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华罗庚先生说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微”。从形的角度刻画数，可以让学生从已有的生活经验出发，借助“形”的生动和直观性认识“数”，亲身体验将实际问题抽象成数学模型的过程；从数的独特组合结构，引导学生充分感知，在形成表象的基础上进行联想和想象，从而精确规范地阐明“形”的属性。《新课标》指出小学数学教学要通过有效的数形结合，形成并深化策略，最终达到解决数学问题，理解数学本质，形成数学思想的教学目的。苏教版五年级下册《组合图形的面积》一课的课堂教学就有意识地将抽象的数学关系和直观的图形结合起来，沟通了数与形之间的联系，实现了数量关系与图形性质的相互转化，构建了和谐。灵动的数学课堂，现以此课为例，谈谈本人对数形结合思想的一些感悟。
一、以“数”想“形”，以“形”助“数”——反思并形成策略
[板块一]
出示大小两个圆片(一红一白)
师：知道什么条件就可以求出这两个圆的面积了?
师：如果已知大圆半径R=10厘米，小圆半径r=6厘米：你能算出两个圆的面积吗?
学生笔算汇报
根据学生回答，教师板书：s大圆=3.14X102=314平方厘米，s小圆3.14X62＝113.04平方厘米
师：如果把两个圆面积相加结果是多少?(427.04平方厘米)
师：你知道商积相加表示怎样一个图形的面积吗?(学生黑板操作)
师：除了把这两个圆面积相加，还可以把他们相减。相减的结果是多少?(200.96平方厘米)
师：想象一下，把这两个圆面积相减表示怎样一个图形的面积?
师：哪一部分的面积是通过相减得到的?(注意了圆心的重合)
[板块二]
师；刚才我们怎样得到圆环的?。
学生回忆圆环的形成过程。
根据学生回答，教师板书：圆环面积=外圆面积一内圆面积
“形’具有形象直观的特点，但也有其粗略、繁琐和不便于表达的劣势，只有以简洁的数学语言描述，结合形式化的数学模型表达“形”的特性，才能更好地体现数学抽象化与形式化的魅力。如板块一在表述的过程中，将抽象的数学转化为具体形象的便于学生理解的表象，由数联想到形，自然而然地形成了圆环特征的理性认识。同时通过[板块二]的反思回顾，形成了由“形”到“数”的深化，两个板块以“数”为起点，又回到以“数”为终点的圆环面积计算公式，将数与形有机结合起来，锻炼了学生思维的灵活性，也让学生体会到数学思想带给他们的乐趣。
二、以“数”悟“形”，以“形”想“数”——领悟并运用策略
[板块三]
师：已知圆环外圆的半径10厘米，内圆的半径6厘米，这个圆环的面积怎样求?
生1：3.14×102-3.14X62
生2：3.14X(102-62)
师：你能分别说出这两个算式每一步的算理吗?
师：这两种计算方法你倾向于哪一种?为什么?(让学生发表自己的观点，充分尊重学生的思维)
师：刚才这道题是已知半径求圆环的面积，如果你是老师，你还可以给出什么条件求出圆环的面积?
师：你有什么发现?(其实不管题目怎么变化，归根结底都要算出圆的半径)
[板块四]
出示两个圆环
师：猜一猜圆环的面积大小怎样?
师：猜不能准确解决问题，面积大小到底怎样，请大家算一算。
学生拿起笔却犹豫了，进而窃窃私语……
生：缺少条件。
师：可以提供什么条件，你想让我给你什么条件?
生自由说……
师：现在老师遂你愿，提供给你第一个圆环内圆的直径4厘米，第二个圆环外圆的半径3厘米。(前后桌互相讨论)
板书：3.14X(42-22)=37.68(平方厘米)
3.14X(32-12)=25.12(平方厘米)
师：看到结果了吗?一样吗?你有什么想法?
师：如果用字母R表示外圆的半径，字母r表示内圆的半径，你能用字母表示圆环的面积计算公式吗?
