论文部分内容阅读
从近几年的高考试题来看，求圆的方程、已知圆的方程求圆的圆心坐标及半径等都是高考热点，题型既有选择题，也有填空题、解答题，主要考查圆的标准方程、一般方程；主观题往往在知识交汇处命题.除上述考查点以外，还考查待定系数法、方程思想等.
重点难点
本部分内容由圆的标准方程、圆的一般方程和圆的参数方程三个部分组成.
重点：（1）掌握确定圆的几何要素，掌握用待定系数法求圆的标准方程或一般方程，并能解决一些简单的与圆有关的实际问题. （2）学会把圆的几何性质与解析法结合起来解决问题.同时不断培养观察能力，寻找参数之间的联系，掌握必要的技巧，找准解题方向，提高解题能力. （3）熟悉并掌握与圆有关的最值问题的求法.
难点：利用圆的几何性质解决圆的综合问题.
方法突破
1. 求圆的方程常用待定系数法.若已知条件和圆心、半径有关，可先用已知条件求出圆心和半径，再写出圆的标准方程；若已知条件涉及圆过几点，往往用圆的一般方程求解；若所求的圆过已知两圆的交点（或一直线与一圆的交点）一般用圆系方程求解.
2. 确定圆的方程主要是待定系数法，大致步骤为：（1）根据题意选择方程形式；（2）根据条件列出关于a，b，r或D，E，F的方程组；（3）解出a，b，r或D，E，F，代入标准方程或一般方程.
3. 与圆有关的最值问题，常见的有以下几种类型：（1）形如u=型的斜率最值问题；（2）形如z=ax by型的截距最值问题；（3）形如（x-a）2 （y-b）2型的距离最值问题.
4. 求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下几种方法：
（1）直接法：直接根据题目提供的条件列出方程.
（2）定义法：根据直线、圆、圆锥曲线等定义列方程.
（3）几何法：利用圆与圆的几何性质列方程.
（4）相关点法：找到要求点与已知点的关系，带入已知点满足的关系式.
典例精讲 例1 过点A（6，0），B（1，5），且圆心C在直线l：2x-7y 8=0上的圆的方程为________.
思索 可根据已知条件，先求出圆心C的坐标，再求得圆的半径r（r=AC）；也可用待定系数法，设出圆的标准方程或一般方程，依据已知条件构建关于a，b，r或D，E，F的方程组求解.
破解 解法1：由A（6，0），B（1，5）可得线段AB的中点坐标为，，且kAB=-1，所以线段AB的垂直平分线的方程为y-=x-，即x-y-1=0. 由方程组x-y-1=0，2x-7y 8=0得圆心C的坐标为（3，2），且半径r=AC=. 综上可得，所求圆的方程为（x-3）2 （y-2）2=13.
解法2：设所求圆的方程为（x-a）2 （y-b）2=r2，由已知得（6-a）2 b2=r2，2a-7b 8=0，（1-a）2 （5-b）2=r2，解得a=3，b=2，r2=13. 综上可得，所求圆的方程为（x-3）2 （y-2）2=13.
解法3：设所求圆的方程为x2 y2 Dx Ey F=0（D2 E2-4F>0），由已知得36 6D F=0，1 25 D 5E F=0，2×--7×- 8=0，解得D= -6，E=-4，F=0. 综上可得，所求圆的方程为x2 y2-6x-4y=0，即（x-3）2 （y-2）2=13.
例2 求经过点A（0，5），且与直线x-2y=0和2x y=0都相切的圆的方程.
思索 欲确定圆的方程，需确定圆心坐标与半径. 由于所求圆过定点A，故只需确定圆心坐标. 又圆与两已知直线相切，故圆心必在它们的交角的平分线上.
破解 因为圆和直线x-2y=0与2x y=0相切，所以圆心C在这两条直线的交角平分线上.
又因为圆心到两直线x-2y=0和2x y=0的距离相等，所以=. 所以两直线交角的平分线方程是x 3y=0或3x-y=0.
又因为圆过点A（0，5），所以圆心C只能在直线3x-y=0上. 设圆心C（t，3t），因为C到直线2x y=0的距离等于AC，所以=. 化简整理得t2-6t 5=0，解得t=1或t=5. 所以圆心是（1，3），半径是或圆心是（5，15），半径是5.
