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三角学中，有关求值、化简、证明以及解三角方程与解几何问题等，都经常涉及到运用三角变换的解题方法与技巧，而三角变换主要为三角恒等变换.
1. 变换函数名
对于含同角的三角函数式，常利用同角三角函数间的基本关系式及诱导公式，通过“切割化弦”“切割互化”“正余互化”等途径来减少或统一所需变换的式子中函数名的种类，这就是变换函数名法．它实质上是“归一”思想，通过同一和化归以有利于问题的解决或发现解题途径.
例1 求值:[sin50°(1+3tan10°).]
解 原式=[sin50°(1+3sin10°cos10°)]
[=sin50°(cos10°+3sin10°)cos10°]
[=2sin50°(cos60°cos10°+sin60°sin10°)cos10°]
[=2sin50°cos50°cos10°=sin100°cos10°=cos10°cos10°=1]．
点拨 本例是“化弦”方法在解有关问题时的具体运用，主要利用切、割、弦之间的基本关系式.
2. 变换角的形式
常包含已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换.对于含不同角的三角函数式，常利用各角之间的数值关系，改变原角的形式，从而运用有关的公式进行变形，这种方法主要是角的拼凑．它应用广泛，方式灵活，如：
[α=(α+β)-β=(α-β)+β,]
[2α=(α+β)+(α-β)=(β+α)-(β-α),]
[α+β=2⋅α+β2,]
[α+β2=α-β2-α2-β]等.
例2 化简：[cos2α-sin2α2cotπ4+αcos2π4-α.]
分析 由于分子是一个平方差，分母中的角[π4+α+π4-α=π2]，若注意到这两大特征，不难得到解题的切入点．
解 原式[=cos2α2tan(π4-α)cos2(π4-α)]
[=cos2α2sin(π4-α)cos(π4-α)]
[=cos2αsin(π2-2α)=cos2αcos2α=1]．
点拨 （1）在二倍角公式中，两个角的倍数关系，不仅限于[2α]是[α]的二倍，要熟悉多种形式的两个角的倍数关系，同时还要注意[2α、π4+α、π4-α]三个角的内在联系，[cos2α=sin(π2±2α)][=2sin(π4±α)][cos(π4±α)]是常用的三角变换．（2）化简题一定要找准解题的突破口或切入点，其中的降次、消元、异角化同角是常用的化简技巧．当然本题还可化成角[α]处理.
例3 [cosα=17,sinα+β=-1114,][α∈-π2,0,][β∈π,3π2,][则cosβ=] .
分析 因为[β=(α+β)-α]，所以求[cosβ]用余弦两个角差的公式．
解 由[α∈-π2,0,β∈π,3π2]知，
[α+β∈π2,3π2].
故[sinα=-437，cos(α+β)=-5314，]
[∴cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα]
[=39398.]
点拨 很多同学会将[sin(α+β)拆成][sinαcosβ][+cosαsinβ],再运用[sin2β+cos2β=1]去求，这样会给运算带来很大的麻烦，不如拼凑简捷.
3. 以式代值
利用特殊角的三角函数值以及含有1的三角公式，将原式中的1或其他特殊值用式子代换，往往有助于问题得到简便解决. 这其中以“1”的变换为最常见且最灵活.“1”可以看作是[sin2x+cos2x、][sec2x-tan2x、csc2x-cot2x、][tanxcotx、][secxcosx、][tan45°]等，根据解题的需要，适时地将“1”作某种变形，能获得较理想的解题方法.
例4 已知[tanα=2]，求[sin2α+sinαcosα-][3cos2α].
分析 这里如果用[tanα=2]去求[sinα]、[cosα]必须考虑象限，还得解方程，太麻烦，但把分母看作是1=[sin2α+cos2α]运算就快捷得多.
解 [∵tanα=2，] [∴cosα≠0.]
[原式=sin2α+sinαcosα-3cos2αsin2α+cos2α=tan2α+tanα-3tan2α+1=22+2-322+1=35.]
点拨 此式之所以能用这种变换，更主要是分式上下均齐次，整理成[tanα]容易.
4. 三角函数次数的升降
根据题目和谐统一的要求对式子进行必要的升幂、降幂，也是三角恒等式的一种必要手段. 常用的降幂公式：[cos2α=1+cos2α2]，[sin2α=1-cos2α2]；升幂公式：[1+cos2α=2cos2α]，[1-cos2α=2sin2α].
例5 化简[12-1212+12cos2α(α∈(3π2,2π))]..
分析 这里要开二次根式，而根号下式子次数为一次只能用缩角升幂公式.
解 [∵3π2<α<2π,]
[∴12-12cos2α=|cosα|=cosα].
