1. 导数的几何意义
　　例2 已知曲线[y=ax3+b].
　　（1）若曲线在[(2,4)]处的切线方程为[4x-y-4=0]，求[a、b].
　　（2）在（1）的条件下，求曲线过点（2，4）的切线方程.
　　分析 （1）曲线在点（2，4）处切线斜率为4，和已知点（2，4）在曲线上可求得[a、b]. （2）要注意“曲线过点（2，4）的切线”，点（2，4）不一定是切点，因此要先设出切点，再想办法求出切点.
　　解 （1）[∵y ′=3ax2,∴]曲线在[(2,4)]处切线斜率为[k=y ′|x=2=4,]即[12a=4,a=13].
　　又点（2，4）在曲线[y=ax3+b上,∴4=8a+b,]
　　[∴b=4-8a=4-8×13=43], [∴a=13,b=43].
　　（2）设曲线[y=13x3+43]与过点[P(2,4)]的切线相切于点[A(x0,13x30+43)]，
　　则切线的斜率为[k=y ′|x=x0=x20]，
　　所以切线方程为[y-(13x30+43)=x20(x-x0)],
　　即[y=x20x-23x30+43].
　　[∵]点[P(2,4)]在切线上，[∴4=2x20-23x30+43],
　　即[x30-3x20+4=0,∴(x0+1)(x0-2)2=0]，
　　得[x0=-1]或[x0=2].
　　故所求的切线方程为[4x-y-4=0]或[x-y+2=0].
　　点拨 利用导数求切线斜率适用于任何可导函数，解题时要充分运用这一条件；解决“过某点的切线”问题，一般是设出切点坐标为[P(x0,y0),]然后求其切线斜率[k=f ′(x0)]，写出其切线方程，而“在某点处的切线”就是指“某点”为切点.
　　2. 利用导数研究函数的单调性
　　例3 已知[f(x)=ex-ax-1].
　　（1）求[f(x)]的单调增区间；
　　（2）若[f(x)]在定义域R内单调递增，求[a]的取值范围.
　　分析 （1）通过解不等式[f ′(x)≥0]，求单调递增区间，要注意的是[f ′(x)≥0]的范围与[a]的取值有关；（2）转化为不等式恒成立问题求[a].
　　解析 （1）[∵f(x)=ex-ax-1,∴f ′(x)=ex-a.]
　　令[f ′(x)≥0]，得[ex≥a]，
　　当[a≤0]时，有[f ′(x)>0]在R上恒成立,
　　当[a>0]时，有[x≥lna].
　　故当[a≤0]时，[f(x)]的单调增区间为[(-∞,+∞)]；
　　当[a>0]时，[f(x)]的单调增区间为[[lna,+∞)].
　　（2）[∵f(x)=ex-ax-1,∴f ′(x)=ex-a].
　　[∵f(x)]在R上单调递增，
　　[∴f ′(x)=ex-a≥0]恒成立.
　　即[a≤ex,x∈R]恒成立，
　　[∵x∈R]时，[ex∈(0,+∞),∴a≤0],
　　即[a]的取值范围为[(-∞,0]].
　　点拨 在区间内[f ′(x)>0(f ′(x)<0)]是函数[f(x)]在此区间上为增（减）函数的充分条件而不是必要条件，如果出现个别孤立点使[f ′(x)=0,]不会影响[f(x)]在包含该点的某个区间上的单调性. 一般可导函数[f(x)]在[(a,b)]上是增（减）函数的充要条件是：对任意[x∈(a,b),][f(x)≥0][(f(x)≤0)]且在[(a,b)]的任何子区间内都不恒等于零，特别是利用单调性求参数取值范围时，要特别注意“=”是否可以取到.
　　3. 利用导数求函数的极值
　　例4 已知函数[f(x)=x3+ax2+bx+a2]在[x=1]处有极值10，求实数[a]、[b]的值，并判断[f(1)=10]是极大值还是极小值.
