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【摘要】图形与几何作为小学数学的重要组成部分之一，也是小学数学课程教学的重点，它有利于发展小学生的空间观念，培养他们的思维能力。但是由于几何内容的抽象性以及小学生的思维能力有限，致使学生在学习过程中经常出现各种各样的问题。本文就小学数学“画垂线”这一节课中学生易出现的问题进行分析，通过分析探索出有效的解决方法和教学策略，提高学习效率。
【关键词】 画垂线;三角尺;直尺;微课
小学阶段是数学基础知识学习时期，也是培养学生逻辑思维的时期，而图形与几何则是一直贯穿小学阶段的基础教学。新课标中“图形与几何”的内容是以发展学生的空间观念、几何直观、推理能力、应用意识等为核心展开的，突出观察、描述、制作物体，从不同的角度观察物体、认识方向等，发展学生的空间观念和图形设计与推理能力。人教版四年级上第五单元第二课时根据垂直的定义过直线上一点或直线外一点画已知直线的垂线，掌握垂线的画法是本节课的重点，且在小学阶段的图形与几何中是一节十分基础的课，因为接下去所有图形高的画法都是以画垂线为基础的，如紧接着的“平行四边形和梯形的高”以及四年级下的“三角形的高”。下面我将对“画垂线”这一课学生易出现的问题进行分析，探索有效的解决方法。
一、追错之源
1. 工具不熟悉，使用很迷茫
一年级学生就已经开始使用直尺或者三角尺，但由于使用频率不高，部分学生对尺子的操作并不熟练。在画垂线时有些学生会把尺子的反面朝上使用，也有学生对该怎么摆放三角尺的位置不是很清楚，经常出现将三角尺平移时其位置发生偏转，或者三角尺的一条直角边已经与已知直线重合，但另一条直角边与已知点不在同一侧，从而导致不管怎么移动，另一条直角边都无法与已知点重合。甚至有学生用锐角去画垂线，或者将三角尺的斜边与已知直线重合。
2. 步骤不清晰，画图很随意
我们在学习了平行与垂直这两种位置关系的基础上，开始学习过直线上一点和过直线外一点画垂线。虽然上课时反复讲解演示，但一节课下来40人的班级只有10多人是掌握画法的。很大一部分学生拿着三角尺或直尺用眼睛观察是否垂直，然后随意地画出一条自以为垂直的线，并标上垂足。这种情况下，只有画水平直线的垂线，“运气”好的学生能差不多画对，其他方向的直线就惨不忍睹。尤其在图形中过一点画已知线的垂线，错误会更加明显。如下图：
原因主要在于学生画图步骤不清晰。由于上课注意力不集中或者接受能力有限，有些学生连第一步都不清楚，有些做了第一步忘了第二步，然后就按着尺子不知道干什么或者将尺子上下毫无目标地乱移。有些则是垂线画正确了但是最后的直角标记忘了标。
3. 概念不理解，画图很机械
画垂线是建立在已经学习了两条直线互相垂直这一位置关系的基础上，书本展现的用两副三角尺、一把量角器、一把三角尺画垂线这三种方法，其本质思想是根据垂直的定义，两条直线相交成直角，我们就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫作另一条直线的垂线。所以我们可以利用直角找出另一条与已知直线垂直的线。很多同学在课堂一开始的时候没有这样的思考，导致接下去的学习只是机械地记忆画图步骤，且时不时会忘掉一步，记忆的时间也不长久，当学到四年级下三角形的高时，会有一大部分学生已经忘了垂线的画法，更不用说从已学的平行四边形和梯形的高类比迁移到三角形的高。
二、思解之法
1.“解”之工具——熟悉三角尺
通过作业反馈以及对学生进行单独辅导画垂线发现他们对三角尺不熟悉，使用操作不熟练。所以课前学生可以先对三角尺各部分结构进行系统地回忆，摸摸三角尺的三个角，三条边，强化学生对三角尺直角的认识，并能运用三角尺画出开口方向不同的直角。
