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摘要数学直觉实验题的解决,不能只注重形式、不及本质、注重直观。本文从数数、折剪、剪拼三个方面阐述了直觉与理性思维的联系。数学实验题的真正解决需要大量的数学知识和严密的逻辑思维。
关键词数学实验题 数数 折剪 剪拼
中图分类号:G633.6文献标识码:A
《数学课程标准》中提出:“有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿和记忆,动手实践、自主探索与合作交流是学生学习的重要方式。”新课程标准中的要求与以往不同的是:强调了学生的动手实践能力,应运而生了许多直觉实验题,这些题降低了对论证的要求。教师在进行这部分内容的教学中存在着注重形式、不及本质、注重直观、淡化理性的倾向,经常停留在就题论题的层面,缺少为什么会想到这样的结果的解释。虽然这类题表面是对直觉思维有要求,但不等于说是光靠直觉就能真正解决问题,它还是需要以大量的数学知识为支撑,通过一定的方法和逻辑思维来解决。直觉思维不是孤立的,它和理性思维是相互促进的。
下面我们不妨从“数数”、“折剪”“剪拼”等一些问题中谈谈直觉数学题中隐含的深层次的理性思维。
1 数数
这类题我们不妨从数线段开始说起。
例1 下列图中,一共有几条线段?
一般情况下,教师让学生通过观察、思考、交流,得出图中共有15条线段的结论,但教师若只是停留在这个层次上显然是不够的。作为教师心中明白,这里面隐含概率中组合的思想,教师虽不能直接给出组合的公式,但必须告诉学生按一定顺序去找:从第一个字母开始,逐个向后数,AB、AC、AD、AE、AF、BC、BD、BE、BF、CD、CE、CF、DE、DF、EF。通过这样的推导,体现了的数学的分类思想,增强了学生的逻辑思维能力。学生真正掌握了这种方法,下面一题数三角形的题就迎刃而解了。
例2 下图中共有几个三角形?
有了上题的基础,结合三角形的定义,用上题的方法按分类、按顺序就可以不重复不遗漏地数出来了。
例3 下图中共有几个三角形?
这道题看似和第二题一样,但难度上大得多,从图像表面上看不出按什么顺序去数。教师通过让学生观察、思考、交流,把所有的三角形写出来。但学生心里是非常不踏实的,有没有被遗漏的三角形了呢?到底有没有数全呢?的确,若不加以深层次分析,学生下次遇到这类题很容易出错,不是遗漏就是重复。教师往往认为是学生做题不仔细,而本质上是学生没有掌握解题的方法,每次解题是碰“运气”。为了解决这个问题,我们不妨由上面的两个问题中得到一定启发,按一定顺序去数。只是这道题中的顺序不能从图形表面上来找。那么我们不妨对图中的每一块进行编号,有了序号,就有了一定的顺序,再一一判断:
先单独看一块:①、②、③、④,显然①不是三角形,其它3个都是;
再看两两组合:(①②)、(①③)、(①④)、(②③)、(②④)、(③④),其中2组不能形成三角形,4组能形成三角形;
再看三三组合:(①②③)、(①②④)、(①③④)、(②③④),这里三三组合都不能形成三角形;
最后看四个组合在一起:四个在一起显然是个大三角形。
这里三三组合中虽然没有一种能形成三角形,但并非说可以不考虑这种情况,只有这样,解决其它类似问题时才不至于重复或遗漏。
面对这类“数数”问题,不管有多少实例也代替不了理性的深度思考。教师不能一味责怪学生看图不仔细、不全面。这类题目不仅仅是考查学生仔细的能力,更重要的是考察学生有没有掌握一定的数学方法。教师在教学过程中要实施直观表象与理性思维相结合的教学策略。
2 折剪
折剪问题在数学新课程改革后经常出现的频率比以前高了很多。比如在《轴对称》一节中有这样一题:
例4 把一个正方形纸片按下方要求对折,沿虚线剪下,而后展开,所得的图形大致是______。
从下往上折从左往右折沿虚线剪下