　　分析 [f(x)]在[x=1]处有极值的充要条件是[f ′(1)=0]且[f ′(x)]在[x=1]两侧异号.
　　解析 [f ′(x)=3x2+2ax+b]，
　　由题意有[f ′(1)=3+2a+b=0,f(1)=1+a+b+a2=10,]
　　[解得a=-3,b=3,]或[a=4,b=-11.]
　　当[a=-3,b=3]时，
　　[f ′(x)=3x2-6x+3=3(x-1)2≥0]，
　　[∴]此时[x=1]不是极值点，故舍去；
　　当[a=4,b=-11]时，[f ′(x)=(3x+11)(x-1).]
　　由于当[-113　　当[x>1]时，[f ′(x)>0,]
　　[∴x=1]是极小值点，[f(1)=10]是极小值.
　　综上所述[a=4,b=-11,f(1)=10]是极小值.
　　点拨 [f ′(x0)=0]是可导函数[f(x)]在[x=x0]处取得极值的必要不充分条件，因此由[f ′(x)=0]求出的[x0]的值后，一定要判断[x0]左右两侧导数是否异号，否则不能确定[x0]一定是极值点.
　　4. 利用导数研究函数图象特征和方程根的个数.
　　例5 设函数[f(x)=(x+1)2-ln(1+x)2,][g(x)=][x2+x+a]，若关于[x]的方程[f(x)=g(x)]在[[0,2]]上恰有两个不同的实数根，求实数[a]的取值范围.
　　分析 令[F(x)=f(x)-g(x)]，研究[F(x)]在[[0,2]]上的单调性.
　　结合[F(x)]图象的大致形状可以得到根的分布的充要条件.
　　解析 方程[f(x)=g(x),即x-a+1-ln(x+1)2=0.]
　　令[F(x)=x-a+1-ln(x+1)2,]
　　则[F ′(x)=1-2x+1=x-1x+1].
　　由[F ′(x)>0]，得[x<-1或x>1].
　　由[F ′(x)<0]，得[-1　　所以[F(x)]在[[0,1]]上单调递减，在[[1,2]]上单调递增，方程[f(x)=g(x)]在[[0,2]]上恰有两个不同的实数根，即[F(x)]在[[0,2]]上恰有两个零点.
　　所以有[F(0)=1-a≥0,F(1)=2-a-2ln2<0,F(2)=3-a-2ln3≥0,]
　　得[2-2ln2　　所以实数[a]的取值范围为[(2-2ln2,3-2ln3]].
　　点拨 研究方程的根的分布，通常转化为函数的零点问题，利用导数判断函数的单调性、极值、图象特征，再探究出函数图象与[x]轴满足有几个交点时，函数极值或区间端点函数值满足的条件即可获解.
　　5. 利用导数研究函数最值和不等式
　　例6 已知函数[f(x)=12x2-3x+2lnx].
　　（1）求[f(x)]在[[1,e]]上的最大值和最小值；
　　（2）求证：在区间[[1,+∞)]上，函数[f(x)]的图象在函数[g(x)=x3-3x]图象的下方.
　　分析 （1）先研究[f(x)]在[[1,e]]上的单调性，再确定最值是端点值还是极值；
　　（2）将此问题转化为[f(x)　　解析 （1）由[f(x)=12x2-3x+2lnx,]
　　知[f ′(x)=x+2x-3=x2-3x+2x=(x-1)(x-2)x.]
　　由[x∈(1,2)]时[f ′(x)<0,]
　　[∴f(x)]在[[1,2]]上是减函数；
　　当[x∈(2,e)]时[f ′(x)>0,]
　　[∴f(x)]在[[2,e]]上是增函数.
　　[∴]当[x=2]时，[f(x)min=f(2)=2ln2-4].
　　又[f(1)=-52,f(e)=12e2-3e+2],
　　[f(e)-f(1)=12e2-3e+2-(-52)=12(e2-6e+9)=12(e-3)2>0.]