S环=S大-S小=π-R2-πr2
[板块三]中学生由“数”悟“形”，充分认识了圆环面积计算的方法，并进行了发散优化，同时又通过[板块四]以“形”助“数”，有意设置缺少条件的障碍，让学生比较环形面积的大小，突出图的形象思维，引导学生通过观察、比较、计算、思考，认识到决定环形面积大小的最根本因素是内、外圆的半径。在这里教者利用图形的直观性帮助学生完成由感性认识到理性认识的链接，将抽象的数学概念和数量关系表象化、简单化，给学生以直观感，让学生从亲身经历的教训或经验中将数学知识模型化，为理解数学概念奠定了基础，通过这一教学活动，培养了学生思维的深刻性。学生在解决问题时，就能准确抓住问题的内在本质，找出解决问题的方法。
三、以“数”拓“形”。“形”“数”合一——深化并延伸策略
[板块五]
师：刚才算出来的200.96平方厘米表示的一定是圆环的面积吗?还可以是什么形状的?谁上来操作一下?
……
师：看到以上操作结果，你有什么想法?
(同样是大圆减小圆，两圆重合的位置不同，组成的图形就不同，但面积还是相等的)
[板块六]
师：刚才我们研究的都是圆和圆组成组合图形，圆和其他平面图形也能组成组合图形，你能说说圆还能和哪些图形组成组合图形吗?(师出示长方形、正方形、梯形、平行四边形、三角形)
师：老师准备了一个正方形和一个圆形(正方形的边长和圆的直径相等)，把圆平均分成两个半圆，你能组合成哪些组合图形呢?
课堂气氛一时活跃起来，学生创新思维的激情充分激发，各种组合图形呼之跃出……
[板块五]通过有针对性的操作活动，再次激发学生的形象思维，让数学从感性材料出发，通过操作实践、逻辑思维，进而透过表象揭示数与形的本质特征，相信学生对组合图形面积的理解又有了新的更加独特的理解。[板块六]中学生通过对各种简单图形的组合操作，创新思维的火花不断闪烁，探究学习的能力不断提升，这难道不是“数”“形”合一带来的神奇效果吗?
纵观本课，它的高效在于教师依据学生的认知特点，对教材进行了灵活重组，对教学活动进行了精心预设，对数与形进行了多层次的挖掘并有机进行了巧妙的链接，让学生在精心设计的课堂上多次体会了数与形的完美结合，激发了学生探索与学习的欲望，将数学思想进行了有效的渗透，将思维一步步引向深入，从而使学生真正成为课堂的主体，教师真正成为高效课堂的引领者与组织者。
著名教育学家加里宁说过：“数学是思维的体操”。教师在教学中，要善于发现、充分挖掘教材中蕴含的数学思想，通过数与形的结合，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，点燃学生智慧的火花，构建灵动的课堂。
(责任编辑：李雪虹)
一、以“数”想“形”，以“形”助“数”——反思并形成策略
[板块一]
出示大小两个圆片(一红一白)
师：知道什么条件就可以求出这两个圆的面积了?
师：如果已知大圆半径R=10厘米，小圆半径r=6厘米：你能算出两个圆的面积吗?
学生笔算汇报
根据学生回答，教师板书：s大圆=3.14X102=314平方厘米，s小圆3.14X62＝113.04平方厘米
师：如果把两个圆面积相加结果是多少?(427.04平方厘米)
师：你知道商积相加表示怎样一个图形的面积吗?(学生黑板操作)
师：除了把这两个圆面积相加，还可以把他们相减。相减的结果是多少?(200.96平方厘米)
师：想象一下，把这两个圆面积相减表示怎样一个图形的面积?
师：哪一部分的面积是通过相减得到的?(注意了圆心的重合)
[板块二]
师；刚才我们怎样得到圆环的?。
学生回忆圆环的形成过程。
根据学生回答，教师板书：圆环面积=外圆面积一内圆面积
“形’具有形象直观的特点，但也有其粗略、繁琐和不便于表达的劣势，只有以简洁的数学语言描述，结合形式化的数学模型表达“形”的特性，才能更好地体现数学抽象化与形式化的魅力。如板块一在表述的过程中，将抽象的数学转化为具体形象的便于学生理解的表象，由数联想到形，自然而然地形成了圆环特征的理性认识。同时通过[板块二]的反思回顾，形成了由“形”到“数”的深化，两个板块以“数”为起点，又回到以“数”为终点的圆环面积计算公式，将数与形有机结合起来，锻炼了学生思维的灵活性，也让学生体会到数学思想带给他们的乐趣。
二、以“数”悟“形”，以“形”想“数”——领悟并运用策略
[板块三]
师：已知圆环外圆的半径10厘米，内圆的半径6厘米，这个圆环的面积怎样求?