面对这类题,大部分老师让学生先观察,再猜想答案,最后动手实验。利用手中的剪刀和正方形纸片,按照题目中的要求折叠、裁剪、展开,学生基本上能得到正确的答案。若有个别同学出错,老师还可以正好利用这个反例,让其他同学思考这个学生为什么错,最后得到结论:一定要按要求折叠,“从下往上折”和“从上往下折”展开所得的图形是完全不同的,并再次提醒学生要看清楚题目要求。最后教师再对这道题进行变式训练,算是完满结束了。反过来想,若教学停留在这个层次,这种折剪要求或许对幼儿园的小朋友来说都是能完成的。这道题的最终目的是培养学生的逆向思维和空间想象能力,当然这里的逆向思维是利用轴对称知识的。教师让学生动手实验,绝对不是最终目的。动手的这个过程是为动脑提供最直接、最可靠的依据。在动手动脑的过程中,领悟解决这道题的思想方法,增加学生的空间想象能力。
例4通过动手实验后,进一步思考,每一次对折就是产生一条对称轴,我们逆向画出对称轴,画出轴对称图形,得到完整的图形。
这样一方面锻炼了学生画轴对称图形的能力,同时也锻炼了学生的空间想象能力。折剪后,到底哪一块是不变的?展开时的顺序又是怎样?与原来折时的顺序有什么联系?有了这些深层次的思考,学生对再复杂折纸问题就会有一定的思考方法。
类似的折剪问题在新教材中经常出现,教师绝对不能停留在浅层次上,做表面文章。只有通过一定的深度思考,引导学生挖掘真正的数学知识、数学方法,才能让学生经历从具体到表象再到抽象这个过程。
3 剪拼
例5 某加工车间现有一块梯形钢板废料,为了响应厂里提出的节省开支的计划,打算把它切割后焊接成一个三角形,使面积保持不变,请你设计一个设计方案。
这种问题表面只是要求学生剪剪拼拼。学生通过多次动手实验后能完成这个任务。问其怎么会做出来的,似乎直觉的成分偏多。教师若以得出最后答案为最终目的,此题就没什么价值。
这类剪拼题,教师要有意识的将学生的注意力集中到说理上来。教师引导学生关注两个问题:(1)如何想到这种合适的剪拼方法?(2)如何说明自己的剪拼的合理性?
本质上,要完成这个貌似简单的问题,学生首先要考虑到所要拼成的图形三角形的“模样”,再思考梯形与三角形之间的联系。有些学生好像没经过什么思考就做出来了,其实,他们脑子里已经把这些知识融会贯通在一起了。梯形问题转换成三角形来解决是常用的方法,学生前面或许已经积累了一些梯形转换成三角形的方法,再结合经过梯形一腰中点做辅助线是解决梯形的常规辅助线这个知识点,这道题就不难想出来了。教师下一步要引导学生说明自己剪拼的合理性。这道题当然是比较简单的,利用三角形的全等就能说明。但若看下一题:
例6 如图,⊿ABC中,AD为BC边上的中线,⊿ABD与⊿ACD等底同高,从而这两个三角形的面积相等,现在请你设计一种方案,把三角形⊿ACD分成若干小块,而这若干小块下好能拼成⊿ABD,说明理由。
这题的本质也是剪拼。在教学过程中,我发现一部分学生画出了分割方案,但说不出理由。这足以说明他们的分割方案是凭直觉的,为什么这样分,他心里也不清楚,所以教师对说理这个环节要重视。此题,本质上也是证三角形的全等,只是两组三角形的方向不同,学生想不到而已。
剪拼这类问题,教师始终要抓住三个环节开展活动:(1)怎样“剪”?(2)为什么想到这样剪?(3)为什么合理?而若教师注重了后面两个环节,能引领学生的理解趋向深层次化,让学生深刻领悟到数学基础知识在解决解决这类问题时起的“支撑”作用,最终达成深化学生对基础知识的掌握,提高学生对基础知识的运用能力。
4 小结
“直觉思维是指不经过一步步地分析,而迅速地对问题答案作出合理猜测、突然领悟、理解的思维。直觉思维是一种特殊的创造思维。直觉思维不同于一般思维活动之处,在于它浓缩了对思维对象(已知、结论、关系)的信息加工处理过程,简缩了数学推理演算过程,其中包括的理性思维是跳跃性的甚至是模糊的,它既依赖于过去的经验和理性认识,又参与了很大的创造想象活动。”这段对直觉思维的解释,让我们更清楚地认识到:直觉实验题,表面上是学生利用直觉思维解决问题,实际上需要大量的数学基础知识为其支撑。教师在引导学生解决这类直觉实验题时,绝不能仅仅依靠所谓的“灵感”,更要注重以前的知识、经验和理性思维的运用。
参考文献
[1] 孔企平,张维忠,黄荣金.数学新课程与数学学习[M].高等教育出版社,2003.11.
[2]王琴.数学直觉思维及其培养[D].中国优秀博硕士学位论文全文数据库 (硕士),2006(9).
[3] 姚磊,江蓉涛.浅谈数学教学中直觉思维的培养[J].成都教育学院学报,2001(2).
