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数学思想是指人们对数学理论与内容的本质认识,它直接支配着数学的实践活动。所谓数学方法, 是指某一数学活动过程的途径、程序、手段,它具有过程性、层次性和可操作性等特点。数学思想是数学方法的灵魂,数学方法是数学思想的表现形式和得以实现的手段,因此,人们把它们合称为数学思想方法。
一、初中数学教学应渗透的思想方法
1、分类讨论思想
分类讨论是根据教学对象的本质属性将其划分为不同种类,即根据教学对象的共同性与差异性,把具有相同属性的归入一类,把具有不同属性的归入另一类。分类是数学发现的重要手段。在教学中,如果对学过的知识恰当地进行分类,就可以使大量纷繁的知识具有条理性。
例如,教材中给实数的定义是“有理数与无理数统称为实数”,这个定义揭示了实数的内涵与外延,这本身就体现出分类思想方法。因此,在学完实数的概念后,可以如此分类:尔后一提到实数,就会想到它可能是有理数,也可能是无理数;一提到有理数,就会想到它可能是整数,也可能是分数等。
2、数形结合思想
一般地,人们把代数称为“数”而把几何称为“形”,数与形表面看是相互独立,其实在一定条件下它们可以相互转化,数量问题可以转化为图形问题,图形问题也可以转化为数量问题。
在数学教学中,由数想形,以形助数的数形结合思想,具有可以使问题直观呈现的优点,有利于加深学生对知识的识记和理解;在解答数学题时,数形结合,有利于学生分析题中数量之间的关系,丰富表象,引发联想,启迪思维,拓宽思路,迅速找到解决问题的方法,从而提高分析问题和解决问题的能力。抓住数形结合思想教学,不仅能够提高学生数形转化能力,还可以提高学生迁移思维能力。
3、整体思想
整体思想在初中教材中体现突出,如在实数运算中,常把数字与前面的符号看成一个整体进行处理;又如用字母表示数就充分体现了整体思想,即一个字母不仅代表一个数,而且能代表一系列的数或由许多字母构成的式子等;再如整式运算中往往可以把某一个式子看作一个整体来处理,如:(a+b+c)2= [(a+b)+ c ]2视(a+b)为一个整体展开等等,这些对培养学生良好的思维品质,提高解题效率是一个极好的机会。
4、化归思想
化归思想是数学思想方法体系主梁之一。在实数的运算、解方程(组)、多边形的内角和、几何证明等等的教学中都有讓学生对化归思想方法的认识,学生有意无意接受到了化归思想。如已知(x+y)2=11 , xy=1 求 x2 + y2 的值,显然直接代入无法求解,若先把所求的式子化归到有已知形式的式子(x+y)2-2xy,则易得: 原式=9;又如 “多边形的内角和”问题通过分解多边形为三角形来解决,这都是化归思想在实际问题中的具体体现。再如解方程(组)通过“消元”、“降次”最后求出方程(组)的解等也体现了化归思想。
5、变换思想
变换思想是由一种形式转变为另一种形式的思想。解方程中的同解变换,定律、公式中的命题等价变换,几何图形中的等积变换等等都包含了变换思想。具有优秀思维品质的一个重要特征,就是善于变换,从正反、互逆等进行变换考虑问题,但很多学生又恰恰常忽略从这方面考虑问题,因此变换思想是学生学好数学的一个重要武器。
6、比较思想
所谓比较,就是指在思维中对两种或两种以上的同类研究对象的异同进行辨别。比较是一切理解和思维的基础,随着学习的不断深入,学生要掌握越来越多的知识,这就要求学生要善于比较知识之间的区别和联系。例如,轴对称图形、旋转对称图形、中心对称图形是意义不尽相同的概念,通过类比可以发现它们之间的异同,从而加深对这几个概念的本质属性的认识。
二、初中数学教学应如何加强数学思想方法的渗透
1.提高渗透的自觉性
数学概念、法则、公式、性质等知识都明显地写在教材中,是有“形”的,而数学思想方法却隐含在数学知识体系里,是无“形”的,并且不成体系地散见于教材各章节中。教师讲不讲,讲多少,随意性较大,常常因教学时间紧而将它作为一个“软任务”挤掉。对于学生的要求是能领会多少算多少。因此,作为教师首先要更新观念,从思想上不断提高对渗透数学思想方法重要性的认识,把掌握数学知识和渗透数学思想方法同时纳入教学目的,把数学思想方法教学的要求融入备课环节。
2.把握渗透的可行性
数学思想方法的教学必须通过具体的教学过程加以实现。因此必须把握好教学过程中进行数学思想方法教学的契机—概念形成的过程,结论推导的过程,方法思考的过程,思路探索的过程,规律揭示的过程等。切忌生搬硬套、和盘托出、脱离实际等适得其反的做法。
3.注重渗透的渐进性和反复性
数学思想方法是在启发学生思维过程中逐步积累和形成的。为此,在教学中,首先要特别强调解决问题以后的“反思”。因为在这个过程中提炼出来的数学思想方法,对学生来说才是易于体会、易于接受的。其次要注意渗透的长期性,数学思想方法必须经过循序渐进和反复训练,才能使学生真正地有所领悟。