2.“解”之画法——方法多样，步骤简洁
书本上一共呈现了三种方法，着重讲解了用一把三角尺画垂线这一方法。其实我们还可以用直尺来画垂线。下面分别是用三角尺，用直尺画垂线的方法。
方法一：书本例题介绍用一把三角尺画垂线，步骤如下。
①将三角尺一条直角边与已知直线重合（边线重合）。
②沿已知直线移动三角尺，使其另一直角边与点重合（边点重合）。
③沿三角尺另一直角边画出的直线就是已知直线的垂线。
④标上直角标记。
方法二：用直尺画垂线，在使用该方法之前要先介绍该方法的原理，任何刻度尺上的刻度线与刻度线所在的尺边是垂直关系。画图步骤如下。
①将直尺上任意一条刻度线与已知直线重合，可优先选择较长的整厘米刻度线（线线重合）。
②沿已知直线移动刻度尺，使其刻度线所在的尺边与点重合（边点重合）。
③沿尺边画出的直线就是已知直线的垂线。
④标上直角标记。
以上两种方法画垂线时都要注意：
①最后一步画线时尺子一定要按住不动。
②最后一步画垂线时边不能与点完全重合，因为笔尖也有粗细，要根据笔尖的粗细留出适当的空隙，否则画出的直线可能不会经过这一点。
其中方法一的缺陷在于很多情况下学生的三角尺直角是不尖的，导致一笔画下两线相交处会有弯曲。优点在于简单易学。
方法二的缺陷在学生对于刻度线与已知直线重合很难理解，总是将尺边与已知直线重合，导致接下去的移动也出现很大的问题。优点在于能够解决方法一的缺陷，画图工具的选择更丰富，直尺、三角尺都可以用来画垂线。
总之，画垂线的方法多种多样，但其原理都是利用直角，学生容易接受哪种就用哪种。
3. “解”之教学方式
（1）微课辅助
微课作为一种新的教学方式在小学几何教学中得到广泛的应用，它具有教学时间短、资源占用少、生动具体、重点突出等特点。同时微课的应用可以缩短学生的差异性，对部分学生来说对有些知识在课堂上还存有疑问，无法掌握，就可以利用课余时间进行微课学习，逐步扫除知识盲点。在画垂线这一课时的教学结束后，通过课堂作业反馈可知能掌握的学生只有三分之一，其余的学生有些似懂非懂，有些则是丈二和尚摸不着头脑。家庭作业对这部分学来说肯定是应付了事，不利于知识的巩固消化。家长辅导也是困难重重，学生第二天回到学校不会的依旧还是不会。针对这种情况，老师可录制四个短视频，用两种方法讲解过直线上一点和直线外一点画垂线。讲解时步骤要清晰，语言要简洁，强调关键注意点，最后可将步骤归纳成“一合二移三画四标”，便于学生记忆。将短视频上传至班级通信群里，这样学生在家完成家庭作业碰到垂线不会画时就可以反复观看短视频，哪里有疑问就暂停拉回细看，同时家长也可观看后对学生进行指导，充分利用课余时间对新知识進行查漏补缺，巩固垂线的画法。这种方法实施后，班级里仅仅只剩七八个学生还不会。
（2）一对一辅导
对剩下的少数还没掌握画法的学生，老师可以手把手教学，这个时候学生的注意力是高度集中的，接受也是最快的。从最基础的过直线上一点或直线外一点画已知直线的垂线开始，第一遍老师边讲解步骤边握学生的手一起画，第二遍老师讲步骤学生自己画，第三步学生自己边说步骤边画。掌握基本步骤后还要进行变式训练，过一点分别画两条射线的垂线，过一点分别画三角形三条边的垂线。
学生数学学习中出现的错误往往蕴含着比正确更丰富的发掘和创造因素。在日常教学中，教师应该多站在学生的角度看问题，揣摩他们的学习心理，发现他们的认知误区，帮助他们扫除知识障碍，有针对性地设计解决方案。
【参考文献】
[1] 陈华忠. 通过数学现象探究数学本质的教学反思[J]. 教育科学论坛，2017（12）.
[2] 凌国伟. 认识垂线教学中应注意哪些问题[J]. 小学数学教师，2015（21）.
[3] 郝爱光. 画垂线有那么难吗——学生画垂线的错例分析及解决方案[J]. 小学数学教师，2017（64）.
