论文部分内容阅读
学生在学习数学的过程中，可能由于各种原因而使思维受阻，或许是由于概念的模糊，或许还没有弄清问题的意义，诸如此类这些知识上的欠缺都会影响学生积极思维的进行。而初中数学中根式部分的教学就更为明显，因为它们是数的开方运算，虽然现在的根式运算只限于二次根式，但仍比整式，分式难教，也难学得多。根式教学中的困难主要表现在：（1）概念抽象；（2）运算复杂；（3）不易理解平方根和算术平方根的定义和性质。
要克服这些困难，就要求教师根据学生的心理特点激发学生学习的兴趣，突破学习的障碍，精心研究教材。
一、激发学习动机
我们都知道，有理数在现实生活当中存在比较容易理解，而无理数在现实生活当中并不存在，所以比较难以理解，我们教师就要从无理数怎样被发现的这个故事开始讲解，让学生切切实实感觉到无理数这个知识的来之不易，从而激发学生对知识的渴求，珍惜现有的学习机会。在历史的长河中，每一种科学知识都是以前的科学家经过了异于常人的努力而产生的，有的甚至付出了生命的代价，无理数的产生就是这样的。在公元前500年，古希腊毕达哥拉斯学派的弟子希伯索斯发现了惊人的事实，若正方形的边长为1，则对角线的长度是不可公度的（即对角线的长度不是有理数），这一不可公度性与毕氏学派的万物皆为数（有理数）的哲理大相径庭，这一发现使该学派的领导人大为惶恐，认为会动摇他们在学术界的统治地位，希伯索斯因此被囚禁，受到百般折磨，最后竟遭到了沉舟身亡的惩处。然而真理是淹没不了的，毕氏学派抹杀真理才是无理的。人们为了纪念这位为真理而献身的可敬学者，就把这种不可通约的量称之为“无理数”——这就是无理数的由来。
二、分散学习难点
为了学好根式，就必须掌握“数的开方”知识，而开平方概念的引进，如果从概念到概念，就会使学生觉得枯燥、抽象，难以理解。如果设计这样一个问题：已知一个正方形的边长，可以通过平方运算求它的面积，反之，如果已知一个正方形的面积，那如何来求它的边长？如一个正方形的面积为4平方米，9平方米，10平方米，那么它们的边长是多少呢？问题一提出，学生马上就回答：4平方米的边长是2米，9平方米的边长是3米，10平方米的边长是……？这个似乎很简单的问题把大家难住了，经过讨论，思考，一般只能得到这样一个方程：设正方形的边长为x米，则x2=10，但就是无法求出x来，这时学生很好奇，教师就乘势点明课题，指出必须利用新知识——“数的开方”来解决，从而引入新课，分散了无理数产生的难点。
在二次根式中（■）2，■的辨析是难点，因为它们的模样很相象，因此很多学生在解题时老是混用，因此要从几方面来分辨它们：（1）从意义上看，（■）2表示非负数的算术平方根的平方；而■则表示的是a的平方的算术平方根。（2）从取值范围上看，因为负数没有平方根，所以（■）2的a不能为负，即a≥0，如2■，■等才有意义，而■就没有意义了；■表示的是a2的算术平方根，即■中的被开方数是个平方数，所以无论a取什么值，a2总是非负数，也就是说■总有意义，故a可以取任意实数，如■等都有意义。（3）从运算结果上看，（■）2表示的是非负数的算术平方根的平方，结果是非负数a本身，既（■）2=a，（a≥0）；而■表示实数a平方的算术平方根，结果是|a|，即■的结果可能等于a本身，也可能等于a的相反数，这由a的符号来决定，用式子表示■=|a|=a（a≥0）-a（a<0）。（4）从运算顺序上看（■）2表示非负数a先开方再平方，等于非负数a本身，而■表示实数a先平方再开方，其结果等于a的绝对值。（5）写法不同，在（■）2中幂指数2在根号的外面，而在■中，幂指数2在根号的里面。
（■）2，■间的联系也非常密切，可分为几个方面：（1）当a≥0时，（■）2，■的值相同，即（■）2=■=a，也就是说，只要（■）2有意义，它们的值就相等。（2）从作用上看，（■）2和■的正向运用都可以化解二次根式，即把数从根号内移到根号外，逆向运用就是将任意非负数写成带根号的形式。（3）两式的运算结果都是非负数。
通过这些深入的分析，释疑，抓住了两个公式之间本质的联系和区别，不仅在以后的练习中错误率大大减少，而且也让学生体会到深入思维的重要性，降低了这两个公式学习的难度。
三、提高学习层次
