摘 要：在本文中，我们较系统的研究了数列与一元函数一致连续的关系、平面点列与二元函数一致连续的关系、空间点列与三元函数的一致连续的关系、一般点列与多元函数一致连续的关系，并获得了一些有意义的一般结果.
　　关键词：数列；点列；一致连续；关系
　　一、关于数列与一元函数一致连续的关系。
　　关于数列与一元函数一致连续，在文中 有下面的结果。
　　定理1 设 定义在有限区间 ，若对任一收敛数列 ，极限 都存在，则 在 一致连续。
　　证明 若 在 非一致连续 ，则 存在由，对任意 ，存在 ，当时 ，使得 .特别，对 = ，存在 ，当 时，
　　使得
　　由条件 ，数列
　　：
　　收敛，于是 存在。于是 和 存在且相等，这与 矛盾，从而定理可证。
　　注：定理1中有限区间 换成任何区间结论都成立。
　　定理2 设 定义在有限区间 ，若对任一数列 ，极限 都存在，则 在 一致连续。
　　证明 若 在 非一致连续，则存在由 ，对任意 ，存在 ，当 时，使得 .特别，对 = ，存在 ，当 时，
　　使得 .
　　因 是有限区间，故 和 存在有界数列，从而 存在收敛子列 ，同理 存在收敛子列 ，于是 和 收敛。由条件 知， = = ，于是数列
　　：
　　收敛，且 = 。
　　由条件，极限 存在，于是 和 存在且相等，此与
　　矛盾，从而定理可证。
　　定理3 设 定义在任一区间 ，若对任一有界数列 ，极限 都存在，则 在 一致连续。
　　证明 若 在 非一致连续 ，则存在由 ，对任意 ，存在 ，当 时，使得 .特别，对 = ，存在 ，当 时，
　　使得 。
　　因 是有界区间，故 和 存在有界数列，从而 存在收敛子列 ，同理 存在收敛子列 ，于是 和 存在收敛.由条件
　　知， = = ，于是数列
　　：
　　收敛，且 = .
　　由条件，极限 都存在，于是 和 存在且相等，
　　此与 矛盾，从而定理可证。
　　定理4 设 定义在有限区间 ，若对任一单增（单减）数列 ，极限 都存在，则 在 一致连续。
　　证明 因 ， 是 上的有限区间，故 单增（单减）时存在上界（下界），于是 收敛。在根据 定理1的证明可知， 在 一致连续。
　　二、平面点列于二元函数一致连续的关系。
　　关于平面点列与二元函数一致连续的关系，我们有下面结果。
　　定理5 设 定义在有限区域
　　，若对任何收敛点列 ，极限 都存在，则 在 一致连续。
　　证明 若 在 非一致连续 ，则存在 ，对任意 ，存在 ，当 时，使得 .特别，对 = ，存在 ，当 时，
　　使得 .
　　由条件 知，点列
　　：
　　收敛，于是 存在，从而 存在且相等，这与 矛盾，从而定理可证。
　　注：将定理5中有限区域换成任何区域，定理5的结论都成立。
　　定理6 设 定义在有限区域
　　，若对任何点列 ，极限 都存在，则 在D一致连续。
　　证明 若 在D非一致连续 ，则存在 ，对任意 ，存在 ，当 时，使得 .特别，对 = ，存在 ，当 时，
　　使得 .
　　因D是有限区域，故 和 存在有界点列，从而 存在收敛子列 ，同理 存在收敛子列 ，于是 和 存在收敛，
　　由条件 知，
　　= = ，于是数列
　　： ， ， ， ，
　　收敛，且 = .
　　由条件，极限 都存在，于是 和 存在且相等，
　　此与 矛盾，从而定理可证。
　　定理7 设 定义在有限区域
　　，若对任一有界点列 ，极限 都存在，则 在D一致连续。
　　证明 若 在D非一致连续 ，则存在 ，对任意 ，存在 ，当 时，使得 .特别，对 = ，存在 ，当 时，
　　使得 .
　　因D是有界区域，故 和 存在有界点列，从而 存在收敛子列 ，同理 存在收敛子列 ，于是 和 存在收敛，
　　由条件 知，
　　= = ，于是数列
　　： ， ， ， ，
　　收敛，且 = 。
　　由条件，极限 都存在，于是 和 存在且相等，
　　此与 矛盾，从而定理可证。
　　三、空间点列与三元函数一致连续的关系。
　　关于空间点列与三元函数一致连续的关系，我们有下面的结果。
　　定理8设 定义在有限区域
　　，若对任收敛点列
　　，极限 都存在，则 在D一致连续。
　　证明 若 在 非一致连续 ，则存在 ，对任意 ，存在 ，当 时，使得 .特别，对 = ，存在 ，当 时，
　　使得 .
