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【摘要】 本文利用二次曲线的一般理论深入研究了对钩函数的曲线本质是双曲线,并利用它的性质来解决有关的数学问题,显得十分方便.
【关键词】 “对钩”函数 二次曲线 不变量 双曲线 性态
近年来,高考数学中不少考题均涉及函数的最值和值域问题,实际应用问题等,有些问题可以利用“对钩”函数的性态来解决,它不但是均值定理的补充,还有着更为广泛的运用.
一､对钩函数的定义
定义:形如f(x) = ax +(其中a > 0,b > 0)的函数称为对钩函数.
对钩函数得名于它的图像类似于批改作业时教师用的对钩“√”.
其对应的函数图像如图1:
二､对钩函数的性态
定理1 对钩函数是双曲
线,其两条渐近线为直线y = ax及y轴.
对钩函数的本质是双曲线,它是将标准坐标下的双曲线进行了旋转和平移变换以后得到的,这可以利用二次曲线的一般理论加以证明.
定理2 对钩函数的对称中心为坐标原点. 这可利用它是奇函数这一特点得到.
定理3 对钩函数的单调区间:增区间是-∞,- 和 ,+∞,减区间为- ,0和0, ,这可利用求导的方法简单求得.
定理4 对钩函数的极值规律:函数在x =处取得极小值y =2,在x = - 处取得极大值y = -2 . 利用定理3的结论不难得出此结论.
说明 当a,b的符号为其他情况时,我们可以类似地得出它们的性质,留给读者自己去探索.
三､对钩函数的运用
1. 对钩函数运用于求值域或最值
例1 求函数y =的值域.
分析 y = = = +,设t = ≥ 2,则y = f(t) = t +(t∈[2,+∞)). 函数y = f(t)在区间[2,+∞)上是增函数.
∴ 当t = 2即x = 0时,ymin =. 所以函数的值域是{x|x ≥}.
点评 对钩函数求最值与均值定理求最值应互为补充. 此题不能利用均值定理来求最小值,因为取等号的条件是=即x2 = -3(无解),所以最小值不是2.
2. 对钩函数运用于解不等式
例2 (2006年江苏卷)不等式log2x + + 6≤3的解集为_______.
分析 易将不等式转化为-6 < x + ≤ 2,令y = x +,画出它的草图不难得出解集为{x| - 3 - 2< x < -3 + 2 或x = 1}.
点评 利用数形结合,把问题转化为求函数与直线 y = -6及y = 2的交点的横坐标,进而只需解方程,显得直观快速而准确.
3. 对钩函数运用于求参数的取值范围
例3 (2006年江西卷)若不等式x2 + ax + 1 ≥ 0对于一切x∈0, ,则a的最小值是 ().
A. 0 B.-2C. -D. -3
分析 由题设,可分离参数:a ≥ -x + ,利用y = -x +在x∈[0,1)上的单调性质可知,当x =时函数有最大值为y = - ,所以a ≥ - ,选C.
点评 若直接利用二次函数在给定区间上的最值问题或根的分布问题来解决也可,但分离参数以后转化为对钩函数在给定区间上的最值问题显得更为简单.
4. 对钩函数应用于综合问题
例4 (2006年上海卷)已知函数y = x +具有如下性质:如果常数a > 0,那么该函数在(0, ]上是减函数,在[ ,+∞)上是增函数.
(1) 如果函数y = x +(x > 0)在(0,4]上是减函数,在[4,+∞)上是增函数,求b的值.
(2) 设c∈[1,4],求函数f(x)= x +(1 ≤ x ≤ 2)的最大值和最小值.
(3) 当n是正整数时,研究函数g(x) = xn +(c >0)的单调性,并说明理由.
分析 (1) 由已知可得 = 4,所以b = 4.
(2) ∵ ∈[1,2],于是x =时,函数f(x) = x +有最小值2 .当1 ≤ c ≤ 2时,函数f(x)有最大值f(2) = 2 +;当2 ≤ c ≤ 4时,函数f(x)有最大值是f(1) = 1 + c.
(3) 令t = xn,则g(t) = t +,由题设知(-∞,- ],[ ,+∞)上为增函数在[- ,0),(0, ]上为减函数.
当n为偶数时,t = xn为偶函数,且在(0,+∞)上为增函数,在(-∞,0)上减函数. 由复合函数的单调性知,g(x)在[ ,+∞)和[- ,0)上为增函数,在(0, ]和(-∞,- ]上是减函数.
当n为奇数时,t = xn为奇函数,且在(0,+∞)上为增函数,在(-∞,0)上为减函数. 由复合函数的单调性知,g(x)在[ ,+∞)和(- ,0]上是增函数,在(0, ]和(-∞, )上是减函数.
点评 此题以对钩函数为背景,充分利用对钩函数的单调性及复合函数求单调区间的方法,使问题轻松解决.