所以可得所求圆的方程为（x-1）2 （y-3）2=5或（x-5）2 （y-15）2=125.
例3 求圆心在直线x-y-4=0上，且经过两圆x2 y2-4x-3=0和x2 y2-4y-3=0的交点的圆的方程.
思索 由圆系方程先设出所求圆的方程，得出圆的坐标代入已知直线方程，求出参数后即得圆的方程.
破解 设经过两已知圆的交点的圆的方程为x2 y2-4x-3 λ（x2 y2-4y-3）=0（λ≠-1），则其圆心的坐标为，. 因为所求圆的圆心在直线x-y-4=0上，所以--4=0，解得λ=-. 所以所求圆的方程为x2 y2-6x 2y-3=0.
例4 （1）已知圆O1：（x-3）2 （y-4）2=1，P（x，y）为圆O上的动点，求d=x2 y2的最大值和最小值.
（2）已知圆O2：（x 2）2 y2=1，P（x，y）为圆上任一点，求的最大值和最小值.
思索 （1）（2）两小题都涉及圆上点的坐标，可考虑用圆的参数方程或用数形结合解决.
破解 （1）解法1：由圆的标准方程（x-3）2 （y-4）2=1，可设圆的参数方程为x=3 cosθ，y=4 sinθ（θ是参数）. 则d=x2 y2=9 6cosθ cos2θ 16 8sinθ sin2θ=26 6cosθ 8sinθ=26 10cos（θ-φ）其中tanφ=. 所以可得dmax=26 10=36，dmin=26-10=16. 解法2：圆上点到原点距离的最大值d1等于圆心到原点的距离d′加上半径1，圆上点到原点距离的最小值d2等于圆心到原点的距离d′减去半径1. 所以可得d1= 1=6，d2=-1=4. 所以dmax=36，dmin=16.
（2）解法1：由（x 2）2 y2=1得圆的参数方程为x=-2 cosθ，y=sinθ（θ是参数）. 则=. 令=t，得sinθ-tcosθ=2-3t，sin（θ-φ）=2-3t？圯=sin（θ-φ）≤1？圯≤t≤. 所以tmax=，tmin=. 即的最大值为，最小值为.
解法2：设=k，则kx-y-k 2=0. 由于P（x，y）是圆上的点，当直线与圆有交点时，如图1所示，两条切线的斜率分别是最大值、最小值. 由d==1，得k=. 所以的最大值为，最小值为.
图1
例5 如图2，已知定点A（2， 0），点Q是圆x2 y2=1上的动点，∠AOQ的平分线交AQ于M，当Q点在圆上移动时，求动点M的轨迹方程.
思索 解决本题的关键是将点Q的坐标用点M的坐标表示出来，代入圆x2 y2=1中，即得点M的轨迹方程.
图2
破解 由三角形的内角平分线的性质，可得==，所以=. 设M，Q的坐标分别为（x，y），（x0，y0），则x=，y=，所以x0=x-1，y0=y. 因为Q在圆x2 y2=1上，所以x y=1，所以x-12 y2=1，即动点M的轨迹方程为x-2 y2=.
变式练习1. 求下列各圆的标准方程：
（1）圆心在y=-x上且过两点（2，0），（0，-4）；
（2）圆心在直线2x y=0上，且与直线x y-1=0切于点（2，-1）；
（3）圆心在直线5x-3y=8上，且与坐标轴相切.
2. （2014年高考陕西卷）若圆C的半径为1，其圆心与点（-1，0）关于直线y=x对称，则圆C的标准方程为________.
3. （2014年高考四川卷）设m∈R，过定点A的动直线x my=0和过定点B的动直线mx-y-m 3=0交于点P（x，y），则PA·PB的最大值是________.
4. 若实数x，y满足等式（x-2）2 y2=3，那么的最大值为（ ）
A. B.
C. D.
5. （2014年高考福建卷）设P，Q分别为圆x2 （y-6）2=2和椭圆 y2=1上的点，则P，Q两点间的最大距离是（ ）
A. 5 B.
C. 7 D. 6
6. 若实数x，y满足x2 y2-2x 4y=0，则x-y的最大值是________.
7. 已知对于圆x2 （y-1）2=1上任意一点P（x，y），不等式x y m≥0恒成立，则实数m的取值范围是________.
