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几何概型的显著特征是试验结果的无限性和每一个试验结果出现的等可能性,计算公式为：
P(A)=d的测度D的测度=构成事件A的区域长度（面积、体积等）试验全部结果所构成的区域长度（面积、体积等）
对试验结果采取“几何化”手段是解决几何概型问题的重要策略,在利用已知条件建立适当的几何模型时,关键是抓住两点，即：找准维数，定好测度．
一、 一维几何概型问题
例1 已知m∈［0,5］，求关于x的方程x2-mx+m2+34=0有实数根的概率．
分析:一元变量m∈［0,5］可以看作在区间（或数轴）［0,5］上任取一点，可以发现测度空间是一维的，且为区间长度.可以用数轴或线段画出来，这样便于分析和表达．
解：关于x的方程x2-mx+m2+34=0有实数根等价于：Δ=(-m)2-4m2+34≥0，
得m2-2m-3≥0,即：m≥3或m≤-1．
记关于x的方程x2-mx+m2+34=0有实数根为事件A,由m∈［0,5］得：
d的测度为［3，5］长度，D的测度为［0，5］长度.
从而：P(A)=［3,5］的区间长度［0，5］的区间长度=35
点评：在几何概型中如果仅涉及一个变量，则基本事件必与一维空间对应，通常以线段（或区间）的长度为测度，在画图分析时要完整地、准确地把握构成所求事件的样本空间所对应的线段, 防止遗漏或以偏盖全．对于可以等价转化为弧上的点的分布问题，则可以转化为弧长之比，进而转化为角度之比.
二、 二维几何概型问题
例2 如图是一个边长为0.5米的正方形木板,上面画着一个边界不规则的地图和木板上被雨点打上的痕迹, 则这个地图的面积约为 平方米.
分析:可认为雨点打在木板上的位置是随机的，则雨点落在地图上的概率问题是几何概型,用面积比计算．另外地图上有12个雨点痕迹,木板上总共有27个雨点痕迹,由此计算雨点落在地图上的概率,可以认为二者是相同的，这样就可以反过来推导地图面积.
解：由题意, 雨点落在地图上的概率P=1212+15=49.
而雨点落在地图上的概率P=地图面积木板面积，所以由正方形板的面积为14平方米,得地图面积为19.
点评：本题有别于常规的面积型概率计算,不直接问事件的概率,而是通过随机性先求出雨点落在地图上的概率,再用几何概型的公式来逆向求地图面积.事实上本题雨点的变化区域是封闭的平面区域内部，以平面图形面积为测度，这一类问题是二维空间常见的几何模型，一般情况下都可以等价转化为直角坐标系内的点，它们之间是一一对应的关系.本题也为我们提供了一种估算“封闭的曲边形面积”的方法．
三、 三维几何概型问题
例3 一只苍蝇在边长为1cm的正方体ABCDA1B1C1D1内部自由的飞翔，则它距离顶点A大于1cm的概率是多少？
分析:苍蝇在正方体内部飞翔点可看作在正方体内任意取出一点．距离顶点A大于1cm，相当于在正方体内且在以A为顶点，半径为1的球面之外的区域内任意取出一点，故测度为体积．
解：设距离顶点A大于1cm为事件A,则事件A发生相当于在正方体内且在以A为顶点，半径为1的
球面之外的区域任意取出一点．
所以，D的测度=正方体体积=1cm3，d的测度=18×π×13=π8
因此，P(A)=π81=π8
点评:其实苍蝇的位置可用以A为顶点建立的三维坐标系确定，即三个变量决定苍蝇的位置．一般情况下在几何概型中如果涉及3个变量，则基本事件必与三维空间图形对应，其测度往往是体积．
综上，解几何概型问题的关键在于弄清题中的考察对象，根据随机变化的量和其活动范围，确定随机变化的范围的维数．因此一般情况下，求解几何概型问题中涉及一维空间，求线段之比；二维空间，求面积之比；三维空间，求体积之比．只要找准维数，定好测度，问题自然迎刃而解.