总之,在数学教学中,只要切切实实把握好上述几个典型的数学思想,同时注意渗透的过程,依据课本内容和学生的认知水平,从初一开始就有计划的渗透,就一定能提高学生的学习效率和数学能力。
一、初中数学教学应渗透的思想方法
1、分类讨论思想
分类讨论是根据教学对象的本质属性将其划分为不同种类,即根据教学对象的共同性与差异性,把具有相同属性的归入一类,把具有不同属性的归入另一类。分类是数学发现的重要手段。在教学中,如果对学过的知识恰当地进行分类,就可以使大量纷繁的知识具有条理性。
例如,教材中给实数的定义是“有理数与无理数统称为实数”,这个定义揭示了实数的内涵与外延,这本身就体现出分类思想方法。因此,在学完实数的概念后,可以如此分类:尔后一提到实数,就会想到它可能是有理数,也可能是无理数;一提到有理数,就会想到它可能是整数,也可能是分数等。
2、数形结合思想
一般地,人们把代数称为“数”而把几何称为“形”,数与形表面看是相互独立,其实在一定条件下它们可以相互转化,数量问题可以转化为图形问题,图形问题也可以转化为数量问题。
在数学教学中,由数想形,以形助数的数形结合思想,具有可以使问题直观呈现的优点,有利于加深学生对知识的识记和理解;在解答数学题时,数形结合,有利于学生分析题中数量之间的关系,丰富表象,引发联想,启迪思维,拓宽思路,迅速找到解决问题的方法,从而提高分析问题和解决问题的能力。抓住数形结合思想教学,不仅能够提高学生数形转化能力,还可以提高学生迁移思维能力。
3、整体思想
整体思想在初中教材中体现突出,如在实数运算中,常把数字与前面的符号看成一个整体进行处理;又如用字母表示数就充分体现了整体思想,即一个字母不仅代表一个数,而且能代表一系列的数或由许多字母构成的式子等;再如整式运算中往往可以把某一个式子看作一个整体来处理,如:(a+b+c)2= [(a+b)+ c ]2视(a+b)为一个整体展开等等,这些对培养学生良好的思维品质,提高解题效率是一个极好的机会。
4、化归思想
化归思想是数学思想方法体系主梁之一。在实数的运算、解方程(组)、多边形的内角和、几何证明等等的教学中都有讓学生对化归思想方法的认识,学生有意无意接受到了化归思想。如已知(x+y)2=11 , xy=1 求 x2 + y2 的值,显然直接代入无法求解,若先把所求的式子化归到有已知形式的式子(x+y)2-2xy,则易得: 原式=9;又如 “多边形的内角和”问题通过分解多边形为三角形来解决,这都是化归思想在实际问题中的具体体现。再如解方程(组)通过“消元”、“降次”最后求出方程(组)的解等也体现了化归思想。
5、变换思想
变换思想是由一种形式转变为另一种形式的思想。解方程中的同解变换,定律、公式中的命题等价变换,几何图形中的等积变换等等都包含了变换思想。具有优秀思维品质的一个重要特征,就是善于变换,从正反、互逆等进行变换考虑问题,但很多学生又恰恰常忽略从这方面考虑问题,因此变换思想是学生学好数学的一个重要武器。
6、比较思想
所谓比较,就是指在思维中对两种或两种以上的同类研究对象的异同进行辨别。比较是一切理解和思维的基础,随着学习的不断深入,学生要掌握越来越多的知识,这就要求学生要善于比较知识之间的区别和联系。例如,轴对称图形、旋转对称图形、中心对称图形是意义不尽相同的概念,通过类比可以发现它们之间的异同,从而加深对这几个概念的本质属性的认识。
二、初中数学教学应如何加强数学思想方法的渗透
1.提高渗透的自觉性
数学概念、法则、公式、性质等知识都明显地写在教材中,是有“形”的,而数学思想方法却隐含在数学知识体系里,是无“形”的,并且不成体系地散见于教材各章节中。教师讲不讲,讲多少,随意性较大,常常因教学时间紧而将它作为一个“软任务”挤掉。对于学生的要求是能领会多少算多少。因此,作为教师首先要更新观念,从思想上不断提高对渗透数学思想方法重要性的认识,把掌握数学知识和渗透数学思想方法同时纳入教学目的,把数学思想方法教学的要求融入备课环节。
2.把握渗透的可行性
数学思想方法的教学必须通过具体的教学过程加以实现。因此必须把握好教学过程中进行数学思想方法教学的契机—概念形成的过程,结论推导的过程,方法思考的过程,思路探索的过程,规律揭示的过程等。切忌生搬硬套、和盘托出、脱离实际等适得其反的做法。
3.注重渗透的渐进性和反复性
数学思想方法是在启发学生思维过程中逐步积累和形成的。为此,在教学中,首先要特别强调解决问题以后的“反思”。因为在这个过程中提炼出来的数学思想方法,对学生来说才是易于体会、易于接受的。其次要注意渗透的长期性,数学思想方法必须经过循序渐进和反复训练,才能使学生真正地有所领悟。
总之,在数学教学中,只要切切实实把握好上述几个典型的数学思想,同时注意渗透的过程,依据课本内容和学生的认知水平,从初一开始就有计划的渗透,就一定能提高学生的学习效率和数学能力。