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【摘 要】有限、无限既有质的区别又有密切的联系。有限中存在无限；无限是由有限构成的，要通过有限来表现；有限和一定存在，无限和不一定存在；有限个无穷小量之和仍是无穷小量，无限个无穷小量之和可以是确定的数、可以是无穷小、或者不存在。无限在数学中占有十分重要的地位。
【关键词】有限；无限；联系；区别
有限叫人感觉具体，无限使人充满想象，让人对数学多一份理性的思考。0.=1对不对？很多人认为是近似等式，但它确实成立，却有很多人不服，这是一个涉及无限的问题。初等数学更多地在“有限”的领域、更多地以“有限”为手段和工具进行讨论。高等数学则更多地在“无限”的领域、更多地以“无限”为手段和工具展开讨论。极限、导数、定积分、级数等都属于“无限”的范畴，所以学习高等数学就特别需要了解无限和有限的区别和联系。
2.芝诺悖论：阿基里斯追不上乌龟
芝诺是希腊爱利亚学派的一个代表人物，可以说是第一个提出悖论的人。芝诺从哲学的角度提出了四个悖论，以下从数学的角度看看其中的一个悖论。
阿基里斯是希腊传说中跑得最快的神。一天他正在散步，忽然发现在他前面100米远的地方有一只大乌龟正在慢慢地向前爬行。 乌龟说：“阿基里斯！ 谁说你跑得最快？你连我都追不上！”阿基里斯回答说：“胡说！我的速度比你快何止百倍！就算刚好是你的10倍，我也马上就可以超过你！”乌龟说：“就照你说的，我们来试一试吧！当你跑到我现在这个地方，我已经向前爬了10米。当你再向前跑过10米时，我又爬到前面去了。每次你追到我刚刚呆过的地方，我都又向前爬了一段距离。你只能离我越来越近，却永远也追不上我！”阿基里斯说：“哎呀！我明明知道能追上你，可你说的好像也有道理，这是怎么回事呢？ ”这个有趣的悖论，是公元前5世纪古希腊哲学家芝诺提出来的。之所以如此，是因为忽视了一個十分重要的因素：由于那些线段越来越短，阿基里斯跑完那些线段所用的时间也越来越短，下一次只相当于上一次的。
此悖论的症结在于无限段长度的和可能是有限的，无限段时间的和也可能是有限的。
3.希尔伯特旅馆——“有无限个房间”的旅馆
现实世界的旅馆不论有多大都只有有限个房间，客满以后就无法再安排客人入住了。“有无限个房间”的旅馆——这样的旅馆称为希尔伯特旅馆——则不然，客满以后再来客人仍然可以安排入住，由此也可以看出无限与有限的本质区别。
3.1这样的旅馆客满后又来了1位客人，老板能否安排
老板可以先让原来房间里的客人都出来，然后让1号房间的客人搬到2号房间去住，让2号房间的客人搬到3号房间去住，让3号房间的客人搬到4号房间去住，......，这样原来的客人都有房间住了，而1号房间却空出来了，可以让新来的客人入住。
3.2这样的旅馆客满后又来了一个旅游团，旅游团中有无穷个客人，老板能否安排
老板可以先让原来房间里的客人都出来，然后让1号房间的客人搬到2号房间去住，让2号房间的客人搬到4号房间去住，让3号房间的客人搬到6号房间去住，……，这样原来的客人都有房间住了，只占了偶数号房间，所有的奇数号房间却空出来了，有无数个奇数号房间正好可以让新来的无穷个客人入住。
3.3这样的旅馆客满后又来了一万个旅游团，每个团中都有无穷个客人，老板能否安排
老板可以先让原来房间里的客人都出来，然后让1号房间的客人搬到10001号房间去住，让2号房间的客人搬到20002号房间去住，让3号房间的客人搬到30003号房间去住，……，这样原来的客人都有房间住了，空出了一万个又一万个的空房间，正好可以让新来的一万个旅游团中的每一个客人入住。
3.4这样的旅馆客满后又来了无穷个旅游团，每个团中都有无穷个客人，老板能否安排
答案是肯定的。只不过上面的方法用不上了，需要寻找新的方法。原因是从有限到了无限，由此也可以看出无限与有限的本质区别。