[4] 来建军. 翻转课堂在小学数学教学中的应用初探——以画垂线为例[J]. 教学研究，2017（12）.
[5]姚媛媛. 垂线的认识教学片段及思考[J]. 小学数学教育，2017（22）.
【关键词】 画垂线;三角尺;直尺;微课
小学阶段是数学基础知识学习时期，也是培养学生逻辑思维的时期，而图形与几何则是一直贯穿小学阶段的基础教学。新课标中“图形与几何”的内容是以发展学生的空间观念、几何直观、推理能力、应用意识等为核心展开的，突出观察、描述、制作物体，从不同的角度观察物体、认识方向等，发展学生的空间观念和图形设计与推理能力。人教版四年级上第五单元第二课时根据垂直的定义过直线上一点或直线外一点画已知直线的垂线，掌握垂线的画法是本节课的重点，且在小学阶段的图形与几何中是一节十分基础的课，因为接下去所有图形高的画法都是以画垂线为基础的，如紧接着的“平行四边形和梯形的高”以及四年级下的“三角形的高”。下面我将对“画垂线”这一课学生易出现的问题进行分析，探索有效的解决方法。
一、追错之源
1. 工具不熟悉，使用很迷茫
一年级学生就已经开始使用直尺或者三角尺，但由于使用频率不高，部分学生对尺子的操作并不熟练。在画垂线时有些学生会把尺子的反面朝上使用，也有学生对该怎么摆放三角尺的位置不是很清楚，经常出现将三角尺平移时其位置发生偏转，或者三角尺的一条直角边已经与已知直线重合，但另一条直角边与已知点不在同一侧，从而导致不管怎么移动，另一条直角边都无法与已知点重合。甚至有学生用锐角去画垂线，或者将三角尺的斜边与已知直线重合。
2. 步骤不清晰，画图很随意
我们在学习了平行与垂直这两种位置关系的基础上，开始学习过直线上一点和过直线外一点画垂线。虽然上课时反复讲解演示，但一节课下来40人的班级只有10多人是掌握画法的。很大一部分学生拿着三角尺或直尺用眼睛观察是否垂直，然后随意地画出一条自以为垂直的线，并标上垂足。这种情况下，只有画水平直线的垂线，“运气”好的学生能差不多画对，其他方向的直线就惨不忍睹。尤其在图形中过一点画已知线的垂线，错误会更加明显。如下图：
原因主要在于学生画图步骤不清晰。由于上课注意力不集中或者接受能力有限，有些学生连第一步都不清楚，有些做了第一步忘了第二步，然后就按着尺子不知道干什么或者将尺子上下毫无目标地乱移。有些则是垂线画正确了但是最后的直角标记忘了标。
3. 概念不理解，画图很机械
画垂线是建立在已经学习了两条直线互相垂直这一位置关系的基础上，书本展现的用两副三角尺、一把量角器、一把三角尺画垂线这三种方法，其本质思想是根据垂直的定义，两条直线相交成直角，我们就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫作另一条直线的垂线。所以我们可以利用直角找出另一条与已知直线垂直的线。很多同学在课堂一开始的时候没有这样的思考，导致接下去的学习只是机械地记忆画图步骤，且时不时会忘掉一步，记忆的时间也不长久，当学到四年级下三角形的高时，会有一大部分学生已经忘了垂线的画法，更不用说从已学的平行四边形和梯形的高类比迁移到三角形的高。
二、思解之法
1.“解”之工具——熟悉三角尺
通过作业反馈以及对学生进行单独辅导画垂线发现他们对三角尺不熟悉，使用操作不熟练。所以课前学生可以先对三角尺各部分结构进行系统地回忆，摸摸三角尺的三个角，三条边，强化学生对三角尺直角的认识，并能运用三角尺画出开口方向不同的直角。
2.“解”之画法——方法多样，步骤简洁
书本上一共呈现了三种方法，着重讲解了用一把三角尺画垂线这一方法。其实我们还可以用直尺来画垂线。下面分别是用三角尺，用直尺画垂线的方法。
方法一：书本例题介绍用一把三角尺画垂线，步骤如下。