P(A)=d的测度D的测度=构成事件A的区域长度（面积、体积等）试验全部结果所构成的区域长度（面积、体积等）
对试验结果采取“几何化”手段是解决几何概型问题的重要策略,在利用已知条件建立适当的几何模型时,关键是抓住两点，即：找准维数，定好测度．
一、 一维几何概型问题
例1 已知m∈［0,5］，求关于x的方程x2-mx+m2+34=0有实数根的概率．
分析:一元变量m∈［0,5］可以看作在区间（或数轴）［0,5］上任取一点，可以发现测度空间是一维的，且为区间长度.可以用数轴或线段画出来，这样便于分析和表达．
解：关于x的方程x2-mx+m2+34=0有实数根等价于：Δ=(-m)2-4m2+34≥0，
得m2-2m-3≥0,即：m≥3或m≤-1．
记关于x的方程x2-mx+m2+34=0有实数根为事件A,由m∈［0,5］得：
d的测度为［3，5］长度，D的测度为［0，5］长度.
从而：P(A)=［3,5］的区间长度［0，5］的区间长度=35
点评：在几何概型中如果仅涉及一个变量，则基本事件必与一维空间对应，通常以线段（或区间）的长度为测度，在画图分析时要完整地、准确地把握构成所求事件的样本空间所对应的线段, 防止遗漏或以偏盖全．对于可以等价转化为弧上的点的分布问题，则可以转化为弧长之比，进而转化为角度之比.
二、 二维几何概型问题
例2 如图是一个边长为0.5米的正方形木板,上面画着一个边界不规则的地图和木板上被雨点打上的痕迹, 则这个地图的面积约为 平方米.
分析:可认为雨点打在木板上的位置是随机的，则雨点落在地图上的概率问题是几何概型,用面积比计算．另外地图上有12个雨点痕迹,木板上总共有27个雨点痕迹,由此计算雨点落在地图上的概率,可以认为二者是相同的，这样就可以反过来推导地图面积.
解：由题意, 雨点落在地图上的概率P=1212+15=49.
而雨点落在地图上的概率P=地图面积木板面积，所以由正方形板的面积为14平方米,得地图面积为19.
点评：本题有别于常规的面积型概率计算,不直接问事件的概率,而是通过随机性先求出雨点落在地图上的概率,再用几何概型的公式来逆向求地图面积.事实上本题雨点的变化区域是封闭的平面区域内部，以平面图形面积为测度，这一类问题是二维空间常见的几何模型，一般情况下都可以等价转化为直角坐标系内的点，它们之间是一一对应的关系.本题也为我们提供了一种估算“封闭的曲边形面积”的方法．
三、 三维几何概型问题
例3 一只苍蝇在边长为1cm的正方体ABCDA1B1C1D1内部自由的飞翔，则它距离顶点A大于1cm的概率是多少？
分析:苍蝇在正方体内部飞翔点可看作在正方体内任意取出一点．距离顶点A大于1cm，相当于在正方体内且在以A为顶点，半径为1的球面之外的区域内任意取出一点，故测度为体积．
解：设距离顶点A大于1cm为事件A,则事件A发生相当于在正方体内且在以A为顶点，半径为1的
球面之外的区域任意取出一点．
所以，D的测度=正方体体积=1cm3，d的测度=18×π×13=π8
因此，P(A)=π81=π8
点评:其实苍蝇的位置可用以A为顶点建立的三维坐标系确定，即三个变量决定苍蝇的位置．一般情况下在几何概型中如果涉及3个变量，则基本事件必与三维空间图形对应，其测度往往是体积．
综上，解几何概型问题的关键在于弄清题中的考察对象，根据随机变化的量和其活动范围，确定随机变化的范围的维数．因此一般情况下，求解几何概型问题中涉及一维空间，求线段之比；二维空间，求面积之比；三维空间，求体积之比．只要找准维数，定好测度，问题自然迎刃而解.