又[∵3π4<α2<π,]
[∴12-12cosα=|cosα2|=cosα2].
[∴]原式=[sinα2]．
点拨 公式变形：[1-cosα=2sin2α2、][1+cosα=][2cos2α2、][1±sinα=sinα2±cosα22]. 在1与正余弦同时出现及式中有根号形式经常用到.
例6 已知正实数[a、b]满足[acosπ5+bsinπ5acosπ5-bsinπ5][=tan8π15]，求[ba]的值.
分析 从方程的观点考虑，如果给等式左边的分子、分母同时除以[a]，则已知等式可化为关于[ba]的方程，从而可求出[ba]. 若注意到等式左边的分子、分母都具有[asinθ+bcosθ]的结构，可考虑引入辅助角求解．
解 方法一：由题设得[asinπ5+bacosπ5cosπ5-basinπ5=sin815πcos815π,]则[ba=sin815π⋅cosπ5-cos815π⋅sinπ5cos815π⋅cosπ5+sin815π⋅sinπ5=sin(815π-π5)cos(815π-π5)][=tanπ3=3].
方法二：因为[asinπ5+bcosπ5=a2+b2sin(π5+φ),]
[acosπ5-bsinπ5=a2+b2cos(π5+φ),]其中[tanφ][=ba]，由题设得[tan(π5+φ)=tan][8π15.]
所以[π5+φ=kπ+815π]，即[φ=kπ+π3,]
故[ba=tanφ=tan(kπ+π3)=tanπ3=3.]
方法三：原式可变形为[tanπ5+ba1-batanπ5=tan815π]，
令[tanα=ba]，则有[tanπ5+tanα1-tanα⋅tanπ5=tan(π5+α)]
[=tan815π]，
[∴α+π5=kπ+815π(k∈Z)].
[∴α=kπ+π3,(k∈Z)].
故[tanα=tan(kπ+π3)=tanπ3=3,]即[ba=3].
点拨 以上解法中，方法一用了集中变量的思想，是一种基本解法；解法二通过模式联想，引入辅助角，技巧性较强；解法三利用了换元法，但实质上是综合了解法一和解法二的解法优点．
总之对于三角恒变换，其解题一般思路为“五遇六想”即：遇到切割，想化弦；遇到多元，想消元; 遇差异，想联系；遇高次，想降次；遇特角，想求值；想消元，引辅角. “五遇六想”作为解题经验的总结和概念，操作简便，十分有效.
1. 变换函数名
对于含同角的三角函数式，常利用同角三角函数间的基本关系式及诱导公式，通过“切割化弦”“切割互化”“正余互化”等途径来减少或统一所需变换的式子中函数名的种类，这就是变换函数名法．它实质上是“归一”思想，通过同一和化归以有利于问题的解决或发现解题途径.
例1 求值:[sin50°(1+3tan10°).]
解 原式=[sin50°(1+3sin10°cos10°)]
[=sin50°(cos10°+3sin10°)cos10°]
[=2sin50°(cos60°cos10°+sin60°sin10°)cos10°]
[=2sin50°cos50°cos10°=sin100°cos10°=cos10°cos10°=1]．
点拨 本例是“化弦”方法在解有关问题时的具体运用，主要利用切、割、弦之间的基本关系式.
2. 变换角的形式
常包含已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换.对于含不同角的三角函数式，常利用各角之间的数值关系，改变原角的形式，从而运用有关的公式进行变形，这种方法主要是角的拼凑．它应用广泛，方式灵活，如：
[α=(α+β)-β=(α-β)+β,]
[2α=(α+β)+(α-β)=(β+α)-(β-α),]
[α+β=2⋅α+β2,]
[α+β2=α-β2-α2-β]等.
例2 化简：[cos2α-sin2α2cotπ4+αcos2π4-α.]
分析 由于分子是一个平方差，分母中的角[π4+α+π4-α=π2]，若注意到这两大特征，不难得到解题的切入点．
解 原式[=cos2α2tan(π4-α)cos2(π4-α)]
[=cos2α2sin(π4-α)cos(π4-α)]
[=cos2αsin(π2-2α)=cos2αcos2α=1]．
点拨 （1）在二倍角公式中，两个角的倍数关系，不仅限于[2α]是[α]的二倍，要熟悉多种形式的两个角的倍数关系，同时还要注意[2α、π4+α、π4-α]三个角的内在联系，[cos2α=sin(π2±2α)][=2sin(π4±α)][cos(π4±α)]是常用的三角变换．（2）化简题一定要找准解题的突破口或切入点，其中的降次、消元、异角化同角是常用的化简技巧．当然本题还可化成角[α]处理.