4.数学发展历程中的三次危机
从哲学上来看，矛盾无处不在，即便以确定无疑著称的数学也不例外。在数学发展史上，贯穿着矛盾的斗争与解决。当矛盾激化到涉及整个数学的基础时，就会产生数学危机。每一次危机又引发了数学上思想的解放，大大推动了数学科学的发展。
4.1三次数学危机
（1）古希腊毕达哥拉斯学派发现了，从根本上冲击了毕达哥拉斯学派“万物皆数（有理数）”学说。无理数的发现，引起了第一次数学危机。
（2）十七、十八世纪关于微积分的激烈的争论，无穷小量引起的逻辑上的矛盾被称为第二次数学危机。
（3）二十世纪初，罗素发现了一个悖论，它除了涉及集合概念本身外不涉及别的概念。罗素悖论通俗化为理发师悖论：某村的一个理发师宣称，他给且只给自己不给自己刮胡子的人刮胡子。当时的数学家们理所当然的想把集合论作为整个数学的基础，罗素悖论表明集合论中居然有逻辑上的矛盾。罗素悖论引起的集合论的矛盾被称为第三次数学危机。
4.2三次数学危机都与无限有关，也与人们对无限的认识有关
4.2.1危机的实质
第一次危机的要害是只认识有理数不认识无理数，而无理数是无限不循环小数，它可以看作是无限个有理数组成的数列的极限。
第二次危机的要害是极限理论的逻辑基础不完善，缺少严密的极限概念和极限理论，而极限正是“有限过渡到无限”的重要手段。
第三次危机的要害是“是其本身成员的所有集合的集合”这样界定集合的说法有毛病，犯了自我指谓、恶性循环的错误。而且“所有集合的集合”的说法涉及无限多个集合，有些矛盾可能掩盖在其中难以发觉，特别是无限集合之间也能比较大小让人难以接受。
4.2.2危机的作用
每一次危机的引发都是由于数学的基础部分受到质疑，而每一次危机又引发了数学上思想的解放，大大推动了数学的发展。
第一次危机扩张了数系，第二次危机建立了严格的实数理论和极限理论，第三次危机形成了集合论的ZF—系统。
本文初浅分析了有限无限的区别、联系，以及有限无限在初等数学和高等数学中的体现。只有很好的认识了有限无限，才能在学习中驾驭其作用。 [科]
【参考文献】
[1]顾沛著.数学文化.高等教育出版社.
【关键词】有限；无限；联系；区别
有限叫人感觉具体，无限使人充满想象，让人对数学多一份理性的思考。0.=1对不对？很多人认为是近似等式，但它确实成立，却有很多人不服，这是一个涉及无限的问题。初等数学更多地在“有限”的领域、更多地以“有限”为手段和工具进行讨论。高等数学则更多地在“无限”的领域、更多地以“无限”为手段和工具展开讨论。极限、导数、定积分、级数等都属于“无限”的范畴，所以学习高等数学就特别需要了解无限和有限的区别和联系。
2.芝诺悖论：阿基里斯追不上乌龟
芝诺是希腊爱利亚学派的一个代表人物，可以说是第一个提出悖论的人。芝诺从哲学的角度提出了四个悖论，以下从数学的角度看看其中的一个悖论。
阿基里斯是希腊传说中跑得最快的神。一天他正在散步，忽然发现在他前面100米远的地方有一只大乌龟正在慢慢地向前爬行。 乌龟说：“阿基里斯！ 谁说你跑得最快？你连我都追不上！”阿基里斯回答说：“胡说！我的速度比你快何止百倍！就算刚好是你的10倍，我也马上就可以超过你！”乌龟说：“就照你说的，我们来试一试吧！当你跑到我现在这个地方，我已经向前爬了10米。当你再向前跑过10米时，我又爬到前面去了。每次你追到我刚刚呆过的地方，我都又向前爬了一段距离。你只能离我越来越近，却永远也追不上我！”阿基里斯说：“哎呀！我明明知道能追上你，可你说的好像也有道理，这是怎么回事呢？ ”这个有趣的悖论，是公元前5世纪古希腊哲学家芝诺提出来的。之所以如此，是因为忽视了一個十分重要的因素：由于那些线段越来越短，阿基里斯跑完那些线段所用的时间也越来越短，下一次只相当于上一次的。
此悖论的症结在于无限段长度的和可能是有限的，无限段时间的和也可能是有限的。