在充分理解（■）2，■这两个公式的区别和联系后就可以深入地进行应用了，从而更加深刻地理解它们，如y=■-■+5，求■，要使■和■有意义只能x-2≥0，2-x≥0，所以只能x=2，那么y=5，■=■，再如，化简a■，因为a2≥0，所以a+2≤0，即a≤-2，因此a■=a·■=-■，在这里容易将符号遗漏，必须结合二次根式的性质判断字母的正负情况，正确的化简。有的题目必须挖掘隐含条件才能够解题。如计算■-（■）2，因为2x-3≥0，x≥1.5，所以原式=■-（2x-3）=2x-1-2x+3=2。在二次根式的计算中，要引导学生既看整体，又看局部：既看明显的又看隐蔽的；既看共同之处，又看不同之处；既看各自特性，又看相互联系。只有这样由表及里，由此及彼，循序渐进的细心观察，才能找到简捷的解题途径。
例如，先化简，再求值■+■，
其中x=■+1，y=■-1。
解：原式=■+■
=■+■=■+■
=（■+■）■
化简后把x=■+1，y=■-1代入就容易得，原式=■。
在本题中巧妙的利用了x，y的值大于零，所以x=（■）2，y=（■）2，从而进行了约分，简化了计算。
四、培养学习思维
心理学告诉我们，十二、十三岁到二十五岁左右是培养思维能力，提高思维品质的最佳时期。初中生正是处于这一时期的开端，所以要抓好这一阶段，那么数学教育不能仅仅停留在教授知识上，而应充分应用数学这门课的特点，在教学过程中进行思维训练，提高学生的思维品质。
结合根式教学，可以进行思维的多向性、灵活性、深刻性等多方面的训练。如对算术平方根的基本恒等式■=a（a≥0）就是通过正、逆双向思维训练而加深理解，根式内外因式的移出移入，也是正、逆双向同时训练，而对二次根式的性质，即积和商的算术平方根的变形公式，则先讲正向运算，待熟练以后，再逆向运用公式，从而进行根式的乘除运算。在教学中要有意识的点明思维要求，在练习时有意识地组织有针对性的习题进行综合性训练。结合教学内容，对学生进行多向思维训练，既加深了对基础知识的理解，又激发了学生学习的兴趣，活跃了学生的思维，发展了学生的智能。在根式的学习中，障碍比较多，运算中容易产生概念性的错误。如当b<0时，把b■中的b移入根号内时，有的同学会解成：b■=■（ b<0），针对以上错误，应先启发学生举出具体数字来分析，再帮助学生将原式的正负号具体表示出来，然后分清原式是算术平方根还是算术平方根的相反数，最后让学生得出正确的结论。要使学生学会以概念指导运算，就需要养成有条不紊地思考习惯。在根式教学中，有些运算比较繁复，容易出错，就要培养学生坚强的意志和毅力。
总之，根式教学的障碍，有不少是来自心理的，并不全来自于知识的欠缺，因此，单靠补习基础知识，扩大知识面的办法是远远不够的，还需要从各方面来克服学生的思维障碍，使他们在根式这一章节学习中游刃有余。
要克服这些困难，就要求教师根据学生的心理特点激发学生学习的兴趣，突破学习的障碍，精心研究教材。
一、激发学习动机
我们都知道，有理数在现实生活当中存在比较容易理解，而无理数在现实生活当中并不存在，所以比较难以理解，我们教师就要从无理数怎样被发现的这个故事开始讲解，让学生切切实实感觉到无理数这个知识的来之不易，从而激发学生对知识的渴求，珍惜现有的学习机会。在历史的长河中，每一种科学知识都是以前的科学家经过了异于常人的努力而产生的，有的甚至付出了生命的代价，无理数的产生就是这样的。在公元前500年，古希腊毕达哥拉斯学派的弟子希伯索斯发现了惊人的事实，若正方形的边长为1，则对角线的长度是不可公度的（即对角线的长度不是有理数），这一不可公度性与毕氏学派的万物皆为数（有理数）的哲理大相径庭，这一发现使该学派的领导人大为惶恐，认为会动摇他们在学术界的统治地位，希伯索斯因此被囚禁，受到百般折磨，最后竟遭到了沉舟身亡的惩处。然而真理是淹没不了的，毕氏学派抹杀真理才是无理的。人们为了纪念这位为真理而献身的可敬学者，就把这种不可通约的量称之为“无理数”——这就是无理数的由来。
二、分散学习难点
为了学好根式，就必须掌握“数的开方”知识，而开平方概念的引进，如果从概念到概念，就会使学生觉得枯燥、抽象，难以理解。如果设计这样一个问题：已知一个正方形的边长，可以通过平方运算求它的面积，反之，如果已知一个正方形的面积，那如何来求它的边长？如一个正方形的面积为4平方米，9平方米，10平方米，那么它们的边长是多少呢？问题一提出，学生马上就回答：4平方米的边长是2米，9平方米的边长是3米，10平方米的边长是……？这个似乎很简单的问题把大家难住了，经过讨论，思考，一般只能得到这样一个方程：设正方形的边长为x米，则x2=10，但就是无法求出x来，这时学生很好奇，教师就乘势点明课题，指出必须利用新知识——“数的开方”来解决，从而引入新课，分散了无理数产生的难点。
