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作为新课标对函数的要求，与原教育大纲对函数的要求有较大的区别，新课程标准更重视函数的应用，体现函数的建模思想和应用价值，体现人人学有用的数学的理念。那么，新课标从那些方面加强对函数建模思想的渗透的呢？笔者认为应该从以下六个方面培养学生函数建模的能力。
一、由等量关系确定函数关系式
例 1 某纺织厂生产的产品，原来每件出厂价为80元，成本为60元。由于生产过程中平均每生产一件产品有0.5m3的污水排出，现在为了保护环境，需对污水净化处理后再排出。已知每处理1m3污水的费用为2元，且每月排污设备的损耗为8000元。设现在该厂每月生产产品x件，每月纯利润y元。
（1）求出y与x的函数关系式；（纯利润=总收入-总支出）
（2）当y=106000时，求该厂在这个月中生产产品的件数。
分析 由纯利润=总收入-总支出，可以知道y与x的函数关系已经确定，只要把纯利润用y表示，总收入和总支出分别用x的代数式表示，就确定了关系式。
解：（1）由题意得
（2）当y=106000时106000=19x-8000
∴x=6000
答：当y=106000时，该厂在这个月中生产产品6000件。
二、由图像信息确定函数关系式
例2 某空军加油飞机接到命令，立即给另一架正在飞行的运输飞机进行空中加油，在加油过程中，设运输飞机的油箱余油量为Q1吨，加油飞机的加油油箱余油量为Q2吨，加油时间为t分钟，Q1，Q2与t之间的函数图像如图所示，结合图像回答下列问题：
（1）加油飞机的加油油箱中装载了多少吨油？将这些油全部加给运输飞机需多少分钟？
（2）求加油过程中，运输飞机的余油量Q1吨与时间t（分钟）的函数关系式。
（3）运输飞机加完油后，以原速继续飞行，需10小时到达目的地，油料是否够用？说明理由。
分析 （1）由图像可以直接得到加油飞机加油油箱中装载了30吨油。将这些油全部加给运输飞机需10分钟。
（2）由图像可知直线Q1过点（0，40）（10，69），所以Q1与t的函数关系式是Q1=2.9t+40
（3）由图像可知运输飞机10分钟耗油1吨，则1小时耗油6吨，6×10=60＜69，所以10小时到达目的地，油料是够用的。
例3 在压力不变的情况下，某物体承受的压强p（Pa）是它的受力面积S（m2）的反比例函数，其图像如图所示。
（1）p与S之间的函数关系式是__________。
（2）当S=0.5m2时物体承受的压强p=______。
（2）当s=0.5m2时p=200（Pa）。
反思 解图像信息题的关键是通过观察图像，获取有效信息。
三、由表格信息确定函数关系式
例4 已知某山区的平均气温与该山的海拔高度的关系见下表：
（1）若海拔高度用x（米）表示，平均气温用y（。C）表示，试写出y与x之间的函数关系式；
（2）若某种植物适宜生长在18℃- 20℃（包含18℃，也包含20℃）山区，请问该植物适宜种植在海拔为多少米的山区？
反思 先观察数据变化规律，判断y与x满足那一种函数模型。
四、由面积公式确定函数关系式
例5 如图，用长为18cm的篱笆（虚线部分），两面靠墙（墙足够长）围成矩形的苗圃，长宽各取多少时，围成的矩形苗圃面积最大，最大面积是多少？
分析 设矩形的一边长为xm，面积为ym2，由矩形面积公式得y=x（18-x）（0＜x＜18）。用配方法或公式法得当x=9时y的最大值等于81m2。所以当围成正方形时面积最大。
反思：求二次函数的最值可以用配方法或公式法。
五、由图形（数据）变化规律确定函数关系式
例6 在抗击“非典”的斗争中，某市根据疫情的发展状况，决定全市中、小学放假两周，以切实保障广大中、小学生的安全。不忘关心同学们的安危，两周内全班每两个同学都通过一次电话，互相勉励，共同提高，如果该班有56名同学，那么同学们之间共通了多少次电话？
为解决该问题，我们可把该班人数n与通电话次数S间的关系用下列模型来表示：
（1）若把n作为点的横坐标，S作为纵坐标，根据上述模型中的数据，在给出的平面直角坐标系中，描出相应各点,并用平滑的曲线连接起来;
（2）根据（1）中各点的排列规律，猜一猜上述各点会不会在某一函数的图像上？如果在，求出该函数的解析式：
（3）根据（2）中得出的函数关系式，求该班56名同学间共通了多少次电话。
分析 通过描点用平滑的曲线连接各点，发现图形是抛物线的一部分，于是猜想不妨使用二次函数模型。取三个点的坐标代入s=an2+bn+c，即可得
本题还可以利用过去学过的找规律来解决。
反思 获取信息、解决问题的角度是多方面的，本题可以由给出的数据发现规律，也可以由给出的模型找出关系式，还可以由描出的曲线找关系式。
六、由相似三角形确定函数关系式
例7 如图：正方形CDEF的边长为4，截去一个角后成五边形ABCDE，已知AF=2，BF=1，在AB上求一点P，使矩形PMDN的面积最大。
分析 设DM=x，则EM=4-x，为使PM用含x的代数式表示，延长MP交FB于H，由△PHB∽△AFB求出PH=2x-6，C从而得MP=-2x+10。
解：延长MP交于FB于H，
∴PH=2x-6∴PM=-2x+10
∴SPMDN=x(-2x+10)=-2x2+10x
当P与B重合时，x=3，当P与A重合时，x=4，∴3≤x≤4，
所以当x=3时SPMDN最大值=12
反思 实际问题的最大值不一定是二次函数的最大值，只要在自变量取值范围内的最大值才是实际问题的最大值，因此特别要关注实际问题中自变量的取值范围。