3.希尔伯特旅馆——“有无限个房间”的旅馆
现实世界的旅馆不论有多大都只有有限个房间，客满以后就无法再安排客人入住了。“有无限个房间”的旅馆——这样的旅馆称为希尔伯特旅馆——则不然，客满以后再来客人仍然可以安排入住，由此也可以看出无限与有限的本质区别。
3.1这样的旅馆客满后又来了1位客人，老板能否安排
老板可以先让原来房间里的客人都出来，然后让1号房间的客人搬到2号房间去住，让2号房间的客人搬到3号房间去住，让3号房间的客人搬到4号房间去住，......，这样原来的客人都有房间住了，而1号房间却空出来了，可以让新来的客人入住。
3.2这样的旅馆客满后又来了一个旅游团，旅游团中有无穷个客人，老板能否安排
老板可以先让原来房间里的客人都出来，然后让1号房间的客人搬到2号房间去住，让2号房间的客人搬到4号房间去住，让3号房间的客人搬到6号房间去住，……，这样原来的客人都有房间住了，只占了偶数号房间，所有的奇数号房间却空出来了，有无数个奇数号房间正好可以让新来的无穷个客人入住。
3.3这样的旅馆客满后又来了一万个旅游团，每个团中都有无穷个客人，老板能否安排
老板可以先让原来房间里的客人都出来，然后让1号房间的客人搬到10001号房间去住，让2号房间的客人搬到20002号房间去住，让3号房间的客人搬到30003号房间去住，……，这样原来的客人都有房间住了，空出了一万个又一万个的空房间，正好可以让新来的一万个旅游团中的每一个客人入住。
3.4这样的旅馆客满后又来了无穷个旅游团，每个团中都有无穷个客人，老板能否安排
答案是肯定的。只不过上面的方法用不上了，需要寻找新的方法。原因是从有限到了无限，由此也可以看出无限与有限的本质区别。
4.数学发展历程中的三次危机
从哲学上来看，矛盾无处不在，即便以确定无疑著称的数学也不例外。在数学发展史上，贯穿着矛盾的斗争与解决。当矛盾激化到涉及整个数学的基础时，就会产生数学危机。每一次危机又引发了数学上思想的解放，大大推动了数学科学的发展。
4.1三次数学危机
（1）古希腊毕达哥拉斯学派发现了，从根本上冲击了毕达哥拉斯学派“万物皆数（有理数）”学说。无理数的发现，引起了第一次数学危机。
（2）十七、十八世纪关于微积分的激烈的争论，无穷小量引起的逻辑上的矛盾被称为第二次数学危机。
（3）二十世纪初，罗素发现了一个悖论，它除了涉及集合概念本身外不涉及别的概念。罗素悖论通俗化为理发师悖论：某村的一个理发师宣称，他给且只给自己不给自己刮胡子的人刮胡子。当时的数学家们理所当然的想把集合论作为整个数学的基础，罗素悖论表明集合论中居然有逻辑上的矛盾。罗素悖论引起的集合论的矛盾被称为第三次数学危机。
4.2三次数学危机都与无限有关，也与人们对无限的认识有关
4.2.1危机的实质
第一次危机的要害是只认识有理数不认识无理数，而无理数是无限不循环小数，它可以看作是无限个有理数组成的数列的极限。
第二次危机的要害是极限理论的逻辑基础不完善，缺少严密的极限概念和极限理论，而极限正是“有限过渡到无限”的重要手段。
第三次危机的要害是“是其本身成员的所有集合的集合”这样界定集合的说法有毛病，犯了自我指谓、恶性循环的错误。而且“所有集合的集合”的说法涉及无限多个集合，有些矛盾可能掩盖在其中难以发觉，特别是无限集合之间也能比较大小让人难以接受。
4.2.2危机的作用
每一次危机的引发都是由于数学的基础部分受到质疑，而每一次危机又引发了数学上思想的解放，大大推动了数学的发展。
第一次危机扩张了数系，第二次危机建立了严格的实数理论和极限理论，第三次危机形成了集合论的ZF—系统。
本文初浅分析了有限无限的区别、联系，以及有限无限在初等数学和高等数学中的体现。只有很好的认识了有限无限，才能在学习中驾驭其作用。 [科]
【参考文献】
[1]顾沛著.数学文化.高等教育出版社.