8. 已知圆M的方程为x2 （y-2）2=1，直线l的方程为x-2y=0，点P在直线l上，过点P作圆M的切线PA，PB，切点为A，B.
（1）若点P的坐标为（2，1），过点P作直线与圆M交于C，D两点，当CD=时，求直线CD的方程；
（2）求证：经过A，P，M三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标.
参考答案
1. （1）（x-3）2 （y 3）2=10；
（2）（x-1）2 （y 2）2=2；
（3）（x-4）2 （y-4）2=16或（x-1）2 （y 1）2=1.
2. x2 （y 1）2=1.
3. 5 4. D 5. D
6. 3 解法1：将圆x2 y2-2x 4y=0变为（x-1）2 （y 2）2=5，所以圆的参数方程为x=1 cosθ，y=-2 sinθ，故x-y=（1 cosθ）-（-2 sinθ）=3 ·cosθ ≤3 . 所以x-y的最大值为3 .
解法2：令u=x-y，则y=x-u代入圆方程得2x2 2（1-u）x u2-4u=0. 由Δ=4（1-u）2-8（u2-4u）≥0，即u2-6u-1≤0，所以3-≤u≤3 ，即3-≤x-y≤3 ，所以x-y的最大值为3 .
7. [-1， ∞） 由x2 （y-1）2=1得其参数方程为x=cosθ，y=1 sinθ，代入x y m≥0，得cosθ 1 sinθ m≥0，所以m≥-cosθ-1-sinθ=-sinθ -1，所以m≥-1.
8. （1）易知直线CD的斜率k存在，设直线CD的方程为：y-1=k（x-2），即kx-y 1-2k=0. 由题知圆心M到直线CD的距离为，所以=，解得k=-1或k=-. 故所求直线CD的方程为：x y-3=0或x 7y-9=0.
（2）设P（2m，m），则MP的中点为Qm， 1. 因为PA是圆M的切线，所以经过A，P，M三点的圆是以Q为圆心，MQ为半径的圆，故其方程为：（x-m）2 y--1=m2 -1. 化简，得x2 y2-2y-m（2x y-2）=0. 由已知，此式是关于m的恒等式，所以得x2 y2-2y=0，2x y-2=0，得k∈x=0，y=2，或x=，y=.所以经过A，P，M三点的圆必过定点（0，2）或，.
重点难点
本部分内容由圆的标准方程、圆的一般方程和圆的参数方程三个部分组成.
重点：（1）掌握确定圆的几何要素，掌握用待定系数法求圆的标准方程或一般方程，并能解决一些简单的与圆有关的实际问题. （2）学会把圆的几何性质与解析法结合起来解决问题.同时不断培养观察能力，寻找参数之间的联系，掌握必要的技巧，找准解题方向，提高解题能力. （3）熟悉并掌握与圆有关的最值问题的求法.
难点：利用圆的几何性质解决圆的综合问题.
方法突破
1. 求圆的方程常用待定系数法.若已知条件和圆心、半径有关，可先用已知条件求出圆心和半径，再写出圆的标准方程；若已知条件涉及圆过几点，往往用圆的一般方程求解；若所求的圆过已知两圆的交点（或一直线与一圆的交点）一般用圆系方程求解.
2. 确定圆的方程主要是待定系数法，大致步骤为：（1）根据题意选择方程形式；（2）根据条件列出关于a，b，r或D，E，F的方程组；（3）解出a，b，r或D，E，F，代入标准方程或一般方程.
3. 与圆有关的最值问题，常见的有以下几种类型：（1）形如u=型的斜率最值问题；（2）形如z=ax by型的截距最值问题；（3）形如（x-a）2 （y-b）2型的距离最值问题.
4. 求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下几种方法：
（1）直接法：直接根据题目提供的条件列出方程.
（2）定义法：根据直线、圆、圆锥曲线等定义列方程.
（3）几何法：利用圆与圆的几何性质列方程.
（4）相关点法：找到要求点与已知点的关系，带入已知点满足的关系式.
典例精讲 例1 过点A（6，0），B（1，5），且圆心C在直线l：2x-7y 8=0上的圆的方程为________.
思索 可根据已知条件，先求出圆心C的坐标，再求得圆的半径r（r=AC）；也可用待定系数法，设出圆的标准方程或一般方程，依据已知条件构建关于a，b，r或D，E，F的方程组求解.