在二次根式中（■）2，■的辨析是难点，因为它们的模样很相象，因此很多学生在解题时老是混用，因此要从几方面来分辨它们：（1）从意义上看，（■）2表示非负数的算术平方根的平方；而■则表示的是a的平方的算术平方根。（2）从取值范围上看，因为负数没有平方根，所以（■）2的a不能为负，即a≥0，如2■，■等才有意义，而■就没有意义了；■表示的是a2的算术平方根，即■中的被开方数是个平方数，所以无论a取什么值，a2总是非负数，也就是说■总有意义，故a可以取任意实数，如■等都有意义。（3）从运算结果上看，（■）2表示的是非负数的算术平方根的平方，结果是非负数a本身，既（■）2=a，（a≥0）；而■表示实数a平方的算术平方根，结果是|a|，即■的结果可能等于a本身，也可能等于a的相反数，这由a的符号来决定，用式子表示■=|a|=a（a≥0）-a（a<0）。（4）从运算顺序上看（■）2表示非负数a先开方再平方，等于非负数a本身，而■表示实数a先平方再开方，其结果等于a的绝对值。（5）写法不同，在（■）2中幂指数2在根号的外面，而在■中，幂指数2在根号的里面。
（■）2，■间的联系也非常密切，可分为几个方面：（1）当a≥0时，（■）2，■的值相同，即（■）2=■=a，也就是说，只要（■）2有意义，它们的值就相等。（2）从作用上看，（■）2和■的正向运用都可以化解二次根式，即把数从根号内移到根号外，逆向运用就是将任意非负数写成带根号的形式。（3）两式的运算结果都是非负数。
通过这些深入的分析，释疑，抓住了两个公式之间本质的联系和区别，不仅在以后的练习中错误率大大减少，而且也让学生体会到深入思维的重要性，降低了这两个公式学习的难度。
三、提高学习层次
在充分理解（■）2，■这两个公式的区别和联系后就可以深入地进行应用了，从而更加深刻地理解它们，如y=■-■+5，求■，要使■和■有意义只能x-2≥0，2-x≥0，所以只能x=2，那么y=5，■=■，再如，化简a■，因为a2≥0，所以a+2≤0，即a≤-2，因此a■=a·■=-■，在这里容易将符号遗漏，必须结合二次根式的性质判断字母的正负情况，正确的化简。有的题目必须挖掘隐含条件才能够解题。如计算■-（■）2，因为2x-3≥0，x≥1.5，所以原式=■-（2x-3）=2x-1-2x+3=2。在二次根式的计算中，要引导学生既看整体，又看局部：既看明显的又看隐蔽的；既看共同之处，又看不同之处；既看各自特性，又看相互联系。只有这样由表及里，由此及彼，循序渐进的细心观察，才能找到简捷的解题途径。
例如，先化简，再求值■+■，
其中x=■+1，y=■-1。
解：原式=■+■
=■+■=■+■
=（■+■）■
化简后把x=■+1，y=■-1代入就容易得，原式=■。
在本题中巧妙的利用了x，y的值大于零，所以x=（■）2，y=（■）2，从而进行了约分，简化了计算。
四、培养学习思维
心理学告诉我们，十二、十三岁到二十五岁左右是培养思维能力，提高思维品质的最佳时期。初中生正是处于这一时期的开端，所以要抓好这一阶段，那么数学教育不能仅仅停留在教授知识上，而应充分应用数学这门课的特点，在教学过程中进行思维训练，提高学生的思维品质。
结合根式教学，可以进行思维的多向性、灵活性、深刻性等多方面的训练。如对算术平方根的基本恒等式■=a（a≥0）就是通过正、逆双向思维训练而加深理解，根式内外因式的移出移入，也是正、逆双向同时训练，而对二次根式的性质，即积和商的算术平方根的变形公式，则先讲正向运算，待熟练以后，再逆向运用公式，从而进行根式的乘除运算。在教学中要有意识的点明思维要求，在练习时有意识地组织有针对性的习题进行综合性训练。结合教学内容，对学生进行多向思维训练，既加深了对基础知识的理解，又激发了学生学习的兴趣，活跃了学生的思维，发展了学生的智能。在根式的学习中，障碍比较多，运算中容易产生概念性的错误。如当b<0时，把b■中的b移入根号内时，有的同学会解成：b■=■（ b<0），针对以上错误，应先启发学生举出具体数字来分析，再帮助学生将原式的正负号具体表示出来，然后分清原式是算术平方根还是算术平方根的相反数，最后让学生得出正确的结论。要使学生学会以概念指导运算，就需要养成有条不紊地思考习惯。在根式教学中，有些运算比较繁复，容易出错，就要培养学生坚强的意志和毅力。
总之，根式教学的障碍，有不少是来自心理的，并不全来自于知识的欠缺，因此，单靠补习基础知识，扩大知识面的办法是远远不够的，还需要从各方面来克服学生的思维障碍，使他们在根式这一章节学习中游刃有余。