①将三角尺一条直角边与已知直线重合（边线重合）。
②沿已知直线移动三角尺，使其另一直角边与点重合（边点重合）。
③沿三角尺另一直角边画出的直线就是已知直线的垂线。
④标上直角标记。
方法二：用直尺画垂线，在使用该方法之前要先介绍该方法的原理，任何刻度尺上的刻度线与刻度线所在的尺边是垂直关系。画图步骤如下。
①将直尺上任意一条刻度线与已知直线重合，可优先选择较长的整厘米刻度线（线线重合）。
②沿已知直线移动刻度尺，使其刻度线所在的尺边与点重合（边点重合）。
③沿尺边画出的直线就是已知直线的垂线。
④标上直角标记。
以上两种方法画垂线时都要注意：
①最后一步画线时尺子一定要按住不动。
②最后一步画垂线时边不能与点完全重合，因为笔尖也有粗细，要根据笔尖的粗细留出适当的空隙，否则画出的直线可能不会经过这一点。
其中方法一的缺陷在于很多情况下学生的三角尺直角是不尖的，导致一笔画下两线相交处会有弯曲。优点在于简单易学。
方法二的缺陷在学生对于刻度线与已知直线重合很难理解，总是将尺边与已知直线重合，导致接下去的移动也出现很大的问题。优点在于能够解决方法一的缺陷，画图工具的选择更丰富，直尺、三角尺都可以用来画垂线。
总之，画垂线的方法多种多样，但其原理都是利用直角，学生容易接受哪种就用哪种。
3. “解”之教学方式
（1）微课辅助
微课作为一种新的教学方式在小学几何教学中得到广泛的应用，它具有教学时间短、资源占用少、生动具体、重点突出等特点。同时微课的应用可以缩短学生的差异性，对部分学生来说对有些知识在课堂上还存有疑问，无法掌握，就可以利用课余时间进行微课学习，逐步扫除知识盲点。在画垂线这一课时的教学结束后，通过课堂作业反馈可知能掌握的学生只有三分之一，其余的学生有些似懂非懂，有些则是丈二和尚摸不着头脑。家庭作业对这部分学来说肯定是应付了事，不利于知识的巩固消化。家长辅导也是困难重重，学生第二天回到学校不会的依旧还是不会。针对这种情况，老师可录制四个短视频，用两种方法讲解过直线上一点和直线外一点画垂线。讲解时步骤要清晰，语言要简洁，强调关键注意点，最后可将步骤归纳成“一合二移三画四标”，便于学生记忆。将短视频上传至班级通信群里，这样学生在家完成家庭作业碰到垂线不会画时就可以反复观看短视频，哪里有疑问就暂停拉回细看，同时家长也可观看后对学生进行指导，充分利用课余时间对新知识進行查漏补缺，巩固垂线的画法。这种方法实施后，班级里仅仅只剩七八个学生还不会。
（2）一对一辅导
对剩下的少数还没掌握画法的学生，老师可以手把手教学，这个时候学生的注意力是高度集中的，接受也是最快的。从最基础的过直线上一点或直线外一点画已知直线的垂线开始，第一遍老师边讲解步骤边握学生的手一起画，第二遍老师讲步骤学生自己画，第三步学生自己边说步骤边画。掌握基本步骤后还要进行变式训练，过一点分别画两条射线的垂线，过一点分别画三角形三条边的垂线。
学生数学学习中出现的错误往往蕴含着比正确更丰富的发掘和创造因素。在日常教学中，教师应该多站在学生的角度看问题，揣摩他们的学习心理，发现他们的认知误区，帮助他们扫除知识障碍，有针对性地设计解决方案。
【参考文献】
[1] 陈华忠. 通过数学现象探究数学本质的教学反思[J]. 教育科学论坛，2017（12）.
[2] 凌国伟. 认识垂线教学中应注意哪些问题[J]. 小学数学教师，2015（21）.
[3] 郝爱光. 画垂线有那么难吗——学生画垂线的错例分析及解决方案[J]. 小学数学教师，2017（64）.
[4] 来建军. 翻转课堂在小学数学教学中的应用初探——以画垂线为例[J]. 教学研究，2017（12）.
[5]姚媛媛. 垂线的认识教学片段及思考[J]. 小学数学教育，2017（22）.