界的最大距离A。
连接体下行的第一阶段，作初速度为零加速度为 的匀加速运动，位移为b， ，
连接体下行的第二阶段，作初速度为vm加速度为 的匀减速运动，末速度为零，位移为A－b。线框下行的全过程由动能定理， ，解得连接体的振辐为 ，
其中，导体棒在磁场中的运动距离为 ，连接体的等幅振动的v¬¬¬－t图象如图6。
3．电压—时间锯齿图象
例3 某种加速器的理想模型如图7所示：两块相距很近的平行小极板中间各开有一小孔a、b，两极板间电压uab的变化图象如图8所示，电压的最大值为U0、周期为T0，在两极板外有垂直纸面向里的匀强磁场。若将一质量为m0、电荷量为q的带正电的粒子从板内a孔处静止释放，经电场加速后进入磁场，在磁场中运动时间T0后恰能再次从a 孔进入电场加速。现该粒子的质量增加了 。(粒子在两极板间的运动时间不计，两极板外无电场，不考虑粒子所受的重力)。若在t=0时刻将该粒子从板内a孔处静止释放，求其第2次加速后从b孔射出时的动能。
解析：本题的加速器可看作是一回旋加速器的变形，只是把常规的回旋加速器中两个D形盒合并为完整的磁场区，相应地把原来的磁场中的半圆周运动变成了完整的圆周运动。
t=0时由a处释放的粒子将由a向b作第1次加速运动，然后沿逆时针方向在磁场中回旋，加速电压为 ，如果粒子的质量为m0，则粒子在磁场中的回旋周期与电场变化周期相等，即T=T0，粒子第2次进入电场，加速电压仍然为最大值，即 。对照图7来说就是第1次加速为图象上的A1点，第2次加速为图象上的A2点。
现在的问题是粒子质量突然变为1.01 m0，使得粒子在磁场中的回旋周期与电场的变化周期不再相等，因而加速过程存在相移。
质量为 的粒子在磁场中作匀速圆周运动，根据 ， 解得： 。当粒子的质量增加了 ，其周期增加 。
根据图7可知，粒子第1次的加速为B1（A1）点，电压 ，粒子第2次的加速为B2点，根据△A2CI∽△B2DI有 ，即 ，解得：
故粒子射出时的动能 。
在本小题中，粒子经第1次、第2次加速后还会有连续多次的加速过程，考虑到相移的存在，各次加速时刻对应图7中的点B1、B2、B3、B4…，不难计算，能连续加速的次数为 ，如果将磁场中运动过程略去并将各次加速的点集中到 图的1/4周期内，则如图8所示。类似上述关于 的分析方法，可以得到各次加速电压分别为： ， ， ，……， 。因此，粒子经加速能获得的最大动能为： ，解得： 。
4．扭转后的速度—时间锯齿图象
例4 制备纳米薄膜装置的工作电极可简化为真空中间距为 的两平行极板，如图10所示，加在极板A、B间的电压UAB作周期性变化，其正向电压为U0，反向电压为－kU0（k>1），电压变化的周期为2τ。在t=0时，极板B附近的一个电子，质量为m、电荷量为e，受电场作用由静止开始运动。若整个运动过程中，电子未碰到极板A，且不考虑重力作用。若电子在 时间内未碰到极板B，求此运动过程中电子速度 随时间t变化的关系；
解析：本题与常见的带电粒子在交变电场中运动模型的最大差异是交变电压的正负半周幅值不对称，这给问题的求解带来很大挑战，我们可以作出带电粒子运动的速度v 随时间t变化的图象如图11。这是一条被扭转后的锯齿波形。
下面根据运动的合成与分解的思路来给出带电粒子的速度随时间变化的函数关系。
题中给的交变电压可以看作是由图12中的两个电压U1、U2所合成，相应地带电粒子的运动可以看成是由对称方波电压U1作用下的运动v1和在恒定电压U2作用下的匀加速度运动v2的合成，如图13所示。
与电压U1对应的加速度大小为
与电压U2对应的加速度大小为
（1）当 时，电子正方向运动速度大小为 ，反方向运动的速度为 。
合速度为
（2）当 时，电子正方向运动速度大小为 ，反方向运动的速度为 ，
合速度为
责任编辑 李婷婷
1．速度—位移锯齿图象