破解 解法1：由A（6，0），B（1，5）可得线段AB的中点坐标为，，且kAB=-1，所以线段AB的垂直平分线的方程为y-=x-，即x-y-1=0. 由方程组x-y-1=0，2x-7y 8=0得圆心C的坐标为（3，2），且半径r=AC=. 综上可得，所求圆的方程为（x-3）2 （y-2）2=13.
解法2：设所求圆的方程为（x-a）2 （y-b）2=r2，由已知得（6-a）2 b2=r2，2a-7b 8=0，（1-a）2 （5-b）2=r2，解得a=3，b=2，r2=13. 综上可得，所求圆的方程为（x-3）2 （y-2）2=13.
解法3：设所求圆的方程为x2 y2 Dx Ey F=0（D2 E2-4F>0），由已知得36 6D F=0，1 25 D 5E F=0，2×--7×- 8=0，解得D= -6，E=-4，F=0. 综上可得，所求圆的方程为x2 y2-6x-4y=0，即（x-3）2 （y-2）2=13.
例2 求经过点A（0，5），且与直线x-2y=0和2x y=0都相切的圆的方程.
思索 欲确定圆的方程，需确定圆心坐标与半径. 由于所求圆过定点A，故只需确定圆心坐标. 又圆与两已知直线相切，故圆心必在它们的交角的平分线上.
破解 因为圆和直线x-2y=0与2x y=0相切，所以圆心C在这两条直线的交角平分线上.
又因为圆心到两直线x-2y=0和2x y=0的距离相等，所以=. 所以两直线交角的平分线方程是x 3y=0或3x-y=0.
又因为圆过点A（0，5），所以圆心C只能在直线3x-y=0上. 设圆心C（t，3t），因为C到直线2x y=0的距离等于AC，所以=. 化简整理得t2-6t 5=0，解得t=1或t=5. 所以圆心是（1，3），半径是或圆心是（5，15），半径是5.
所以可得所求圆的方程为（x-1）2 （y-3）2=5或（x-5）2 （y-15）2=125.
例3 求圆心在直线x-y-4=0上，且经过两圆x2 y2-4x-3=0和x2 y2-4y-3=0的交点的圆的方程.
思索 由圆系方程先设出所求圆的方程，得出圆的坐标代入已知直线方程，求出参数后即得圆的方程.
破解 设经过两已知圆的交点的圆的方程为x2 y2-4x-3 λ（x2 y2-4y-3）=0（λ≠-1），则其圆心的坐标为，. 因为所求圆的圆心在直线x-y-4=0上，所以--4=0，解得λ=-. 所以所求圆的方程为x2 y2-6x 2y-3=0.
例4 （1）已知圆O1：（x-3）2 （y-4）2=1，P（x，y）为圆O上的动点，求d=x2 y2的最大值和最小值.
（2）已知圆O2：（x 2）2 y2=1，P（x，y）为圆上任一点，求的最大值和最小值.
思索 （1）（2）两小题都涉及圆上点的坐标，可考虑用圆的参数方程或用数形结合解决.
破解 （1）解法1：由圆的标准方程（x-3）2 （y-4）2=1，可设圆的参数方程为x=3 cosθ，y=4 sinθ（θ是参数）. 则d=x2 y2=9 6cosθ cos2θ 16 8sinθ sin2θ=26 6cosθ 8sinθ=26 10cos（θ-φ）其中tanφ=. 所以可得dmax=26 10=36，dmin=26-10=16. 解法2：圆上点到原点距离的最大值d1等于圆心到原点的距离d′加上半径1，圆上点到原点距离的最小值d2等于圆心到原点的距离d′减去半径1. 所以可得d1= 1=6，d2=-1=4. 所以dmax=36，dmin=16.
（2）解法1：由（x 2）2 y2=1得圆的参数方程为x=-2 cosθ，y=sinθ（θ是参数）. 则=. 令=t，得sinθ-tcosθ=2-3t，sin（θ-φ）=2-3t？圯=sin（θ-φ）≤1？圯≤t≤. 所以tmax=，tmin=. 即的最大值为，最小值为.
解法2：设=k，则kx-y-k 2=0. 由于P（x，y）是圆上的点，当直线与圆有交点时，如图1所示，两条切线的斜率分别是最大值、最小值. 由d==1，得k=. 所以的最大值为，最小值为.