（责任编辑 钱家庆）
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一、由等量关系确定函数关系式
例 1 某纺织厂生产的产品，原来每件出厂价为80元，成本为60元。由于生产过程中平均每生产一件产品有0.5m3的污水排出，现在为了保护环境，需对污水净化处理后再排出。已知每处理1m3污水的费用为2元，且每月排污设备的损耗为8000元。设现在该厂每月生产产品x件，每月纯利润y元。
（1）求出y与x的函数关系式；（纯利润=总收入-总支出）
（2）当y=106000时，求该厂在这个月中生产产品的件数。
分析 由纯利润=总收入-总支出，可以知道y与x的函数关系已经确定，只要把纯利润用y表示，总收入和总支出分别用x的代数式表示，就确定了关系式。
解：（1）由题意得
（2）当y=106000时106000=19x-8000
∴x=6000
答：当y=106000时，该厂在这个月中生产产品6000件。
二、由图像信息确定函数关系式
例2 某空军加油飞机接到命令，立即给另一架正在飞行的运输飞机进行空中加油，在加油过程中，设运输飞机的油箱余油量为Q1吨，加油飞机的加油油箱余油量为Q2吨，加油时间为t分钟，Q1，Q2与t之间的函数图像如图所示，结合图像回答下列问题：
（1）加油飞机的加油油箱中装载了多少吨油？将这些油全部加给运输飞机需多少分钟？
（2）求加油过程中，运输飞机的余油量Q1吨与时间t（分钟）的函数关系式。
（3）运输飞机加完油后，以原速继续飞行，需10小时到达目的地，油料是否够用？说明理由。
分析 （1）由图像可以直接得到加油飞机加油油箱中装载了30吨油。将这些油全部加给运输飞机需10分钟。
（2）由图像可知直线Q1过点（0，40）（10，69），所以Q1与t的函数关系式是Q1=2.9t+40
（3）由图像可知运输飞机10分钟耗油1吨，则1小时耗油6吨，6×10=60＜69，所以10小时到达目的地，油料是够用的。
例3 在压力不变的情况下，某物体承受的压强p（Pa）是它的受力面积S（m2）的反比例函数，其图像如图所示。
（1）p与S之间的函数关系式是__________。
（2）当S=0.5m2时物体承受的压强p=______。
（2）当s=0.5m2时p=200（Pa）。
反思 解图像信息题的关键是通过观察图像，获取有效信息。
三、由表格信息确定函数关系式
例4 已知某山区的平均气温与该山的海拔高度的关系见下表：
（1）若海拔高度用x（米）表示，平均气温用y（。C）表示，试写出y与x之间的函数关系式；
（2）若某种植物适宜生长在18℃- 20℃（包含18℃，也包含20℃）山区，请问该植物适宜种植在海拔为多少米的山区？
反思 先观察数据变化规律，判断y与x满足那一种函数模型。
四、由面积公式确定函数关系式
例5 如图，用长为18cm的篱笆（虚线部分），两面靠墙（墙足够长）围成矩形的苗圃，长宽各取多少时，围成的矩形苗圃面积最大，最大面积是多少？
分析 设矩形的一边长为xm，面积为ym2，由矩形面积公式得y=x（18-x）（0＜x＜18）。用配方法或公式法得当x=9时y的最大值等于81m2。所以当围成正方形时面积最大。
反思：求二次函数的最值可以用配方法或公式法。
五、由图形（数据）变化规律确定函数关系式
例6 在抗击“非典”的斗争中，某市根据疫情的发展状况，决定全市中、小学放假两周，以切实保障广大中、小学生的安全。不忘关心同学们的安危，两周内全班每两个同学都通过一次电话，互相勉励，共同提高，如果该班有56名同学，那么同学们之间共通了多少次电话？
为解决该问题，我们可把该班人数n与通电话次数S间的关系用下列模型来表示：
（1）若把n作为点的横坐标，S作为纵坐标，根据上述模型中的数据，在给出的平面直角坐标系中，描出相应各点,并用平滑的曲线连接起来;
（2）根据（1）中各点的排列规律，猜一猜上述各点会不会在某一函数的图像上？如果在，求出该函数的解析式：
（3）根据（2）中得出的函数关系式，求该班56名同学间共通了多少次电话。
分析 通过描点用平滑的曲线连接各点，发现图形是抛物线的一部分，于是猜想不妨使用二次函数模型。取三个点的坐标代入s=an2+bn+c，即可得
本题还可以利用过去学过的找规律来解决。
反思 获取信息、解决问题的角度是多方面的，本题可以由给出的数据发现规律，也可以由给出的模型找出关系式，还可以由描出的曲线找关系式。
六、由相似三角形确定函数关系式
例7 如图：正方形CDEF的边长为4，截去一个角后成五边形ABCDE，已知AF=2，BF=1，在AB上求一点P，使矩形PMDN的面积最大。
分析 设DM=x，则EM=4-x，为使PM用含x的代数式表示，延长MP交FB于H，由△PHB∽△AFB求出PH=2x-6，C从而得MP=-2x+10。
解：延长MP交于FB于H，
∴PH=2x-6∴PM=-2x+10
∴SPMDN=x(-2x+10)=-2x2+10x
当P与B重合时，x=3，当P与A重合时，x=4，∴3≤x≤4，
所以当x=3时SPMDN最大值=12
反思 实际问题的最大值不一定是二次函数的最大值，只要在自变量取值范围内的最大值才是实际问题的最大值，因此特别要关注实际问题中自变量的取值范围。
（责任编辑 钱家庆）
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