例1 如图1所示，间距为 的两条足够长的平行金属导轨与水平面的夹角为θ，导轨光滑且电阻忽略不计．场强为B的条形匀强磁场方向与导轨平面垂直，磁场区域的宽度为d1，间距为d2．两根质量均为m、有效电阻均为R的导体棒a和b放在导轨上，并与导轨垂直，设重力加速度为g。若a进入第2个磁场区域时，b恰好离开第1个磁场区域；此后a离开第2个磁场区域时，b 又恰好进入第2个磁场区域．且a、b在任意一个磁场区域或无磁场区域的运动时间均相等．求a穿出第k个磁场区域时的速率v．
解析：本题从电路结构来说，两根棒与轨道组成闭合电路，在磁场中的棒切割磁感应线产生感应电动势，相当于电源，在磁场外的棒作为外电阻。由于两根棒始终是一根棒在磁场中，一根棒在磁场外，因此，可以作这样的简化：如图2所示，导体b与两条轨道相连接（b固定不动），导体棒a以速度v1离开磁场区域1，以速度v2进入磁场区域2，然后又以速度v1离开磁场区域2，再以速度v1进入磁场区域3，……， 导体棒a在无磁场区和有磁场区运动时间相同。
导体棒a在无场区，以初速度v1作加速度为 的匀加速运动，位移为d2；导体棒a在磁场区，以初速度v2作加速度为 的变速运动，速度逐渐减小，加速度亦逐渐减小，位移为d1；以磁场区1的下边界为记录位移的起点，沿导轨向下为x正方向，导体棒的速度v随位移x变化的规律如图3所示。
现根据题给条件计算速度v1和v2。
将导体棒a在磁场外和磁场内的运动时间均记为T，在无磁场区域有： ，
在有磁场区域，对a棒由牛顿第二定律： ， 其中 ，则有：
解得：
解以上各式可得：
2．速度—时间锯齿图象
例2 如图4所示，两平行的光滑金属导轨安装在一光滑绝缘斜面上，导轨间距为 、足够长且电阻忽略不计，导轨平面的倾角为 ，条形匀强磁场的宽度为b，磁感应强度大小为B、方向与导轨平面垂直。长度为2b的绝缘杆将导体棒和正方形的单匝线框连接在一起组成“ ”型装置，总质量为m，置于导轨上。导体棒中通以大小恒为I的电流（由外接恒流源产生，图中未画出）。线框的边长为b（b < ），电阻为R，下边与磁场区域上边界重合。将装置由静止释放，导体棒恰好运动到磁场区域下边界处返回，导体棒在整个运动过程中始终与导轨垂直。重力加速度为g。
求：经过足够长时间后，线框上边与磁场区域下边界的最大距离A。
解析：本题中“ ”形装置(以下简称连接体)由静止释放后将沿着轨道上下振动，开始的一段时间振动幅度越来越小，最后作等幅振动。
取刚释放时线框的下边界所对应的斜面上的点为坐标原点（以下涉及的坐标均指线框下边界），沿导轨向下为x轴正方向。
第一个周期，连接体下行过程：
①坐标x=0到x=2b=s1，连接体向下作变加速运动，速度由零增加到v1，
②从坐标x=2b到x=3b，连接体向下作匀加速运动，加速度 ，速度由v1增加到u1。
③从坐标x=3b到x=4b，位移为 ，连接体作匀减速运动，加速度 ，速度由u1减小到零。
连接体上行过程：
④从坐标x=4b到x=3b，连接体向上作初速度为零加速度为a3的匀加速运动，速度由零增加到u1。
⑤从坐标x=3b到x=2b，连接体向上作初速度为u1加速度为a2的匀减速运动，速度由u1减到v1。
⑥从坐标x=2b到x=2b-s2，连接体向上作初速度为v1变减速运动，速度由v1减到零。
连接体运动的v¬¬¬－t图象如图5。从图5很容易看出 ，比较过程①速度由零变到v1与过程⑥速度速度由v1变到零，因加速度a与v 的函数关系的不同，图线弯曲方向相反，因而v-t图与坐标轴间围成的面积（位移）不同。
第一个周期，连接体下行距离s1+b+ 1 ，上行距离 1+b+ s2，因 ，故上行距离小于下行距离。即经一个周期，连接体整体向下平移了一段距离。
对第二个周期可作类似讨论，v-t图的变化情况与第一个周期相似，但图象的纵横向幅度都比第一个周期小，线框整体又向下平移了一段距离。
当n趋于无穷大时， ， ，最终线框上边界达到的最高点为磁场的下边界（即线框最终不再进入磁场区域），此后连接体作等幅振动。线框的（下边界）坐标在x=2b至x=2b+A之间变化。