生1：3.14×102-3.14X62
生2：3.14X(102-62)
师：你能分别说出这两个算式每一步的算理吗?
师：这两种计算方法你倾向于哪一种?为什么?(让学生发表自己的观点，充分尊重学生的思维)
师：刚才这道题是已知半径求圆环的面积，如果你是老师，你还可以给出什么条件求出圆环的面积?
师：你有什么发现?(其实不管题目怎么变化，归根结底都要算出圆的半径)
[板块四]
出示两个圆环
师：猜一猜圆环的面积大小怎样?
师：猜不能准确解决问题，面积大小到底怎样，请大家算一算。
学生拿起笔却犹豫了，进而窃窃私语……
生：缺少条件。
师：可以提供什么条件，你想让我给你什么条件?
生自由说……
师：现在老师遂你愿，提供给你第一个圆环内圆的直径4厘米，第二个圆环外圆的半径3厘米。(前后桌互相讨论)
板书：3.14X(42-22)=37.68(平方厘米)
3.14X(32-12)=25.12(平方厘米)
师：看到结果了吗?一样吗?你有什么想法?
师：如果用字母R表示外圆的半径，字母r表示内圆的半径，你能用字母表示圆环的面积计算公式吗?
S环=S大-S小=π-R2-πr2
[板块三]中学生由“数”悟“形”，充分认识了圆环面积计算的方法，并进行了发散优化，同时又通过[板块四]以“形”助“数”，有意设置缺少条件的障碍，让学生比较环形面积的大小，突出图的形象思维，引导学生通过观察、比较、计算、思考，认识到决定环形面积大小的最根本因素是内、外圆的半径。在这里教者利用图形的直观性帮助学生完成由感性认识到理性认识的链接，将抽象的数学概念和数量关系表象化、简单化，给学生以直观感，让学生从亲身经历的教训或经验中将数学知识模型化，为理解数学概念奠定了基础，通过这一教学活动，培养了学生思维的深刻性。学生在解决问题时，就能准确抓住问题的内在本质，找出解决问题的方法。
三、以“数”拓“形”。“形”“数”合一——深化并延伸策略
[板块五]
师：刚才算出来的200.96平方厘米表示的一定是圆环的面积吗?还可以是什么形状的?谁上来操作一下?
……
师：看到以上操作结果，你有什么想法?
(同样是大圆减小圆，两圆重合的位置不同，组成的图形就不同，但面积还是相等的)
[板块六]
师：刚才我们研究的都是圆和圆组成组合图形，圆和其他平面图形也能组成组合图形，你能说说圆还能和哪些图形组成组合图形吗?(师出示长方形、正方形、梯形、平行四边形、三角形)
师：老师准备了一个正方形和一个圆形(正方形的边长和圆的直径相等)，把圆平均分成两个半圆，你能组合成哪些组合图形呢?
课堂气氛一时活跃起来，学生创新思维的激情充分激发，各种组合图形呼之跃出……
[板块五]通过有针对性的操作活动，再次激发学生的形象思维，让数学从感性材料出发，通过操作实践、逻辑思维，进而透过表象揭示数与形的本质特征，相信学生对组合图形面积的理解又有了新的更加独特的理解。[板块六]中学生通过对各种简单图形的组合操作，创新思维的火花不断闪烁，探究学习的能力不断提升，这难道不是“数”“形”合一带来的神奇效果吗?
纵观本课，它的高效在于教师依据学生的认知特点，对教材进行了灵活重组，对教学活动进行了精心预设，对数与形进行了多层次的挖掘并有机进行了巧妙的链接，让学生在精心设计的课堂上多次体会了数与形的完美结合，激发了学生探索与学习的欲望，将数学思想进行了有效的渗透，将思维一步步引向深入，从而使学生真正成为课堂的主体，教师真正成为高效课堂的引领者与组织者。
著名教育学家加里宁说过：“数学是思维的体操”。教师在教学中，要善于发现、充分挖掘教材中蕴含的数学思想，通过数与形的结合，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，点燃学生智慧的火花，构建灵动的课堂。
(责任编辑：李雪虹)