图1
例5 如图2，已知定点A（2， 0），点Q是圆x2 y2=1上的动点，∠AOQ的平分线交AQ于M，当Q点在圆上移动时，求动点M的轨迹方程.
思索 解决本题的关键是将点Q的坐标用点M的坐标表示出来，代入圆x2 y2=1中，即得点M的轨迹方程.
图2
破解 由三角形的内角平分线的性质，可得==，所以=. 设M，Q的坐标分别为（x，y），（x0，y0），则x=，y=，所以x0=x-1，y0=y. 因为Q在圆x2 y2=1上，所以x y=1，所以x-12 y2=1，即动点M的轨迹方程为x-2 y2=.
变式练习1. 求下列各圆的标准方程：
（1）圆心在y=-x上且过两点（2，0），（0，-4）；
（2）圆心在直线2x y=0上，且与直线x y-1=0切于点（2，-1）；
（3）圆心在直线5x-3y=8上，且与坐标轴相切.
2. （2014年高考陕西卷）若圆C的半径为1，其圆心与点（-1，0）关于直线y=x对称，则圆C的标准方程为________.
3. （2014年高考四川卷）设m∈R，过定点A的动直线x my=0和过定点B的动直线mx-y-m 3=0交于点P（x，y），则PA·PB的最大值是________.
4. 若实数x，y满足等式（x-2）2 y2=3，那么的最大值为（ ）
A. B.
C. D.
5. （2014年高考福建卷）设P，Q分别为圆x2 （y-6）2=2和椭圆 y2=1上的点，则P，Q两点间的最大距离是（ ）
A. 5 B.
C. 7 D. 6
6. 若实数x，y满足x2 y2-2x 4y=0，则x-y的最大值是________.
7. 已知对于圆x2 （y-1）2=1上任意一点P（x，y），不等式x y m≥0恒成立，则实数m的取值范围是________.
8. 已知圆M的方程为x2 （y-2）2=1，直线l的方程为x-2y=0，点P在直线l上，过点P作圆M的切线PA，PB，切点为A，B.
（1）若点P的坐标为（2，1），过点P作直线与圆M交于C，D两点，当CD=时，求直线CD的方程；
（2）求证：经过A，P，M三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标.
参考答案
1. （1）（x-3）2 （y 3）2=10；
（2）（x-1）2 （y 2）2=2；
（3）（x-4）2 （y-4）2=16或（x-1）2 （y 1）2=1.
2. x2 （y 1）2=1.
3. 5 4. D 5. D
6. 3 解法1：将圆x2 y2-2x 4y=0变为（x-1）2 （y 2）2=5，所以圆的参数方程为x=1 cosθ，y=-2 sinθ，故x-y=（1 cosθ）-（-2 sinθ）=3 ·cosθ ≤3 . 所以x-y的最大值为3 .
解法2：令u=x-y，则y=x-u代入圆方程得2x2 2（1-u）x u2-4u=0. 由Δ=4（1-u）2-8（u2-4u）≥0，即u2-6u-1≤0，所以3-≤u≤3 ，即3-≤x-y≤3 ，所以x-y的最大值为3 .
7. [-1， ∞） 由x2 （y-1）2=1得其参数方程为x=cosθ，y=1 sinθ，代入x y m≥0，得cosθ 1 sinθ m≥0，所以m≥-cosθ-1-sinθ=-sinθ -1，所以m≥-1.
8. （1）易知直线CD的斜率k存在，设直线CD的方程为：y-1=k（x-2），即kx-y 1-2k=0. 由题知圆心M到直线CD的距离为，所以=，解得k=-1或k=-. 故所求直线CD的方程为：x y-3=0或x 7y-9=0.
（2）设P（2m，m），则MP的中点为Qm， 1. 因为PA是圆M的切线，所以经过A，P，M三点的圆是以Q为圆心，MQ为半径的圆，故其方程为：（x-m）2 y--1=m2 -1. 化简，得x2 y2-2y-m（2x y-2）=0. 由已知，此式是关于m的恒等式，所以得x2 y2-2y=0，2x y-2=0，得k∈x=0，y=2，或x=，y=.所以经过A，P，M三点的圆必过定点（0，2）或，.