下面来计算经过足够长时间后，线框上边与磁场区域下边界的最大距离A。
连接体下行的第一阶段，作初速度为零加速度为 的匀加速运动，位移为b， ，
连接体下行的第二阶段，作初速度为vm加速度为 的匀减速运动，末速度为零，位移为A－b。线框下行的全过程由动能定理， ，解得连接体的振辐为 ，
其中，导体棒在磁场中的运动距离为 ，连接体的等幅振动的v¬¬¬－t图象如图6。
3．电压—时间锯齿图象
例3 某种加速器的理想模型如图7所示：两块相距很近的平行小极板中间各开有一小孔a、b，两极板间电压uab的变化图象如图8所示，电压的最大值为U0、周期为T0，在两极板外有垂直纸面向里的匀强磁场。若将一质量为m0、电荷量为q的带正电的粒子从板内a孔处静止释放，经电场加速后进入磁场，在磁场中运动时间T0后恰能再次从a 孔进入电场加速。现该粒子的质量增加了 。(粒子在两极板间的运动时间不计，两极板外无电场，不考虑粒子所受的重力)。若在t=0时刻将该粒子从板内a孔处静止释放，求其第2次加速后从b孔射出时的动能。
解析：本题的加速器可看作是一回旋加速器的变形，只是把常规的回旋加速器中两个D形盒合并为完整的磁场区，相应地把原来的磁场中的半圆周运动变成了完整的圆周运动。
t=0时由a处释放的粒子将由a向b作第1次加速运动，然后沿逆时针方向在磁场中回旋，加速电压为 ，如果粒子的质量为m0，则粒子在磁场中的回旋周期与电场变化周期相等，即T=T0，粒子第2次进入电场，加速电压仍然为最大值，即 。对照图7来说就是第1次加速为图象上的A1点，第2次加速为图象上的A2点。
现在的问题是粒子质量突然变为1.01 m0，使得粒子在磁场中的回旋周期与电场的变化周期不再相等，因而加速过程存在相移。
质量为 的粒子在磁场中作匀速圆周运动，根据 ， 解得： 。当粒子的质量增加了 ，其周期增加 。
根据图7可知，粒子第1次的加速为B1（A1）点，电压 ，粒子第2次的加速为B2点，根据△A2CI∽△B2DI有 ，即 ，解得：
故粒子射出时的动能 。
在本小题中，粒子经第1次、第2次加速后还会有连续多次的加速过程，考虑到相移的存在，各次加速时刻对应图7中的点B1、B2、B3、B4…，不难计算，能连续加速的次数为 ，如果将磁场中运动过程略去并将各次加速的点集中到 图的1/4周期内，则如图8所示。类似上述关于 的分析方法，可以得到各次加速电压分别为： ， ， ，……， 。因此，粒子经加速能获得的最大动能为： ，解得： 。
4．扭转后的速度—时间锯齿图象
例4 制备纳米薄膜装置的工作电极可简化为真空中间距为 的两平行极板，如图10所示，加在极板A、B间的电压UAB作周期性变化，其正向电压为U0，反向电压为－kU0（k>1），电压变化的周期为2τ。在t=0时，极板B附近的一个电子，质量为m、电荷量为e，受电场作用由静止开始运动。若整个运动过程中，电子未碰到极板A，且不考虑重力作用。若电子在 时间内未碰到极板B，求此运动过程中电子速度 随时间t变化的关系；
解析：本题与常见的带电粒子在交变电场中运动模型的最大差异是交变电压的正负半周幅值不对称，这给问题的求解带来很大挑战，我们可以作出带电粒子运动的速度v 随时间t变化的图象如图11。这是一条被扭转后的锯齿波形。
下面根据运动的合成与分解的思路来给出带电粒子的速度随时间变化的函数关系。
题中给的交变电压可以看作是由图12中的两个电压U1、U2所合成，相应地带电粒子的运动可以看成是由对称方波电压U1作用下的运动v1和在恒定电压U2作用下的匀加速度运动v2的合成，如图13所示。
与电压U1对应的加速度大小为
与电压U2对应的加速度大小为
（1）当 时，电子正方向运动速度大小为 ，反方向运动的速度为 。
合速度为
（2）当 时，电子正方向运动速度大小为 ，反方向运动的速度为 ，
合速度为
责任编辑 李婷婷