[4] 鲍晓云.论数学直觉思维[J]江西科学,2002(2).
关键词数学实验题 数数 折剪 剪拼
中图分类号:G633.6文献标识码:A
《数学课程标准》中提出:“有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿和记忆,动手实践、自主探索与合作交流是学生学习的重要方式。”新课程标准中的要求与以往不同的是:强调了学生的动手实践能力,应运而生了许多直觉实验题,这些题降低了对论证的要求。教师在进行这部分内容的教学中存在着注重形式、不及本质、注重直观、淡化理性的倾向,经常停留在就题论题的层面,缺少为什么会想到这样的结果的解释。虽然这类题表面是对直觉思维有要求,但不等于说是光靠直觉就能真正解决问题,它还是需要以大量的数学知识为支撑,通过一定的方法和逻辑思维来解决。直觉思维不是孤立的,它和理性思维是相互促进的。
下面我们不妨从“数数”、“折剪”“剪拼”等一些问题中谈谈直觉数学题中隐含的深层次的理性思维。
1 数数
这类题我们不妨从数线段开始说起。
例1 下列图中,一共有几条线段?
一般情况下,教师让学生通过观察、思考、交流,得出图中共有15条线段的结论,但教师若只是停留在这个层次上显然是不够的。作为教师心中明白,这里面隐含概率中组合的思想,教师虽不能直接给出组合的公式,但必须告诉学生按一定顺序去找:从第一个字母开始,逐个向后数,AB、AC、AD、AE、AF、BC、BD、BE、BF、CD、CE、CF、DE、DF、EF。通过这样的推导,体现了的数学的分类思想,增强了学生的逻辑思维能力。学生真正掌握了这种方法,下面一题数三角形的题就迎刃而解了。
例2 下图中共有几个三角形?
有了上题的基础,结合三角形的定义,用上题的方法按分类、按顺序就可以不重复不遗漏地数出来了。
例3 下图中共有几个三角形?
这道题看似和第二题一样,但难度上大得多,从图像表面上看不出按什么顺序去数。教师通过让学生观察、思考、交流,把所有的三角形写出来。但学生心里是非常不踏实的,有没有被遗漏的三角形了呢?到底有没有数全呢?的确,若不加以深层次分析,学生下次遇到这类题很容易出错,不是遗漏就是重复。教师往往认为是学生做题不仔细,而本质上是学生没有掌握解题的方法,每次解题是碰“运气”。为了解决这个问题,我们不妨由上面的两个问题中得到一定启发,按一定顺序去数。只是这道题中的顺序不能从图形表面上来找。那么我们不妨对图中的每一块进行编号,有了序号,就有了一定的顺序,再一一判断:
先单独看一块:①、②、③、④,显然①不是三角形,其它3个都是;
再看两两组合:(①②)、(①③)、(①④)、(②③)、(②④)、(③④),其中2组不能形成三角形,4组能形成三角形;
再看三三组合:(①②③)、(①②④)、(①③④)、(②③④),这里三三组合都不能形成三角形;
最后看四个组合在一起:四个在一起显然是个大三角形。
这里三三组合中虽然没有一种能形成三角形,但并非说可以不考虑这种情况,只有这样,解决其它类似问题时才不至于重复或遗漏。
面对这类“数数”问题,不管有多少实例也代替不了理性的深度思考。教师不能一味责怪学生看图不仔细、不全面。这类题目不仅仅是考查学生仔细的能力,更重要的是考察学生有没有掌握一定的数学方法。教师在教学过程中要实施直观表象与理性思维相结合的教学策略。
2 折剪
折剪问题在数学新课程改革后经常出现的频率比以前高了很多。比如在《轴对称》一节中有这样一题:
例4 把一个正方形纸片按下方要求对折,沿虚线剪下,而后展开,所得的图形大致是______。
从下往上折从左往右折沿虚线剪下
面对这类题,大部分老师让学生先观察,再猜想答案,最后动手实验。利用手中的剪刀和正方形纸片,按照题目中的要求折叠、裁剪、展开,学生基本上能得到正确的答案。若有个别同学出错,老师还可以正好利用这个反例,让其他同学思考这个学生为什么错,最后得到结论:一定要按要求折叠,“从下往上折”和“从上往下折”展开所得的图形是完全不同的,并再次提醒学生要看清楚题目要求。最后教师再对这道题进行变式训练,算是完满结束了。反过来想,若教学停留在这个层次,这种折剪要求或许对幼儿园的小朋友来说都是能完成的。这道题的最终目的是培养学生的逆向思维和空间想象能力,当然这里的逆向思维是利用轴对称知识的。教师让学生动手实验,绝对不是最终目的。动手的这个过程是为动脑提供最直接、最可靠的依据。在动手动脑的过程中,领悟解决这道题的思想方法,增加学生的空间想象能力。
