“问题是数学的心脏！”发现问题和解决问题是数学的真正组成部分，而作为一年一度“万众瞩目”的高考试题，其典型性不言而喻，探究其求解之道，不仅是巩固基础、高效学习的需要，更是提高解题能力，体验数学乐趣的需要.
　　例题 设[x，y，z∈R]，且满足：[x2+y2+z2=1，][x+2y+3z=14]，则[x+y+z=] .
　　解法一（柯西不等式） 由“三维柯西不等式”可得，
　　[（x2+y2+z2）（12+22+32）≥（x+2y+3z）2]，
　　当且仅当[x∶y∶z=1∶2∶3]时等号成立，
　　由条件[x2+y2+z2=1，x+2y+3z=14]得，
　　[1×14=（14）2]（即上式等号成立）.
　　联立[x∶y∶z=1∶2∶3]，[x2+y2+z2=1，][x+2y+3z=14]得，
　　[x=114]，[y=214]，[z=314]，
　　所以[x+y+z=614=3147].
　　解法二（判别式法） 设[x+y+z=t]，结合[x+2y+3z=14]得，
　　[x=2t+z-14，y=14-t-2z].
　　代入[x2+y2+z2=1]整理得，
　　[6z2+（8t-614）z+5t2-614t+27=0]，
　　由[Δ=（8t-614）2-24（-614t+27）≥0]，
　　即[（7t-32）2≤0]，
　　故[t=3147]，即[x+y+z=3147].
　　解法三（换元法） 由[x2+y2+z2=1]知，不妨设[x=sinα，y=cosαsinβ，z=cosαcosβ，]其中[α∈[0，2π），][β∈[0，2π）]，
　　代入[x+2y+3z=14]得，
　　[x+2y+3z=][sinα+cosα（2sinβ+3cosβ）]
　　[=sinα+13sin（β+θ）cosα]
　　[=1+13sin2（β+θ）sin（α+φ）]
　　[≤1+13sin2（β+θ）][≤14].
　　（其中[cosθ=213，sinθ=313]，[cosφ=][11+13sin2（β+θ）]，[sinφ=13sin（β+θ）1+13sin2（β+θ）]），
　　当[sin（β+θ）=sin（α+φ）=1]时等号成立，此时[sinβ=cosθ=213，][cosβ=sinθ=313]，[sinα=cosφ=114]，[cosα=sinφ=1314]，
　　则[x=114]，[y=214]，[z=314].
　　所以[x+y+z=614=3147].
　　解法四（数形结合法） 将[z]当作常数，由[x2+y2+z2=1]得[x2+y2=1-z2]，它表示[xOy]平面上圆心[（0，0）]的圆.
　　[x+2y+3z=14]即[x+2y+（3z-14）=0]，它表示[xOy]平面上的直线.
　　因为圆心[（0，0）]到直线[x+2y+（3z-14）=0]的距离不大于半径，即[d=3z-145][≤1-z2]，
　　则[z=314]，进而解得[x=114]，[y=214]，
　　所以[x+y+z=614=3147].