　　由条件 知，点列
　　：
　　收敛，于是 存在，从而 存在且相等，这与 矛盾，从而定理可证。
　　注：将定理8中有限区域换成任何区域，定理8的结论都成立。
　　定理9设 定义在有限区域
　　，若对任点列 ，极限 都存在，则 在D一致连续.
　　证明 若 在D非一致连续 ，则存在 ，对任意 ，存在 ，当 时，使得 .特别，对 = ，存在 ，当 时，
　　使得
　　因D是有限区域，故 和 存在有界点列，从而 存在收敛子列 ，同理 存在收敛子列 ，于是 和 存在收敛， 　　由条件 知，
　　= = ，于是数列
　　： ， ， ， ，
　　收敛，且 = .
　　由条件，极限 都存在，于是 和 存在且相等，
　　此与 矛盾，从而定理可证。
　　定理10 设 定义在有限区域
　　，若对任有界点列 ，极限 都存在，则 在D一致连续。
　　证明 若 在D非一致连续，则存在 ，对任意 ，存在 ，当 时，使得 .特别，对 = ，存在 ，当 时，使得 .
　　因D是有界区域，故 和 存在有界点列，从而 存在收敛子列 ，同理 存在收敛子列 ，于是 和 存在收敛，
　　由条件 知，
　　= = ，于是数列
　　： ， ， ， ，
　　收敛，且 = .
　　由条件，极限 都存在，于是 和 存在且相等，
　　此与 矛盾，从而定理可证。
　　四、一般点列与多元函数一致连续的关系。
　　关于一般点列与多元函数一致连续的关系，同样我们有下面的结果。
　　定理11设 定义在有限区域
　　，若对任收敛点列点列 ，极限 都存在，则 在D一致连续。
　　证明 若 在 非一致连续 ，则存在 ，对任意 ，存在 ，当 时，使得 .特别，对 = ，存在 ，当 时，
　　使得
　　由条件 知，点列
　　：
　　收敛，于是 存在，从而 存在且相等，这与 矛盾，从而定理可证。
　　注：将定理11中有限区域换成任何区域，定理11的结论都成立。
　　定理12设 定义在有限区域
　　，若对任点列 ，极限 都存在，则 在D一致连续。
　　证明 若 在D非一致连续，则存在 ，对任意 ，存在 ，当 时，使得 .特别，对 = ，存在 ，当 时，
　　使得 .
　　因D是有限区域，故 和 存在有界点列，从而 存在收敛子列 ，同理 存在收敛子列 ，于是 和 存在收敛.
　　由条件 知，
　　= = ，于是数列
　　： ， ， ， ，
　　收敛，且 = .
　　由条件，极限 都存在，于是 和 存在且相等，
　　此与 矛盾，从而定理可证。
　　定理13设 定义在有限区域
　　，若对任有界点列 ，极限 都存在，则 在D一致连续。
　　证明 证明 若 在D非一致连续 ，则存在 ，对任意 ，存在 ，当 时，使得 .特别，对 = ，存在 ，当 时，
　　使得 .
　　因D是有界区域，故 和 存在有界点列，从而 存在收敛子列 ，同理 存在收敛子列 ，于是 和 存在收敛.
　　由条件 知，
　　= = ，于是数列
　　： ， ， ， ，
　　收敛，且 = .
　　由条件，极限 都存在，于是 和 存在且相等，
　　此与 矛盾，从而定理可证，从而定理可证。
　　五、结论
　　在本文中，我们较系统的研究了数列与一元函数一致连续的关系、平面点列与二元函数一致连续的关系、空间点列与三元函数的一致连续的关系、一般点列与多元函数一致连续的关系，通过对以上内容的研究，我们建立了从数列的一般到特殊（从一般数列到有界、单调和收敛）的变化对函数一致连续的影响，并把其一些结论从一元函数推向二元、三元和多元函数的过程，并获得了一些有意义的一般结果.我们的研究体现了人们思维的一般过程，即从特殊到一般、从简单到复杂的一般思维过程。我们的研究增强了数列与函数这两个独立概念之间的联系，有利于我们更好的理解、掌握它们之间的内在关系，有利于我们更好的理解我们所学习的数学分析课本的编排体系，有利于我们增强数学知识的实际应用能力。
　　参考文献
　　[1] 郎开禄.数学分析专题选讲.楚雄师范学院出版社，2009.2
　　[2] 滕加俊.数学分析辅导与习题精解配高教（华东师大）第三版.大连理工大学出版社，2006.09
　　[3] 华东师范大学数学系编.数学分析上下册第三版.高等教育出版社，2007.05