注:“本文中所涉及到的图表､注解､公式等内容请以PDF格式阅读原文｡”
【关键词】 “对钩”函数 二次曲线 不变量 双曲线 性态
近年来,高考数学中不少考题均涉及函数的最值和值域问题,实际应用问题等,有些问题可以利用“对钩”函数的性态来解决,它不但是均值定理的补充,还有着更为广泛的运用.
一､对钩函数的定义
定义:形如f(x) = ax +(其中a > 0,b > 0)的函数称为对钩函数.
对钩函数得名于它的图像类似于批改作业时教师用的对钩“√”.
其对应的函数图像如图1:
二､对钩函数的性态
定理1 对钩函数是双曲
线,其两条渐近线为直线y = ax及y轴.
对钩函数的本质是双曲线,它是将标准坐标下的双曲线进行了旋转和平移变换以后得到的,这可以利用二次曲线的一般理论加以证明.
定理2 对钩函数的对称中心为坐标原点. 这可利用它是奇函数这一特点得到.
定理3 对钩函数的单调区间:增区间是-∞,- 和 ,+∞,减区间为- ,0和0, ,这可利用求导的方法简单求得.
定理4 对钩函数的极值规律:函数在x =处取得极小值y =2,在x = - 处取得极大值y = -2 . 利用定理3的结论不难得出此结论.
说明 当a,b的符号为其他情况时,我们可以类似地得出它们的性质,留给读者自己去探索.
三､对钩函数的运用
1. 对钩函数运用于求值域或最值
例1 求函数y =的值域.
分析 y = = = +,设t = ≥ 2,则y = f(t) = t +(t∈[2,+∞)). 函数y = f(t)在区间[2,+∞)上是增函数.
∴ 当t = 2即x = 0时,ymin =. 所以函数的值域是{x|x ≥}.
点评 对钩函数求最值与均值定理求最值应互为补充. 此题不能利用均值定理来求最小值,因为取等号的条件是=即x2 = -3(无解),所以最小值不是2.
2. 对钩函数运用于解不等式
例2 (2006年江苏卷)不等式log2x + + 6≤3的解集为_______.
分析 易将不等式转化为-6 < x + ≤ 2,令y = x +,画出它的草图不难得出解集为{x| - 3 - 2< x < -3 + 2 或x = 1}.
点评 利用数形结合,把问题转化为求函数与直线 y = -6及y = 2的交点的横坐标,进而只需解方程,显得直观快速而准确.
3. 对钩函数运用于求参数的取值范围
例3 (2006年江西卷)若不等式x2 + ax + 1 ≥ 0对于一切x∈0, ,则a的最小值是 ().
A. 0 B.-2C. -D. -3
分析 由题设,可分离参数:a ≥ -x + ,利用y = -x +在x∈[0,1)上的单调性质可知,当x =时函数有最大值为y = - ,所以a ≥ - ,选C.
点评 若直接利用二次函数在给定区间上的最值问题或根的分布问题来解决也可,但分离参数以后转化为对钩函数在给定区间上的最值问题显得更为简单.
4. 对钩函数应用于综合问题
例4 (2006年上海卷)已知函数y = x +具有如下性质:如果常数a > 0,那么该函数在(0, ]上是减函数,在[ ,+∞)上是增函数.
(1) 如果函数y = x +(x > 0)在(0,4]上是减函数,在[4,+∞)上是增函数,求b的值.
(2) 设c∈[1,4],求函数f(x)= x +(1 ≤ x ≤ 2)的最大值和最小值.
(3) 当n是正整数时,研究函数g(x) = xn +(c >0)的单调性,并说明理由.
分析 (1) 由已知可得 = 4,所以b = 4.
(2) ∵ ∈[1,2],于是x =时,函数f(x) = x +有最小值2 .当1 ≤ c ≤ 2时,函数f(x)有最大值f(2) = 2 +;当2 ≤ c ≤ 4时,函数f(x)有最大值是f(1) = 1 + c.
(3) 令t = xn,则g(t) = t +,由题设知(-∞,- ],[ ,+∞)上为增函数在[- ,0),(0, ]上为减函数.
当n为偶数时,t = xn为偶函数,且在(0,+∞)上为增函数,在(-∞,0)上减函数. 由复合函数的单调性知,g(x)在[ ,+∞)和[- ,0)上为增函数,在(0, ]和(-∞,- ]上是减函数.
当n为奇数时,t = xn为奇函数,且在(0,+∞)上为增函数,在(-∞,0)上为减函数. 由复合函数的单调性知,g(x)在[ ,+∞)和(- ,0]上是增函数,在(0, ]和(-∞, )上是减函数.
点评 此题以对钩函数为背景,充分利用对钩函数的单调性及复合函数求单调区间的方法,使问题轻松解决.
注:“本文中所涉及到的图表､注解､公式等内容请以PDF格式阅读原文｡”