　　[∴f(e)>f(1),∴f(x)max=f(e)=12e2-3e+2.]
　　综上，函数[f(x)]在[[1,e]]上的最大值为[12e2-3e+2]，最小值为[2ln2-4].
　　（2）设[F(x)=12x2-3x+2lnx-x3+3x],
　　则[F ′(x)=-3x2+x+2x=-3x3+x2+2x]
　　[=-(x-1)(3x2+2x+2)x].
　　当[x∈(1,+∞)]时，[F ′(x)<0,]
　　[∴F(x)]在[[1,+∞)]上是减函数，
　　且[F(1)=-12<0]，故当[x∈[1,+∞)]时，[F(x)<0.]
　　[∴12x2-3x+2lnx　　[∴]在区间[[1,+∞)]上，函数[f(x)]的图象在函数[g(x)=x3-3x]图象的下方.
　　点拨 （1）求函数[f(x)]最值，一般要先求出[f(x)]的极值和端点函数值，再通过比较确定[f(x)]的最大值和最小值，若遇到极值点或区间端点是动态的（含参数），还要进行分类讨论.
　　（2）对一些超越不等式的证明，一般是构造函数，利用单调性或最值来证明可使问题得到解决.
　　6. 生活中的优化问题
　　例7 2010年某电视生产厂家中标商务部家电下乡活动，若厂家投放[A、B]型号电视机的价值分别为[p]万元、[q]万元，农民购买电视机获得的补贴分别为[mln(p+1)(m>0)]万元，[110q]万元已知厂家把总价值为10万元的[A、B]两种型号电视机投放某县市场，且[A、B]两型号的电视机投放金额都不低于1万元.（精确到0.1，参考数据：[ln4≈1.4]）
　　（1）当[m=25]时，请你制订一个投放方案，使得在这次活动中某县农民得到的补贴最多，并求出其最大值.
　　（2）当[m≥1]时，农民得到的补贴随厂家投放A型号电视机金额的变化而怎样变化？
　　分析 （1）即求函数[mln(p+1)+110q]，在[p+q=10]，[p≥1,q≥1]下的最大值，设其中一个变量为[x]，问题就是一个关于[x]的函数在什么情况下取得最大值.（2）即研究函数的单调性.
　　解析 设投放的[A]型号的电视机的价值为[x]万元，则投放的[B]型号的电视机的价值为[(10-x)]万元，且[x≥1,10-x≥1]，即[1≤x≤9]，
　　根据题意农民获得补贴
　　[y=mln(x+1)+110(10-x)=mln(x+1)-110x+1.]
　　（1）当[m=25]时，[y=25ln(x+1)-110x+1].
　　[y ′=25(x+1)-110=3-x10(x+1)]，由[y ′=0],得[x=3,]当[x∈(1,3)]时,[y ′>0]，当[x∈(3,9)]时,[y ′<0,]故[x=3]是函数[y]的极大值点，又是惟一的极大值点，故也是[y]的最大值点，此时[ymax=25ln4-310+1][≈1.3]（万元）.
　　即厂家分别投放[A、B]两型号电视机3万元和7万元时，农民得到补贴最多，最多补贴约1.3万元.
　　（2）[y ′=mx+1-110=10m-1-x10(x+1)].
　　当[m≥1]时，[10m-1≥9]，
　　而[1≤x≤9]，[∴]此时[y ′≥0]，
　　[∴y]在[[1,9]]上是增函数.
　　因此随[A]型电视机投放金额[x]的增加，农民得到的补贴逐渐增加.
　　点拨 建立实际问题中的函数关系是解决函数类实际应用问题的第一步，其中的关键环节是找到一个制约全局的变量，这个变量能够表达出求解目标，要充分考虑制约条件对定义域的影响.建立函数模型，通过数学知识得到数学结论，然后再还原成对实际问题的结论.