例3 [cosα=17,sinα+β=-1114,][α∈-π2,0,][β∈π,3π2,][则cosβ=] .
分析 因为[β=(α+β)-α]，所以求[cosβ]用余弦两个角差的公式．
解 由[α∈-π2,0,β∈π,3π2]知，
[α+β∈π2,3π2].
故[sinα=-437，cos(α+β)=-5314，]
[∴cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα]
[=39398.]
点拨 很多同学会将[sin(α+β)拆成][sinαcosβ][+cosαsinβ],再运用[sin2β+cos2β=1]去求，这样会给运算带来很大的麻烦，不如拼凑简捷.
3. 以式代值
利用特殊角的三角函数值以及含有1的三角公式，将原式中的1或其他特殊值用式子代换，往往有助于问题得到简便解决. 这其中以“1”的变换为最常见且最灵活.“1”可以看作是[sin2x+cos2x、][sec2x-tan2x、csc2x-cot2x、][tanxcotx、][secxcosx、][tan45°]等，根据解题的需要，适时地将“1”作某种变形，能获得较理想的解题方法.
例4 已知[tanα=2]，求[sin2α+sinαcosα-][3cos2α].
分析 这里如果用[tanα=2]去求[sinα]、[cosα]必须考虑象限，还得解方程，太麻烦，但把分母看作是1=[sin2α+cos2α]运算就快捷得多.
解 [∵tanα=2，] [∴cosα≠0.]
[原式=sin2α+sinαcosα-3cos2αsin2α+cos2α=tan2α+tanα-3tan2α+1=22+2-322+1=35.]
点拨 此式之所以能用这种变换，更主要是分式上下均齐次，整理成[tanα]容易.
4. 三角函数次数的升降
根据题目和谐统一的要求对式子进行必要的升幂、降幂，也是三角恒等式的一种必要手段. 常用的降幂公式：[cos2α=1+cos2α2]，[sin2α=1-cos2α2]；升幂公式：[1+cos2α=2cos2α]，[1-cos2α=2sin2α].
例5 化简[12-1212+12cos2α(α∈(3π2,2π))]..
分析 这里要开二次根式，而根号下式子次数为一次只能用缩角升幂公式.
解 [∵3π2<α<2π,]
[∴12-12cos2α=|cosα|=cosα].
又[∵3π4<α2<π,]
[∴12-12cosα=|cosα2|=cosα2].
[∴]原式=[sinα2]．
点拨 公式变形：[1-cosα=2sin2α2、][1+cosα=][2cos2α2、][1±sinα=sinα2±cosα22]. 在1与正余弦同时出现及式中有根号形式经常用到.
例6 已知正实数[a、b]满足[acosπ5+bsinπ5acosπ5-bsinπ5][=tan8π15]，求[ba]的值.
分析 从方程的观点考虑，如果给等式左边的分子、分母同时除以[a]，则已知等式可化为关于[ba]的方程，从而可求出[ba]. 若注意到等式左边的分子、分母都具有[asinθ+bcosθ]的结构，可考虑引入辅助角求解．
解 方法一：由题设得[asinπ5+bacosπ5cosπ5-basinπ5=sin815πcos815π,]则[ba=sin815π⋅cosπ5-cos815π⋅sinπ5cos815π⋅cosπ5+sin815π⋅sinπ5=sin(815π-π5)cos(815π-π5)][=tanπ3=3].
方法二：因为[asinπ5+bcosπ5=a2+b2sin(π5+φ),]
[acosπ5-bsinπ5=a2+b2cos(π5+φ),]其中[tanφ][=ba]，由题设得[tan(π5+φ)=tan][8π15.]
所以[π5+φ=kπ+815π]，即[φ=kπ+π3,]
故[ba=tanφ=tan(kπ+π3)=tanπ3=3.]
方法三：原式可变形为[tanπ5+ba1-batanπ5=tan815π]，
令[tanα=ba]，则有[tanπ5+tanα1-tanα⋅tanπ5=tan(π5+α)]
[=tan815π]，
[∴α+π5=kπ+815π(k∈Z)].
[∴α=kπ+π3,(k∈Z)].
故[tanα=tan(kπ+π3)=tanπ3=3,]即[ba=3].
点拨 以上解法中，方法一用了集中变量的思想，是一种基本解法；解法二通过模式联想，引入辅助角，技巧性较强；解法三利用了换元法，但实质上是综合了解法一和解法二的解法优点．
总之对于三角恒变换，其解题一般思路为“五遇六想”即：遇到切割，想化弦；遇到多元，想消元; 遇差异，想联系；遇高次，想降次；遇特角，想求值；想消元，引辅角. “五遇六想”作为解题经验的总结和概念，操作简便，十分有效.