例4通过动手实验后,进一步思考,每一次对折就是产生一条对称轴,我们逆向画出对称轴,画出轴对称图形,得到完整的图形。
这样一方面锻炼了学生画轴对称图形的能力,同时也锻炼了学生的空间想象能力。折剪后,到底哪一块是不变的?展开时的顺序又是怎样?与原来折时的顺序有什么联系?有了这些深层次的思考,学生对再复杂折纸问题就会有一定的思考方法。
类似的折剪问题在新教材中经常出现,教师绝对不能停留在浅层次上,做表面文章。只有通过一定的深度思考,引导学生挖掘真正的数学知识、数学方法,才能让学生经历从具体到表象再到抽象这个过程。
3 剪拼
例5 某加工车间现有一块梯形钢板废料,为了响应厂里提出的节省开支的计划,打算把它切割后焊接成一个三角形,使面积保持不变,请你设计一个设计方案。
这种问题表面只是要求学生剪剪拼拼。学生通过多次动手实验后能完成这个任务。问其怎么会做出来的,似乎直觉的成分偏多。教师若以得出最后答案为最终目的,此题就没什么价值。
这类剪拼题,教师要有意识的将学生的注意力集中到说理上来。教师引导学生关注两个问题:(1)如何想到这种合适的剪拼方法?(2)如何说明自己的剪拼的合理性?
本质上,要完成这个貌似简单的问题,学生首先要考虑到所要拼成的图形三角形的“模样”,再思考梯形与三角形之间的联系。有些学生好像没经过什么思考就做出来了,其实,他们脑子里已经把这些知识融会贯通在一起了。梯形问题转换成三角形来解决是常用的方法,学生前面或许已经积累了一些梯形转换成三角形的方法,再结合经过梯形一腰中点做辅助线是解决梯形的常规辅助线这个知识点,这道题就不难想出来了。教师下一步要引导学生说明自己剪拼的合理性。这道题当然是比较简单的,利用三角形的全等就能说明。但若看下一题:
例6 如图,⊿ABC中,AD为BC边上的中线,⊿ABD与⊿ACD等底同高,从而这两个三角形的面积相等,现在请你设计一种方案,把三角形⊿ACD分成若干小块,而这若干小块下好能拼成⊿ABD,说明理由。
这题的本质也是剪拼。在教学过程中,我发现一部分学生画出了分割方案,但说不出理由。这足以说明他们的分割方案是凭直觉的,为什么这样分,他心里也不清楚,所以教师对说理这个环节要重视。此题,本质上也是证三角形的全等,只是两组三角形的方向不同,学生想不到而已。
剪拼这类问题,教师始终要抓住三个环节开展活动:(1)怎样“剪”?(2)为什么想到这样剪?(3)为什么合理?而若教师注重了后面两个环节,能引领学生的理解趋向深层次化,让学生深刻领悟到数学基础知识在解决解决这类问题时起的“支撑”作用,最终达成深化学生对基础知识的掌握,提高学生对基础知识的运用能力。
4 小结
“直觉思维是指不经过一步步地分析,而迅速地对问题答案作出合理猜测、突然领悟、理解的思维。直觉思维是一种特殊的创造思维。直觉思维不同于一般思维活动之处,在于它浓缩了对思维对象(已知、结论、关系)的信息加工处理过程,简缩了数学推理演算过程,其中包括的理性思维是跳跃性的甚至是模糊的,它既依赖于过去的经验和理性认识,又参与了很大的创造想象活动。”这段对直觉思维的解释,让我们更清楚地认识到:直觉实验题,表面上是学生利用直觉思维解决问题,实际上需要大量的数学基础知识为其支撑。教师在引导学生解决这类直觉实验题时,绝不能仅仅依靠所谓的“灵感”,更要注重以前的知识、经验和理性思维的运用。
参考文献
[1] 孔企平,张维忠,黄荣金.数学新课程与数学学习[M].高等教育出版社,2003.11.
[2]王琴.数学直觉思维及其培养[D].中国优秀博硕士学位论文全文数据库 (硕士),2006(9).
[3] 姚磊,江蓉涛.浅谈数学教学中直觉思维的培养[J].成都教育学院学报,2001(2).
[4] 鲍晓云.论数学直觉思维[J]江西科学,2002(2).