　　7. 定积分与导数在解析几何中的应用
　　例8 已知顶点在原点，焦点在[y]轴正半轴上的抛物线与直线[l]相切于点[P(2,y0)].
　　
　　（1）若直线[l]的斜率为1，求抛物线的方程；
　　（2）若直线[OP]与抛物线围成阴影部分的面积为2，求抛物线方程.
　　分析 （1）将抛物线方程看作二次函数，再求出[x=2]处斜率即可获解.
　　（2）利用数形结合，确定好被积函数和积分区间，即可获解.
　　解析 设抛物线方程为[x2=2py(p>0)]，
　　则[y=x22p].
　　（1）[y ′=2x2p=xp]，令[y ′|x=2=1,∴2p=1,∴p=2,]
　　所以所求抛物线的方程为[x2=4y].
　　（2）直线[OP]方程为[y=y02x=1px,]
　　故直线[OP]与抛物线围成的面积为
　　[02(1px-x22p)dx=(12px2-16px3)|20][=42p-43p,]
　　[∴42p-43p=2,]所以[p=13].
　　所求抛物线的方程为[x2=23y].
　　点拨 （1）求圆锥曲线某点的切线，有时可将曲线方程转化为函数式，用求导方法求得切线的斜率.
　　（2）求曲边图形的面积，一般要结合图形，确定被积函数和积分上、下限，再利用定积分的值与曲边梯形面积之间的关系，求出其面积.
　　 [专题训练3]
　　1. 若函数[g(x)=x3-ax2+1]在区间[[1,2]]上单调递减，则实数[a]的取值范围为（ ）
　　A. [a≥3] B. [a>3]
　　C. [32　　2. 已知函数[f(x)=x3-px2-qx]的图象与[x]轴切于（1，0）点，则[f(x)]的极大值、极小值分别为（ ）
　　A. [427,0] B. [0,427]
　　C. [-427,0] D. [0,-427]
　　3. 函数[f(x)=x+2cosx]在[[0,π2]]上的最大值点为（ ）
　　A. 0 B. [π6]
　　C. [π3] D. [π2]
　　4. 若函数[f(x)=excosx]，则此函数图象在点[(1,f(1))]处的切线的倾斜角为（ ）
　　A. 0 B. 锐角 C. [π2] D. 钝角
　　5. 已知直线[y=kx]与曲线[y=lnx]有公共点，则[k]的最大值是 .
　　6. 若函数[f(x)=x2+ax+1]在[x=1]处取极值，则[a=] .
　　7. 已知函数[f(x)=-x3+ax2+bx]（[a,b∈R]）的图象如图所示，它与[x]轴在原点处相切，且[x]轴与函数图象所围区域（图中阴影部分）的面积为[112]，则[a]的值为 .
　　
　　8. 某日中午12时整，甲船自[A]处以16km/h的速度向正东行驶，乙船自[A]的正北18km处以24km/h的速度向正南行驶，则当日12时30时两船之间距离对时间的变化率是 km/h.
　　9. 设函数[f(x)=x3-92x2+6x-a].
　　（1）对于任意实数[x]，[f ′(x)≥m]恒成立，求[m]的最大值；
　　（2）若方程[f(x)=0]有且仅有一个实根，求[a]的取值范围.
　　10. 已知函数[f(x)=lnx-ax(a∈R)].
　　（1）求函数[f(x)]的单调区间；
　　（2）当[a>0]时，求函数[f(x)]在[[1,2]]上的最小值.
　　 [【参考答案】]
　　1. A 2. A 3. B 4. D 5. [1e] 6. 3
　　7. [-1] 8. [-1.6]
　　9. （1）[mmax=-34] （2）[a<2或a>52]
　　10. （1）[a≤0]时，单调递增区间为[(0,+∞)]；
　　[a>0]时，增区间为[(0,1a]]，单调减区间为[(1a,+∞)]
　　（2）[0　　[f(x)min=ln2-2a]